精品解析：山东省寿光市第一中学2024-2025学年高一下学期期末模拟数学试题

2024-2025学年高一下学期第一次期末模拟 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 的对称中心是 C. 在区间上的值域是 D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 10. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. △PAB面积的最大值是 D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，，则的最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则_________． 13. 已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 14. 如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值；并把代数式分解成一次因式的积. 16. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量. 17. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期第一次期末模拟 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定复数进行除法运算即可得解. 【详解】. 故选：A 2. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【详解】由题意，且，解得， 所以. 故选：D 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 【详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 4. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得. 【详解】由单位向量，满足， 所以，解得， 则在上的投影向量为． 故选：B． 5. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得结果. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可得， ， 即观赏亭与观赏亭之间的距离为. 故选：C 6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则， 从而有，所以， 即当底面水平放置时，水面高为6. 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系求得，再根据二倍角公式求解即可． 【详解】由题得， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以， 故选：C． 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由题意可得： ， 即是上的“完整函数”，所以存在， 使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得， 综上可知． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 的对称中心是 C. 在区间上的值域是 D. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得函数的对称轴与对称中心可判断AB；利用余弦函数的性质可判断C；求得函数的解析式，计算可判断D. 【详解】由，解得， 所以的对称轴方程为， 当时，，所以是的一条对称轴，故A正确； 由，可得， 所以的对称中心是，故B错误； 当时，，,故C正确； 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以，所以是奇函数， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面半径为，高为1，A，B是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. △PAB面积的最大值是 D. 该圆锥内接圆柱侧面积的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由圆锥侧面积公式可判断选项正误；对于B，由母线长及底面圆周长可判断选项正误；对于C，计算圆锥轴截面顶角，当时，的面积最大，据此可判断选项正误；对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，由题可得圆柱侧面积表达式，然后利用函数知识可判断选项正误. 【详解】根据题意，作出该圆锥的轴截面，圆锥的底面圆心为，依次分析选项： 对于A，轴截面中，，底面半径，所以母线长， 故圆锥的侧面积是，A正确； 对于B，圆锥母线长为2，展开图的弧长为，则圆心角弧度为，B错误； 对于C，由题意可知, 故圆锥轴截面的顶角为，则当时，的面积最大，其最大值为， C错误； 对于D，设圆锥内接圆柱的底面半径为，高为，则有， 化简可得，则圆柱的侧面积， 由二次函数的性质可知，当时，有最大值，D正确. 故选：AD 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，，则的最大值为 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据正弦定理求出的值，然后根据的范围和正弦值的大小确定的解的个数；对于选项B，根据已知条件判断角的关系，从而判断三角形的形状；对于选项C，首先根据三角形面积公式列出与的关系，然后根据余弦定理和基本不等式的性质求出的最小值，从而得到的最大值；对于选项D，根据已知条件可判断垂直关系和角的值，从而可判断三角形的形状. 【详解】对于选项A： 根据正弦定理可得，解得. 因为，所以或者. 因为在三角形中，，所以或者. 从而满足条件的三角形只有2个，所以A正确. 对于选项B： 因为，所以或. 化简得：或.所以为等腰三角形或者直角三角形，B错误. 对于选项C： 因为，所以. 根据余弦定理. 因为，所以， 化简得：. 根据基本不等式的性质， 当且仅当时，等号成立，此时解得的最小值为. 又，所以的最大值为，C正确. 对于选项D： 是向量方向上的单位向量，所以它们的模为1. 所以，所以. 因为，说明角平分线方向的向量与的数量积为0， 所以角的平分线与垂直，所以为，所以为等边三角形，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求. 【详解】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 13. 已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥补成一个棱长为1的正方体，结合正方体的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】因为三棱锥的三条棱，，两两垂直，且， 可得把三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 则三棱锥的外接球和所补成的正方体的外接球为同一个球， 设三棱锥的外接球的半径为，则，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 14. 如图，矩形中，边，分别是上的点，若， 则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用表示即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 边，， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，i为虚数单位. （1）求； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值；并把代数式分解成一次因式的积. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）应用复数的除法和加法化简复数，再写出其共轭复数； （2）是的两个根，应用根与系数关系求参数，再对代数式作因式分解. 【小问1详解】 由题设，则； 【小问2详解】 由题设是的两个根，则，故， 所以. 16. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积求解； （2）根据向量共线与向量模长求解； 【小问1详解】 因为，所以， 又因为是单位向量，设夹角为,所以 解得 又 所以 【小问2详解】 因为，所以即 设，则有 因为向量与向量共线， 所以解得 联立两式得：或， 所以为或. 17. 已知向量，函数，函数图像相邻对称轴之间的距离为. （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算法则和三角恒等变换知识化简可得，再由，求得的值后，根据正弦函数的单调性，得解； （2）由函数图象的伸缩平移法则可得，采用换元法，令，原问题转化为在，上只有一个解，作出的图象后，即可得解． 【小问1详解】 ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令，则， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则，所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得，或， 所以的取值范围是 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范围，再结合正弦型函数的性质即可求解． 【小问1详解】 根据题意，由正弦定理得， 又在中，有，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 结合（1）可得，， 由，则根据正弦定理有，得，， 根据余弦定理有，得， 所以 ， 又为锐角三角形，则有，，得， 所以，所以， 故． 【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问（2）的关键． 19. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可得出答案； （2）根据求解即可； （3）连接交于点，连接并延长交于点，由此得到三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，由题得，则，得解. 【小问1详解】 在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. 【小问2详解】 因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. 【小问3详解】 连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥. 因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $