第3节 等式性质与不等式性质-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [思维升华 [即时训练] 含量词命题的解题策略 (1)下列命题为真命题的是 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明 A.任意两个等腰三角形都相似 都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要 B.所有的梯形都是等腰梯形 找到一个成立即可.当一个命题的真假不易 C.Hx∈R,x+|x|≥0 判定时，可以先判断其否定的真假， D.3x∈R,x2-x+1=0 (2)由命题真假求参数的范围，一是直接 (2)若命题“3x∈R,x2十x一a=0”为假命 由命题的真假求参数的范围；二是可利用等 题，则实数a的取值范围为 价命题求参数的范围 请完成课时作业（二 第三节 等式性质与不等式性质 课标要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 夯实·必备知识 》》 知识整合 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d> 0→ 1.两个实数比较大小的方法 性质7同正可乘方性：a>b>0→a”>b a-b>0台a b, (n∈N,n≥2). 作差法a一b=0台a b,(a,b∈R). 【常用结论】 a-b<0台a 6 不等式的两类常用性质 2.等式的性质 (1)倒数性质 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 ①a>b,ab>0→1<1 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c @u<0→> =b士c: ③a>b>0,0<c<dsa>b c-di 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; ④0<a<x<b或a<x<b<0→1<1 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么“= 3.不等式的性质 性质1对称性：a>b曰 (2)有关分数的性质 性质2传递性：a>b,b>c→ 若a>b>0,m>0,则 性质3可加性：a>b台a十c>b十c: ①真分数的性质 性质4可乘性：a>b,c>0→ 6b+m bbm(b-m>0); aa+m'a-a-m a>b,c<0→ ②假分数的性质 性质5同向可加性：a>b,c>d→ a、a十m,a<a-m(b-m>0). b6+m'b b-m 金榜题名创新高考总复习数学 自我训练 2.已知非零实数a,b满足a<b,则下列不等式 ( 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 中一定成立的是 “/”或“X”) A.In a<ln b B (1)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b, C.a< D.a<b a<b三种关系中的一种. 3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再 (2)若。>1，则6>a 添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水 (3)同向不等式具有可加性和可乘性. 变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为 (4)若1、1 4.已知2<a<3,-2<b<-1,则a十2b的取 a>6,则6a. 值范围为 研磨·高考题型 》 ■ 题型一数（式）的大小比较 [即时训练] [例1](1)（多选）(2025·长春模拟)若m> (1)设t=a一4b,s=a+b+4,则t与s的大 n>0>p,m十p≠0，则 ( 小关系是 A.2 A.s≥t B.s>t B.m2-p>0 n C.s≤t D.s<t 1 1 C.m+nm+力 D.m2-n>n2-m (2)已知M= N期MN (2)已知c>1,且x=√c+1-Wc,y=√c 的大小关系为 √一1，则x,y之间的大小关系是( 题型二不等式的基本性质 A.x>y B.x=y [例2](1)(2025·滨州质检)若实数a,b满 C.I<y D.x,y的关系随c而定 足a<b<0,则 [尝试解答 A.a+b0 B.a-b<0 C.la<bl (2)(多选)已知a,b,c为实数，则下列说法 正确的是 () A.若a>b,则ac2>bc B.若a>b,则a十c>b十c C若>>>0.则后>8 [思维升华 比较大小的常用方法 D.若a>b>c>0,则_b>c a-ba-c (1)作差法：①作差；②变形；③定号； [尝试解答 ④得出结论. (2)作商法：①作商；②变形：③判断商与 1的大小关系；④得出结论. (3)构造函数，利用函数的单调性比较 大小 8 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [思维升华 (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个 判断不等式的常用方法 由学生、家长和教师组成的微信群.已知该 (1)利用不等式的性质逐个验证. 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人 (2)利用特殊值法排除错误选项. 数多于家长人数，家长人数多于教师人数， (3)作差法， 教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信 (4)构造函数，利用函数的单调性」 群人数的最小值为 () [即时训练] A.20 B.22 (1)(2025·沈阳东北育才学校质检)若a,b C.26 D.28 ∈R且ab≠0，则}>养成立的一个充分不 [尝试解答] 必要条件是 A.ab0 B.ba C.b<a<0 D.ab(a-b)<0 (2)(多选)若a>b>0,则下列不等式中正 确的是 A.11 ab B.-a2<-ab C.Inla-11>In6-1 D.2-6>1 [思维升华] 题型三不等式性质的综合应用 利用不等式的性质求代数式的 [例3](1)已知0<x<5,-1<y<1,则x 取值范围的注意点 2y的取值范围是 (1)必须严格运用不等式的性质。 A.2<x-2y<3 B.-2<x-2y<3 (2)在多次运用不等式的性质时有可能 C.2<x-2y<7 D.-2<x-2y<7 扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所 [尝试解答 求范围的整体与已知范围的整体的等量关 系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解 范围 [即时训练 (1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则 延伸探究若将条件改为“一1≤x十y≤2， ( 一2≤x一y≤1”，求x一2y的范围. A.a十b的取值范围为[4,7] B.b一a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] D号的取值范围为[台，】 (2)(2025·哈尔滨质检)已知1≤a十b≤4， 一1≤a一b≤2，则3a十2b的取值范围是 请完成课时作业（三）(2)选①“r∈A”是“x∈B”的充分条件，[例门ACD指数画数的值域为(0，十∞)， 对于C:当m=3,n=2,p=-1时，满足 则AB,所以>，解将-1<u< 所以Hx∈R,2一1>0，故A正确： 已知条件，但1<1 a+2<3, 当r=1时，(x-1)2=0,所以Hx∈N m十nn千p故C错误： 1,即4∈（一1,1）： (x一1)2>0是假命题，故B错误： 对于D:m2一n一(n2一m)-m2一十m 选②“x∈CRA”是“x∈CRB”的必要条 当r一1时，lgx一0<1，所以3x∈R 一H一(m一n)(m十n十1)，因为m>n 1>-1,解得-1< lgx<1,故C正确： >0,可得(m一n)(m十n十1)>0，所以 件，则A二B,所以 1a+2<3, 因为函数y一anx的值城为R,所以3x m2一>n2一m,故D正确.故进AD. a<1,即a∈(-1,1). ∈R,tanx=2,故D正确. (2)C由题设，易知xy>0, 微拓展 [例5](1)ABC若命题p:3x∈R,+ 又兰-五-E+巨1. 典例答案(1，十∞) 2x十2一m<0为真命题， yE--I+I十E 解析由|x≤1，即一1≤x≤1，由题意 则△=22-1(2一m)=m-4>0,解得m r<y. 知p是g的充分不必要条件，所以a>1. >1, 即时训练(1)A因为s一t=a十2+4 即时训练解(1)依题意，得2：≤2 所以当命题p:3x∈R,x2+2x+2-m -(a-46)-b2+1b+4-(b+2)”≥0， ≤25， <0为假命题时，m≤1，符合条件的为 所以≥1 解得一2≤x≤5，即A-{x一2≤x≤5. A,B、C选项. (2)答案M>N 当m=3时，解不等式x2一4x一5≤0， (2)答案[0,2) 得-1≤x≤5，即B-(x-1≤x≤5. 解析 解析因为p:Vx∈R,m.x2一2mr十2>0 法一：：M-N=c+ e2e4+1 所以AUB-{x-2≤r≤5， 为真命题， e2024+1 (2)选①，由(1)知，A=(x-2≤r≤5}， 当m-0时，即2>0，成立： e2025+1 m>0, m>0, (em23+1)(2025十1)-(e24+1)月 解不等式x2一4x十4一m2≤0， 当n≠0时，即 (c2084+1)(c20+1) △-4m2一8m<0, 得2一m≤x≤2十m,即B一{r|2一m≤ 2023+2026-2e2024 解得0<m<2 ≤2十m. (e2021+1)(e025+1D 综上所述，m的取值范围是[0,2) 周为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必 e202s(e-1)9 即时训练(1)C对于A,任意两个等 “(e+1)e+i>0. 要条件， 腰三角形不一定相似，故A错误，对于 则有A三B .M>N. B,所有的梯形都是等腰梯形是假命题， 于是特任x任 法二：令f(x)- e+1 故B错误；对于C,因为Hr∈R,|x|≥ 心+1+1 一x,脚x十|x≥0，故C正确：对于D 解得m>4或加≥4，即有m≥4， 所以正实数m的取值范国是m≥1. 图为￥6R2-+1-(-）广+ c+I+1 选②，由(1)知，A一《x|一2≤r≤5}，m >0, 子>≥子>0，故D特说。 解不等式x一4x十4一m2≤0， (2)答案（-，-)】 -+ 得2-m≤x≤2十m,即B={x2-m≤x 显然(x)是R上的减函数， ≤2十m, 解析命题“了x∈R,x2+x一a=0”为 .f(2023)>f(2024),即M>N. 图为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充 假命题，等价于“方程产十x一a一0无实 [例2](1)B由a<b<0,可得a十b<0, 分条件， 根”， 故A错误： 则有BA, 则4-1+a<0,解得a<-子 由a<b<0,可得a一b<0,故B正确： 于是得一2<2一m<2十m≤5或 由a<b<0,可得一a>一b>0,所以|a -22-m<2+m<5, 即实数a的取值范阁为（一∞，一 >bl,故C错误： 解得0<m≤3或0<m<3,即有0<加 由a<b<0,可得|a>b|>0, ≤3， 第三节 等式性质与不等式性质 <,故D错误， 所以正实数m的取值范国是0<m≤3. 夯实·必备知识 [例3](1)ABC对于A.“正方形是菱 (2)BCD当e-0时，ac2-bx2,故A 知识整合 形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是 错误： 1.>- 全称量词命题，故A正确： 由不等式的可加性可知，B正确： 2.b=u a=c 对于B,当x=1时，e<e十1成立，故B 若a>b>e>0,则a-b>0,b十c>0, 3,b<aa>c uc>he ac<be atc>b 正确： +d ac>bd 对于C,命题”3x∈R,x2一2x+3=0”的 --t+- b(b+c) 自我训练 否定为“Vx∈R,2-2x+3≠0”，故C c(a-b) 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 正确： 6(6+c>0. da十n 对于D,命题“Hx>1,都有2x十1>5”的 2.D3.方<b+m 4.(-2,1) 六号>收C正确： 否定为“3x>1,使得2x+1≤5”，故D 研磨·高考题型 若a>b>c>0,别4-b>0,a-c>0.b- 不正痛 [例】IDAD对子A:由题意可得品< c>0,且a-c>a-b, (2)B,命题“3r∈R,r2-3x十3<0” 为存在量词命题，存在量词命题的否定 是全称量词命题， 品，因为0，所以治>片故A正确 >>0 又b>c>0, 命题“3x∈R,2-3x十3<0”的否定 对于B:当m=2,p=-3时，满足已知条 是“Hx∈R,2-3x十3≥0”.故选B. 件，但m2一p2<0,故B错误： 由可来性知。方>。二故D正确， 446 即时训练(1)CA.当a>b>0时，a 即时训练(1)AC因为1≤a≤2,3≤b (2)答案3 >,尉<故A错裙： ≤5， 解析由已知，得12一4x十3y≥ 所以4a十b≤7，-2≤一a≤一1,1≤b 2/1x·3y, B.当6-1,4--2时，不满足> 一a4, a>京 所以a十b的取值范国为[1,7门， 脚12>2z·3y, 故B错误： b一a的取值范国为[1,4]， 解得y≤3（当且仅当4r一3y时取 故A正确，B错误： 等号) C当bKa<0时，0<心<，则是> 周为1≤a≤2,3≤b≤5， 即时训练(1)B对于y一十2x十4 -(+1)￥+3. 京反进米宁>时<a< 当x=一1时，函数的最小值为3，故A |b,雏不出b<a<0,所以b<a<0是 错误： 二>成立的一个充分不必要条件，故 所以ab的取值范国为[3,10]，分的取值 -2+2--+>V2· C正确： 范国为[合，号]，故C正确，D0误 4,当且仅当x一1时取等号，故B正确； D.当a-2,b--1时，不满足 1 4 a>序 (2)答案[2,11] ysm到+1sm五≥√1sin·m 故D错误.故选C. 解析设3a十2b=x(a十b)十y(a一b)= (x+y)a+(-y)h, =4,当且仅当mr一7时取 (2)ABD调为>b>0·品>0，所以品 5 x十y3解得 等号 b 所以 4 x-y=2, 1 y=2 由于nr-sn时，sin-2, 即<故A正： 根据正孩函数性质可知|snx|一2不 所以3a+2-(a+b)+号(a-b). 成立， 图为a>b>0,-a<0,所以-a2<-ab, 故B正确： 国为1<a+长1.-1<a-b≤2，所以号 故y一in十sn了≥1取不到等号， 故C错误： 若a=是，6=号，lala-1=h6一1= 周此，2≤3a十2b11. 对于y一lnx+n,由于lnx可能小 n号，敢C不正确： 第四节基本不等式 于0 因为4-b>0,所以2-0>20=1，故D 正扇， 夯实·必备知识 即y=h十的画载值可能为负位， 故其最小值为4不成立，故D错误 [例3](1)D国为-1<y<1,所以-2 知识整合 1.(1)a>0,b>0(2)a=b <-2y<2, (2C画数y--3r+2-1-3x 自我训练 又0心x<5,所以-2<x-2y<7. 1.(1)×(2)×X(3)/(4)× 延伸探究 1+2--(3x+1)+2 2.C3.D4.3 解设x一2y一m(r十y)十(r一y), 研磨·高考题型 >03+>√·-4 .x-2y-(m+n)r+(m-n)y. [例1](1)BD A对于品数y= x+1D2 m十n一1， 当x<0时，y<0,所以A选项 当仅当3=，即x-2时等号 3 解得 m-n--2, 错误； 成立， R.由于b>0所以名>0，号>0 故y--(3r+）+2≤-1E+2, 则y的最大值为2一4. :-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1， 所以兰+号≥2√合·号-2：音卫仅 当合-台心-分时等号成主所以B [例2](1)Dx>2,.x-2>0, -1长-+≤ y-+2--2++2≥ 选项正确： 1 C+3+2+22+2+2+2+1 2√-2·+2-6（当且仅当 -4-+w+2-2. +1-3 2-2 即-1≤x-2y≤2. 3+ 但十2-无解，所以等号不成 即x一4时取等号)， (2)B设教师人数为x,家长人数为y 女学生人数为，男学生人数为1，，y,:, 立，所以C选项错误： 叶气>》的藏小位方6 IEN'. (2)答案8 则y≥x+1,≥y+1≥r+2,≥x+1≥y D.由于r<0,所以y-2+x+1-2 解析国为y-r(8-2)-之[2x·(8 十2>≥x十3，则x十y十十1≥lx+6, 又教师人数的两倍多于男学生人数， [-+]<2-2-…马 -2<(2+82)-8 =0, .2x>x十3，解得x>3, 当且仅当2x一8一2x,即x一2时，等号 当x=1时，x十y十：十1>22，此时微信 当且仅当一一一工一一1时等号成 成立， 群人数的最小值为22. 立，所以D选项正确，故选BD 所以y=x(8一2x)的最大值为8. 447