第4节 基本不等式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

即时训练(1)CA.当a>b>0时，a 即时训练(1)AC因为1≤a≤2,3≤b (2)答案3 >,尉<故A错裙： ≤5， 解析由已知，得12一4x十3y≥ 所以4a十b≤7，-2≤一a≤一1,1≤b 2/1x·3y, B.当6-1,4--2时，不满足> 一a4, a>京 所以a十b的取值范国为[1,7门， 脚12>2z·3y, 故B错误： b一a的取值范国为[1,4]， 解得y≤3（当且仅当4r一3y时取 故A正确，B错误： 等号) C当bKa<0时，0<心<，则是> 周为1≤a≤2,3≤b≤5， 即时训练(1)B对于y一十2x十4 -(+1)￥+3. 京反进米宁>时<a< 当x=一1时，函数的最小值为3，故A |b,雏不出b<a<0,所以b<a<0是 错误： 二>成立的一个充分不必要条件，故 所以ab的取值范国为[3,10]，分的取值 -2+2--+>V2· C正确： 范国为[合，号]，故C正确，D0误 4,当且仅当x一1时取等号，故B正确； D.当a-2,b--1时，不满足 1 4 a>序 (2)答案[2,11] ysm到+1sm五≥√1sin·m 故D错误.故选C. 解析设3a十2b=x(a十b)十y(a一b)= (x+y)a+(-y)h, =4,当且仅当mr一7时取 (2)ABD调为>b>0·品>0，所以品 5 x十y3解得 等号 b 所以 4 x-y=2, 1 y=2 由于nr-sn时，sin-2, 即<故A正： 根据正孩函数性质可知|snx|一2不 所以3a+2-(a+b)+号(a-b). 成立， 图为a>b>0,-a<0,所以-a2<-ab, 故B正确： 国为1<a+长1.-1<a-b≤2，所以号 故y一in十sn了≥1取不到等号， 故C错误： 若a=是，6=号，lala-1=h6一1= 周此，2≤3a十2b11. 对于y一lnx+n,由于lnx可能小 n号，敢C不正确： 第四节基本不等式 于0 因为4-b>0,所以2-0>20=1，故D 正扇， 夯实·必备知识 即y=h十的画载值可能为负位， 故其最小值为4不成立，故D错误 [例3](1)D国为-1<y<1,所以-2 知识整合 1.(1)a>0,b>0(2)a=b <-2y<2, (2C画数y--3r+2-1-3x 自我训练 又0心x<5,所以-2<x-2y<7. 1.(1)×(2)×X(3)/(4)× 延伸探究 1+2--(3x+1)+2 2.C3.D4.3 解设x一2y一m(r十y)十(r一y), 研磨·高考题型 >03+>√·-4 .x-2y-(m+n)r+(m-n)y. [例1](1)BD A对于品数y= x+1D2 m十n一1， 当x<0时，y<0,所以A选项 当仅当3=，即x-2时等号 3 解得 m-n--2, 错误； 成立， R.由于b>0所以名>0，号>0 故y--(3r+）+2≤-1E+2, 则y的最大值为2一4. :-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1， 所以兰+号≥2√合·号-2：音卫仅 当合-台心-分时等号成主所以B [例2](1)Dx>2,.x-2>0, -1长-+≤ y-+2--2++2≥ 选项正确： 1 C+3+2+22+2+2+2+1 2√-2·+2-6（当且仅当 -4-+w+2-2. +1-3 2-2 即-1≤x-2y≤2. 3+ 但十2-无解，所以等号不成 即x一4时取等号)， (2)B设教师人数为x,家长人数为y 女学生人数为，男学生人数为1，，y,:, 立，所以C选项错误： 叶气>》的藏小位方6 IEN'. (2)答案8 则y≥x+1,≥y+1≥r+2,≥x+1≥y D.由于r<0,所以y-2+x+1-2 解析国为y-r(8-2)-之[2x·(8 十2>≥x十3，则x十y十十1≥lx+6, 又教师人数的两倍多于男学生人数， [-+]<2-2-…马 -2<(2+82)-8 =0, .2x>x十3，解得x>3, 当且仅当2x一8一2x,即x一2时，等号 当x=1时，x十y十：十1>22，此时微信 当且仅当一一一工一一1时等号成 成立， 群人数的最小值为22. 立，所以D选项正确，故选BD 所以y=x(8一2x)的最大值为8. 447 1 即时训练(1)C0<x<立， 即时训练(1)D图为m>0,n>0且m 法二：x十y-2xy=0,得x+y=2ry, 十=2， .1-2x>0, 所以号+-2 1 r1-20-号×2r1-2)≤号× 1 则+y-+(仁+) [+]- -(+++)） (5+￥+2) 当且仅当2红=1一2x时，即x=十时等 ≥(5+2只·册)号 ≥(5+) 号成立， 因此.函量y-x1-2).(0<<号)的 等号成立， x+y-2xy=0, 最大值为号，故选C (2)C因为2a十b=2, 中时等号成立 (2)C因为正数x,y满足x+2y-2, 所以(4a一1)+(2h-1)-2, (2)ADx+2y-1≥22xy,脚xy≤ 所以w=(2)≤士(2） 1 则点+ 1. (方)广-号（售仪当=2专叶 =合[(a-1)+(2必-1刀 取等号），故A正确： 当且仅当x=2y,即x=1,y= 时取 ·(高+点） 5 等号， 所以四的美大值为 -(0号+号+2)≥2. B错误： 当且仅当治二-务 +片-+2（位+号）-3+ L例3](1)B图为2a+b一9ab-0,变形 得士+-9 +≥3+2 即a=号b=1时，等号成立 y a+2w)(+号) (当且仅者r=2-1y2,厘时歌 例1](1)A图为a>0,b>0,所以a十b 2 由题意a+2b= 9 ≥2ab,当且仅当u=b时，等号成主， 等号)，故C错误： 文ab-a十b十3，骄以ub-a十b十3≥ x2+y2-(1-2y)2+y2-5y2-4y+1- 9 9 a 2√ab+3,整理可得ab-2/ab-3≥0， 一，即a-6-合时，等号成立故 解得√ab≥3或√ab≤-1（合去）. 选B. 所以ab≥3，所以ab≥9.所以当a-b F十y取最小值号，款D正病 延伸探究 3时，ab的最小值为9. 第五节基本不等式的综合应用 答案72 延伸探究 解析，8a十1b-ab,a>0,b>0, 答案6 研磨·高考题型 解析因为：>0.b>0,所以4十b≥ [例1](1)C对于A,因为/+5>0， 2√ab,当且仅当a=b时，等号成立. 所以√+5+ :8a+b-8a+》(受+) +5 又ab=a十b+3.所以ab=a十b+3≤ ++40≥2√四+40 b (生芒)，基理可得(a+)-4a+) ≥2 2+5.1 /2+5 -72. -12≥0. 当收当广 当且仅当64-，即a=6,b=21时取 b 解得a+b≥6或a十b≤-2（会去） 即x2一一4，故等号不成立，故A不 等号. 所以当a=b=3时，a十b的最小值为6. 林合： (2)A周为非负实数a,b满足a十b-1, ②A素数b满是后+号-瓜 对于B,周为x2+2>0.所以2+2+ 所以(a+1)+(b十2)=1， 1 所以[(a+1D+(0+2]-1, >0,b6>0且瓜≥2日·云# 中22√2+2·干-2高 1 仅当+2-十2即=-1，故等号 所以动+ 1 得ab≥22， 不成立，故B不符合 -[a+1++21(h+z) 1 当且仅当口一6'即4=2,6=2万 对于C周为2>0，所以子+≥ -(++) ab-22, 时取等号，则b的最小值为2 2√P-2当仪当2-脚 ≥(+2+)- 即时训练(1)D法一：由x十y一2xy x=士1时取等号，故C符合： 对于D,因为|x|+3>0.所以|x|+3 b+2a+1 -0,得x+y-2ry /a-1, 时取 又>0>0≤(). +T+≥2W+3)·T+ a+b=1, 等号， 所以r十<中，解得+y≥2. -2,当且仅当|+3-T十3，脚 1 2 |x|一一2，故等号不成立，故D不符合. 综上a市十6十2的最小值为1 当且仅当x=y一1时，等号成立. 故选C, 448金榜题名创新高考总复习数学 第四节基本不等式 [课标要求]1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 夯实·必备知识 知识整合 告≥abeR. 1.基本不等式ab≤a十b 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 2 (1)基本不等式成立的条件： 自我训练 (2)等号成立的条件：当且仅当 时， 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 等号成立。 “/”或“×”) (3)其中“叫做正数a,b的算术平均数。 (①不等式ab≤生)与d<生等号 成立的条件是相同的， () √ab叫做正数a,b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 (2)y=x+的最小值是2. (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定 (3)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最 值P,那么当x=y时，和x十y有最小值 小值为4. ( 2√P (4)函数y=sinx+ 品o到的最小 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于 值为4. ( 定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 is. 2.若函数f(x)=x十 x-2x>2)在x=a处 取最小值，则a等于 () 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条 A.1+2 B.1+3 件“一正、二定、三相等” C.3 D.4 【常用结论】 3.下列不等式恒成立的是 ( 几个重要的不等式 (1)a2+b≥2ab(a,b∈R). Ax叶>2 B.a+b≥2√/ab (2)2+>≥2(a,b同号). ≥a+6 2 D.a2+b≥2ab a+b 4 (3)ah≤(22) (a,b∈R) 4若x>0,则x十的最小值为 研磨·高考题型 》 题型一直接法求最值 [例1](1)（多选）(2025·广州质检)以下结 B.若a,bER且ab>0,则2+号≥2 论正确的是 () C若x∈R.则r+3+十2的最小值为3 A.函数y=+1D的最小值是4 D.函数y=2+x十】(x<0)的最大值为0 10 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 (2)已知x,y为正实数，且满足4x+3y= [尝试解答 12,则xy的最大值为 尝试解答] [思维升华] 配凑法求解最值，其实质就是先通过代 数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后 [思维升华] 利用基本不等式求解最值. 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三 [即时训练] 个方面：一正：特合基本不等式“≥而成 (1)(2025·沈阳质检)已知0<x<7,则函 立的前提条件为a>0,b>0;二定：不等式的 数y=x(1一2x)的最大值是 () 一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的 条件，即等号成立，以上三点缺一不可 A号 B [即时训练] (1)下列函数中最小值为4的是 c D A.y=x2+2x+4 (2)已知正数x,y满足x+2y=2,则xy的 B.y=2+22 最大值为 () 4 C.y=Isin l+Tsin T A.2 B.1 4 C.z D D.y=In x+ Inx 题型三 常数代换法求最值 (2已知函数y=二3x+21-4(x>0),则 [例3](1)(2025·河南联考)已知正实数a, b满足2a+b-9ab=0,则a+2b的最小 y的最大值为 值为 A.2+4√3 B.2 A.3 B.1 C.2-43 D.43 题型二 配凑法求最值 C.9 D. [例2] (1)已知函数y=x十 2x>2),则 4 延伸探究 已知正数a,b满足8a十4b=ab. 则8a+b的最小值为 此函数的最小值等于 (2)(2025·太原模拟)已知非负实数a,b满 A.4 “√x-2 B汽 足a+6=1,则十2的最小值为 1 C.4 D.6 ( (2)当0<x<4时，则y=x(8一2x)的最大 A.1 B.2 值为 C.3 D.4 11 金榜题名创新高考总复习数学 [尝试解答] (2)若实数a,b满足上+2=√ab,则ab的最 a 小值为 ( A.22 B.2 C.32 D.3 [尝试解答] [思维升华] 常数代换法解题的关键是通过代数式的 变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利 用基本不等式求解最值.应用此种方法求解 最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达 式相乘求积或相除求商. [即时训练 1)若m>0,m>0且m十n=2,则4+1的 m n [思维升华] 最小值是 ( ) 若已知“和与积”的等式关系，求“和与 A.2 积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求 最值。 C.3 D号 [即时训练 (2)已知a>子，6>2，且2a+6=2,则 (1)若正数x,y满足x十y-2xy=0,则x十y 的最小值为 ( 4a白十26的最小值是 A.4 B.1 C.5 D.2 A.1 B专 (2)(多选)已知x>0,y>0,x十2y=1,则 ( C.2 D2 Axy的最大值为。 题型四 构造不等式法求最值 [例4](1)若a>0,b>0,且ab=a十b+3,则 B十的最大值为号 ab的最小值为 C.1+1的最小值为42 A.9 B.6 C.3 D.12 D.十y的最小值为号 延伸探究若a>0,b>0,且ab=a十b+3, 则a十b的最小值为 请完成课时作业（四） 12