第2节 常用逻辑用语-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

金榜题名创新高考总复习数学 第二节常用逻辑用语 [课标要求]1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理 与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命 题进行否定 夯实·必备知识 ■ 知识整合 (3)若p是g的必要不充分条件，则B丢A: 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (4)若p是g的充要条件，则A=B. 2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量 若p→q,则p是q的 条件，q是p的 词，否定结论” 条件 3.命题p与p的否定的真假性相反. p是q的 条件 p→q且qpp 自我训练 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打 p是q的 条件 pPq且q→p “/”或“X”) p是g的 条件 p台g (1)当p是g的充分条件时，9是p的必要 条件 ( p是g的 条件 pg且q为p (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词 命题， ) 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个” (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件 ) 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 ”表示 (④)命题~3x∈k,sim营十cos号-号”是真 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一 命题 ( 个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 ”表示。 2.已知x是实数，那么“x≤1”是“1≥1”成 7 3.全称量词命题和存在量词命题 立的 () 名称 全称量词命题 存在量词命题 A.充分不必要条件 对M中任意一个 存在M中的一个 B.必要不充分条件 结构 x,有p(x)成立 x,使p(x)成立 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 简记 3.x∈M,p(x) 3.(多选)已知集合A={xla十1<x<2a一3}， 否定 3x∈M,Tp(x) B={x|x≤-2或x≥7}，则A∩B=☑的必 要不充分条件可能是 【常用结论】 A.a<7 B.a<6 1.充分、必要条件与对应集合之间的关系 C.a≤5 D.a<4 A=ixp(x)),B=ixg(x)). (1)若p是q的充分条件，则ACB: 4.已知p:x<a,q:x<3,p是g的必要不充分 (2)若p是g的充分不必要条件，则A手B: 条件，则实数a的取值范围为 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 研磨·高考题型 >》 题型一充分、必要条件的判定 (2)当命题“若p,则q”为真命题，则“由p可 [例1](1)(2025·绵阳南山中学质检)对于 以推出q”,即一旦p成立，q就成立，饣是q 命题p:m<1,命题q:方程m.x2一2x十3 成立的充分条件.也可以这样说，若q不成 =0有两个同号且不等实根，则p是q的 立，那么p一定不成立，q对p成立也是很 必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一 A.充分不必要条件 段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险 B.必要不充分条件 远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至 C.充要条件 也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能 D.既不充分也不必要条件 至”的 (2)已知p:向量a,b所在的直线平行，q:向 A.充分条件 量a,b平行，则p是g的 () B.必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 题型二充分、必要条件的应用 D.既不充分也不必要条件 [例2】在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件： [尝试解答 ②“x∈CRA”是“x∈CRB”的必要条件这两 个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的 横线处，并求解下列问题， 问题：已知集合A={x|a≤x≤a十2}，B= {x(x+1)(x-3)<0}. (1)当a=2时，求A∩B: (2)若 ,求实数a的取值范围 [思维升华 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 充分、必要条件的三种判定方法 解答计分 (1)定义法：根据p→q,q→p是否成立进 [尝试解答] 行判断。 (2)集合法：根据p,q成立对应的集合之 间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：对所给题目的条件进行 一系列的等价转化，直到转化成容易判断充 分、必要条件是否成立为止. [微拓展 [即时训练] 充分不必要条件的等价形式 (1)(2025·扬州质检)设x∈R,则“2一x≥0” p是q的充分不必要条件，等价于一9是p 是“x+1≤1”的 的充分不必要条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 典例已知命题p:|x≤1，q:x<a,若q C.充分必要条件 是q是p的充分不必要条件，则实数a D.既不充分也不必要条件 的取值范围为 金榜题名创新高考总复习数学 [思维升华 [尝试解答] 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转 化为集合之间的关系，然后根据集合之间的 关系列出关于参数的不等式（或不等式组） 求解 (2)要注意区间端，点值的检验. [即时训练] 从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条 命题点2含量词的命题的真假判断 件”这两个条件中任选一个，补充到本题第 [例4]（多选）下列命题中的真命题是 (2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合 A.Hx∈R,2-1>0 A=x≤2≤32B={rx-4x+4- B.Hx∈N',(x-1)2>0 m2≤0，m∈R}. C.3x∈R,lgx<1 (1)若m=3,求AUB: D.3x∈R,tanx=2 (2)若存在正实数m,使得“x∈A”是“x∈B” [尝试解答] 成立的 ,求正实数m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. 命题点3含量词的命题的应用 [例5] (1)(多选)命题p:3x∈R,x2+2x十 2一m<0为假命题，则实数m的取值可 以是 () 题型三全称量词与存在量词 A.-1 B.0 命题点1含量词的命题的否定 C.1 D.2 [例3](1)（多选）下列说法正确的是( (2)(2025·临沂模拟)若p:Hx∈R,m.z2- A.“正方形是菱形”是全称量词命题 2m.x+2>0为真命题，则实数m的取值范 B.3x∈R,e<ex+l 围是 C.命题“3x∈R,x2一2x十3=0”的否定为 [尝试解答] “Hx∈R,x2-2.x+3≠0” D.命题“Vx>1,都有2.x十1>5”的否定为 “3x≤1，使得2x+1≤5” (2)(2025·滁州模拟)命题“3x∈R,x2 3.x十3<0”的否定是 A.Hx∈R,x2-3.x+3<0 B.Vx∈R,x2-3.x+3>0 C.3x∈R,x2-3.x+3>0 D.3x∈R,x2-3.x+3≥0 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 [思维升华 [即时训练] 含量词命题的解题策略 (1)下列命题为真命题的是 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明 A.任意两个等腰三角形都相似 都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要 B.所有的梯形都是等腰梯形 找到一个成立即可.当一个命题的真假不易 C.Hx∈R,x+|x|≥0 判定时，可以先判断其否定的真假， D.3x∈R,x2-x+1=0 (2)由命题真假求参数的范围，一是直接 (2)若命题“3x∈R,x2十x一a=0”为假命 由命题的真假求参数的范围；二是可利用等 题，则实数a的取值范围为 价命题求参数的范围 请完成课时作业（二 第三节 等式性质与不等式性质 课标要求]1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用. 夯实·必备知识 》》 知识整合 性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d> 0→ 1.两个实数比较大小的方法 性质7同正可乘方性：a>b>0→a”>b a-b>0台a b, (n∈N,n≥2). 作差法a一b=0台a b,(a,b∈R). 【常用结论】 a-b<0台a 6 不等式的两类常用性质 2.等式的性质 (1)倒数性质 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 ①a>b,ab>0→1<1 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c @u<0→> =b士c: ③a>b>0,0<c<dsa>b c-di 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; ④0<a<x<b或a<x<b<0→1<1 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么“= 3.不等式的性质 性质1对称性：a>b曰 (2)有关分数的性质 性质2传递性：a>b,b>c→ 若a>b>0,m>0,则 性质3可加性：a>b台a十c>b十c: ①真分数的性质 性质4可乘性：a>b,c>0→ 6b+m bbm(b-m>0); aa+m'a-a-m a>b,c<0→ ②假分数的性质 性质5同向可加性：a>b,c>d→ a、a十m,a<a-m(b-m>0). b6+m'b b-m参芳答案与详解 第一章集合与常用逻辑 因此集合C中的任意元素都是集合B中 (2)答案m≤4 用语、不等式 的元素，即有C二B,集合B中的每一个 解析周为AUB=A,削BCA. 元素都是集合A中的元素，即B二A, 当m十1>2m一1时，即当m<2时，B= 第一节集合 所以C二B二A.故选C. ⑦二A,满足题意： 夯实·必备知识 (2)B若4-2=0，解得a=2,此时A 当m十1≤2m一1时，即当m≥2时，B 知识整合 (0,一2}，B=1,0,21,不特合题意： ≠0， 若2a一2=0，解得a=1,此时A={0, 1.(1)确定性互异性无序性 (2)属于不属于∈任 -11,B={1,一1,0}，符合题意。 由BE人可得2解得-8Cm 综上所送，4一1. ≤4，此时2≤m≤4 (3)列举法描述法图示法 即时调练(1)C因为A=B,所以a2 够上所述，m≤4. 2.(1)任意一个元素A二B =3a一2，解得a=1或a=2. (2).xEAA=B(3)B三A 第二节常用逻辑用语 当a=1时，a2=1,与集合元素互异性矛 3.{x|x∈A,或x∈BAUB 盾，故a=1不正确. 夯实·必备知识 {r|x∈A,且x∈BHA∩B 经检验可知a=2符合，故选C. 知识整合 {xx∈U,且xEA)CuA (2)BC因为集合A={x|一1≤x≤7}， 1.充分必婴充分不必要必要不充分 自我训练 B=ra+2≤x≤2a-1}, 充要既不充分也不必要 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 又BCA,所以当B=0时，a+2>2a一1， 2.(1)廿(2)3 2.C3.ABD4.2 脚a<3: 3.Hr∈M,p(r)Hx∈M,-p(r) 研磨·高考题型 当B≠0时，有-1≤a+2≤2a-1≤7， 自我训练 解得3≤a≤4， 1.(1)/(2)√/(3)√(4)× [例1门1)B由题意得y=, 2.B3.AB4.(3,+o) 1y=3r. 故M=(一o∞，4们，则M的一个真子集可 以是（一∞，3]或(3,4]，故选BC 研磨·高考题型 解得 y=0 1y=9, 例3](1)D因为A■{1,2,3,4,5,9)， [例1](1)B方程mx”-2r+3=0有两 B={x|x∈A},所以B={1,4,9,16, 个同号且不等实根， 故A∩B=((0.0),(3,9) m≠0， 一立 3 25,811, (2)答案 则A∩B=1,4,9》,CA(A∩B)= 430 解析由题意得m十2=3或2m2十m {2,3,5》.故选D. (-2)2一4×3m>0, =3, (2)BC由M∩N=N,可得NC 解得0<m<3· 1 则m=1或m=一号， 由MUP=P,可得MCP. 则推不出P二M.故A错误： 当m=1时，m十2=3,2m2十m=3,根据 由MCP,可得M∩P=M,故B正确： 别伞题：0<m<名 集合中元素的互异性可知不满足题意： 因为NCM且MCP, 由m<1,可得一1<m<1,别命题p: 当m=一 2时m+22m+m=3 所以N二P,则NUP=P,故C正扇： 一1<m<1, 由N二M,可得M∩(CpN)不一定为空 则p是g的必要不充分条件.故选B. 特合题意，故m一一豆 3 集，故D错误， (2)A当向量a,b所在的直线平行时， [例4](1)BCD由题意知A=(xx2+x 可得向量a,b平行，则克分性成主， 即时训练(1)B闲为朵合A=(1,2,3}, -6=0), 而当向量a,b平行时，向量a,b所在的 B=(4,5},C=〈x十yx∈A,y∈B,所 由x2十x一6■0，解得x=2或x=一3， 直线平行成重合，则必要性不成立， 以C=(5,6,7,8.即C中元素的个数 所以A={2,一3}， 则p是？的充分不必要条件： 为4. 固为AUB=A,所以B三A, 即时训练(1)B由2一x≥0，解得x≤2. (2)D周为S={yy=x2一1)={yy≥ 当B=⑦时，m=0,满足题意： 由|x+1|≤1，即-1≤x+1≤1，解得 -1}. -2≤x≤0. 所以A,C错误 当B≠时，B-(仁} 又[-2.0]=(-o0,21, 因为2+(-2)=0，所以(2，-2)∈T, 由2一x≥0推不出x十1≤1，故充分不 则、1三2我一m=一3， 所以B错误， 成立， 又一1十1=0，所以（一1,1）∈T,所以D 解得=一或=子 由x十1|≤1排得出2一x≥0，即必要 性成立， 正确，故选D [例2]1)C徐题意，A-xx什5， 综上m=0或一之友号 所以“2一x≥0”是“|x十1≤1”的必要 不充分条件.故选B. 6 (2)B图为第合A,B满是A={xx>1), k∈Z=xx=+3》+3.k∈Z,B (2)B图为“非有志者不能至也”即“有 B={xxa-1}.且A∩B=O. 6 志“不成立时“能至”一定不成立， 期a-1≤1，解得a≤2. x-2+3,k∈Z, 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有 即时训练(1)A由集合A= 6 志”是“能至”的必要条件 C=(x1x=6+3,k∈2={x1r {4,a+2}知a十2≠4，即a≠2，而CuA [例2]解(1)由(x+1)(x-3)<0, 6 -(a},全集U-(2,4,a2}, 解得一1<r<3, 2X2h+3,ke,而{xr=k+3,k∈Z +22.解得a=0,经脸证=0 因此，/a2=a, 所以B={x|-1<x<3}, 6 当a-2时，A={x2≤x≤4}， =Z,{偶数)■{xx=2k,k∈Z, 满足条件，所以实数a的值为0，故选A. 所以A∩B={x2≤x<3. 445 (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，[例门ACD指数函数的值战为(0，十∞)， 对于C:当m=3,n=2,p=一1时，满足 期A二B,所以之。-，解得-1<a< 所以x∈R,2-1>0,故A正确： 1a+2<3 已知条件，但1<1 当x=1时，（一1）=0，所以x∈N, m十nm千p,故C错误： 1,即a∈(-1,1)： (x一1)2>0是假命题，故B错误： 对于D:m2一n一(n2一m)=m2一r2十m 选②“x∈CRA”是“x∈CRB”的必要条 当x=1时，lgx=0<1,所以3x∈R, 一n=(m一n)(m十n十1)，图为m>n >-1,解得-1< 件，期ACB,所以a+2<3, gx<1.故C正确； >0,可得(m一n)(m十H十1)>0，所以 因为函数y=tanx的值域为R,所以3r m2一n>n2一m,故D正确.故选AD. a<1,即a∈(-1,1). ∈R,tanx=2,放D正确. (2)C由题设，易知r,y>0, 微拓展 [例5](1)ABC若命题p:3x∈Rx2+ -E_+巨<1， 典例答案(1，十0∞) 2x+2一m<0为真命题， yE-e-Ic+I十E 解析由|x|≤1，即一1≤x≤1，由随意 则△=22一4(2-m)=4m-4>0,解得m <y. 知p是q的充分不必要条件，所以a>1. >1, 即时训练(1)A因为s一t=a十b+4 即时训练解(1)依题意，得2一“≤2 所以当命题p:了x∈R,x2+2r+2-m -(a一4h)=b2十4b十4=(b+2)2≥0， ≤2. <0为假命题时，m≤1，符合条件的为 所以≥1 解得一2≤x≤5，即A={x|一2r≤5. A、B、C选项 (2)答案M>N 当m=3时，解不等式x产-4r-5≤0， (2)答案[0,2) 得-1≤x≤5，即B={x-1≤x≤5. 解析 解析因为p:Vx∈R,mx2一2ma+2>0 法-：”M-N=+白 e3024+1 所以AUB=(x-2≤x≤5}， 为真命题， e2024+1 (2)选①，由(1)知，A={x一2≤x≤5}， 当m=0时，即2>0，成主 e2025+1 m>0, m>0, (e0+1)(2025+1)-(e2+1)2 解不等式x2-4r十4一m2≤0， 当m≠0时，即 (e22+1)(205+1) △=42-8n<0, 得2一m≤x≤2十m,即B={.x2-m≤x c2023+e2026-2e3024 解得0<川<2 ≤2十m}. (e20+1)(e0+1) 综上所递，m的取值范图是[0,2)， 因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必 e202s(e-1)9 即时调练(1)C对于A,任意两个等 要条件， (+1)(10. 腰三角形不一定相似，故A错误：对于 则有AB, M>N. B,所有的稀形都是等腰稀形是假命题， 于是得任官5 法二：令f(x)= e+1 故B错误：对于C,因为x∈R,x≥ c+1+1 一x,即x十x≥0，故C正确：对于D, 解得m>4或m≥4，即有m≥4， 周为Vr∈R2-+1-(-合）厂+ e+++1- 所以正实数m的取值范围是m≥4， e+1+1 选②，由(1)知，A一{x|一2≤x≤5}，m >0, 子≥>0，故D错误 1- 解不等式x2一4x十4一m2≤0， (2)答案（-0，-十) =+ 得2-m≤x≤2十m,即B={x|2-m≤x 显然「(x)是R上的减函致， ≤2+m. 解析命题“3x∈R产十x一a=0”为 f(2023)>f(2024),即M>N. 因为“x∈A”是“r∈B”成立的必要不充 假命题，等价于“方程x2十r一a=0无实 [例2](1)B由ab<0,可得a+b<0. 分条件， 根”， 故A错误： 则有BA, 则4=1+u<0,解得a<-子 由a<b<0,可得a一b0,故B正确： 于是得一2<2一m<2十m≤5成 由a<b<0,可得一a>一b>0,所以|a -2≤2-m<2+m<5,. 即实数a的取值范围为（一∞，一 >b,故C错误： 解得0<m≤3或0<m<3,即有0<m 由a<b<0,可得a>b>0. ≤3， 第三节 等式性质与不等式性质 所以正实数m的取值范围是0<m≤3， 所以日<合<，故D特溪 夯实·必备知识 [例3](1)ABC对于A,“正方形是菱 (2)BCD当c=0时，a2=2,故A 知识整合 形"等价于“所有的正方形都是菱形”，是 错误1 1.>=< 全称量词命题，故A正确： 由不等式的可加性可知，B正确： 2.h=aa=c 对于B,当x=1时，e<e+1成立，故B 若a>b>c>0.则a-b>0,b十c>0, 3.b<aa>c uc>be ac<be ate>b 正确； +d ac>bd 对于C,命题“3x∈R,x2一2x+3=0"的 --a+ b(b+c) 否定为“Vx∈R,x2-2r+3≠0”，故C 自我训练 c(a-b). 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 正确： 606+c)>0, 对于D,命题“x>1,都有2x+1>5”的 2.D3.合<b+m aa十n 4.(-2,1) “治>故C正璃： 否定为“3x>1,使得2x+1≤5”，故D 研磨·高考题型 若a>b>c>0,则a-b>0,a一c>0,b 不正确， (2)B,命题“3x∈R,2-3.r+3<0” [例1](I)AD对于A:由莲意可得< c>0.且a-c>a-b. 为存在量词命题，存在量词命题的否定 ,因为p<0,所以>上，故A正确： >>0… 是全称量词命题， 又b>c>0, ·命题“3x∈R,x2-3r+3<0”的否定 对于B:当m=2,p=一3时，满足已知条 b 是“Vx∈R,x2-3x+3≥0”，故选B. 件，但m2一p<0,故B错误： 由可乘性知。)>。二，故D正确。 446