重难专攻（十五） 求数列的前n项和（七类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

重难专攻（十五）求数列的前n项和 目录●重难点题型分布 重难点题型1 公式法 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 2．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 3．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 4．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知是等比数列，，则数列的前项和为 . 5．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 6．（2025·江西宜春·二模）记数列的前项和为，其中，，对任意的，有. (1)求数列的通项公式； (2)求. 重难点题型2 分组求和法 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，， (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，试证明：， 重难点题型3 裂项相消法 10．（2025·重庆·三模）已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足.令.求数列的前项和. 12．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 13．（2025·江苏扬州·三模）已知是等差数列，公差不为，其前项和为.若，，构成等比数列，. (1)求及； (2)数列满足，，，为数列的前项和，求. 14．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 15．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 16．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 重难点题型4 错位相减法 17．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 19．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列前n项和为，且满足，数列满足． (1)求出 (2)求出数列的前项和 20．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 21．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 22．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 23．（2024·吉林·二模）已知数列, (1)求. (2)求的通项公式； (3)设的前项和为,若,求. 重难点题型5 并项求和法 24．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．81 B．90 C．100 D．2021 25．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为 A． B． C． D． 26．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记. (1)若数列为等差数列，求的公差. (2)设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 27．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 28．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 29．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列为等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和．. 重难点题型6 奇偶分段求和法 30．（2024高三下·河南安阳·月考）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 31．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 32．已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数. 33．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 34．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 35．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 重难点题型7 其它综合情况 36．（2024·江西景德镇·二模）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（    ） A．440 B．480 C．540 D．580 37．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即，，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 38．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究·杨辉之后一般被称为“垛积术”．现有高阶等差数列前几项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第21项为 . （注：） 39．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下： ．．． 记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2023·湖南长沙·模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 41．在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，， （1）求数列的通项公式； （2）令其中表示不超过的最大整数，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻（十五）求数列的前n项和 目录●重难点题型分布 重难点题型1 公式法 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】先求出的公比，再求出的通项，故可求的前8项和. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，则， 故数列的前8项和为. 故选：C. 2．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 3．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据数列的单调性，结合数列通项的正负得出数列和的最小值即可. 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知是等比数列，，则数列的前项和为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据等比数列定义可得数列的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【详解】由是等比数列可得其公比， 因此数列的首项为，公比，所以，即； 所以数列的前项和为 . 故答案为： 5．（2025·河南·模拟预测）已知数列和满足是等比数列，是等差数列. (1)求和的通项公式； (2)求和的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据已知求、的基本量，再由等比、等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）所得通项公式求和的通项公式； （3）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由， 因为是等比数列， 则公比为，所以， 因为是等差数列， 则公差为，所以. （2）由（1）得， 则. （3）由（2）有. 6．（2025·江西宜春·二模）记数列的前项和为，其中，，对任意的，有. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1)， (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由条件可得当时，与原式相减化简可得，由原式取可求，结合等差数列定义，可求结论； （2）当时，由关系结合等差数列求和公式可求，验证是否满足所得关系，由此可求结论. 【详解】（1）因为， 所以当，时，， 两式相减可得，， 所以， 所以数列从第二项起是公差为的等差数列， 在中取可得， 因为，所以，， 所以， （2）由（1）知，当时，， 所以， 当时，， 所以. 重难点题型2 分组求和法 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 9．（2025·河南新乡·模拟预测）已知数列各项均为正数，且满足，，， (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，试证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）变形给定的递推公式，再取对数构造等比数列并求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法求出，构造函数，利用函数的单调性推理得证. 【详解】（1）正项数列中，，，由，得， 则，即，，于是， 令，则有，因此，即， ，则是以2为公比，以为首项的等比数列， 于是，即，解得， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，显然是等比数列， 即， 令函数，求导得， 当时，，则， ，函数在区间上单调递减，， 所以 重难点题型3 裂项相消法 10．（2025·重庆·三模）已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足.令.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据构成等差数列列式计算即可求解； （2）利用退位相减法求得，即，再根据裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为构成等差数列， 所以，即，解得或（不符合题意舍去）， 所以； （2）令， 当时，， 当时，， 显然时也满足上式， 因为，所以， 所以， 所以. 12．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 13．（2025·江苏扬州·三模）已知是等差数列，公差不为，其前项和为.若，，构成等比数列，. (1)求及； (2)数列满足，，，为数列的前项和，求. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列等比数列的通项公式及求和公式直接列方程，解方程即可； （2）利用累加法可得，进而可得，再利用裂项相消法可得. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，且， 由，，构成等比数列，， 则， 解得， 则，； （2）由（1）得， 即， 则，，，，， 等式左右分别相加可得 又， 所以， 所以， 则 . 14．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）记为数列的前n项和，且满足，． (1)求； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据已知条件判断数列为等差数列并求出其通项公式，进而得到的表达式； （2）利用与的关系求出； （3）对进行裂项相消求和并证明不等式. 【详解】（1）由可知数列是首项为1，公差为1的等差数列， 故，即． （2）当时，， 又因为满足上式，故； （3）， 故，故． 15．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解. （2）由结合已知推理即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在正项数列中，， 令，得，解得，负值舍去； 令，得，即，则， 所以，负值舍去’ （2）当时，，而，则， 即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3）由（2）知，可得， 则， 所以. 16．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）将题干式子变形得，利用与的关系化简可得，根据等差数列通项公式计算即可； （2）求得的通项公式，分类讨论求和即可； （3）由题意得，利用裂项相消求和即可. 【详解】（1），得， 当时，有， 得， 化简可得， 因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可得， 当时，， 当时，， 综上，； （3）由（1）可得， 则. 重难点题型4 错位相减法 17．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 18．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 19．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列前n项和为，且满足，数列满足． (1)求出 (2)求出数列的前项和 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意，求得，得到是等比数列，得到，再由对数的运算性质，求得； （2）由（1）得，结合数列错位相减求和，即可求解． 【详解】（1）因为， 当时，，所以， 当时，可得， 两式相减，得， 所以，所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以， 因为， 所以． （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以. 20．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故. （2）由（1）可得， 所以， 则， 上述两个等式作差得 ， 因此，. 21．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时也符合上式， 所以， ，所以. （2）， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 22．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. (1)求的通项公式； (2)当时，记，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式； （2），利用错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； （2）因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 23．（2024·吉林·二模）已知数列, (1)求. (2)求的通项公式； (3)设的前项和为,若,求. 【答案】(1) (2) (3)4048或4047. 【难度】0.4 【知识点】判断或写出数列中的项、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】(1)将分别代入关系式运算即可. (2)考查等比数列的构造,通过构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可. (3)考查数列的周期性，通过对的周期性取值讨论求解即可. 【详解】（1）当时,得； 当时,得 （2）设 整理得 又 解得 又 是以为首项,为公比的等比数列, 故的通项公式为 （3）设 设则当时,当时, 当时,当时, 且， 若,则或. 重难点题型5 并项求和法 24．已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，，，···，2，1，···的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．81 B．90 C．100 D．2021 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】将数列排成杨辉三角的形式，得到各行所有数的项及其和的通项公式，再求前i行的数的和求解. 【详解】依题意，把数列排列成如下所示的形式： 第1行               1 第2行            1，2，1 第3行         1，2，4，2，1 第4行      1，2，4，8，4，2，1 …                   … 第行  1，2，4，…，，…，4，2，1 可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，…，第行有项， 前行共有项． 设第行的个数的和为， 则． 则前行的和， ， ， 所以，． 又， ，， 所以的最小值为90． 故选：B 25．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据题意由等比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得，最后解不等式得结果. 【详解】设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有 ，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为. 故选C 【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 26．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，为常数，记. (1)若数列为等差数列，求的公差. (2)设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)1 (2)①；②证明见解析 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】(1)根据证明定义法证明数列是等差数列即可. (2) 根据数列的通项和数列前n项和得关系,求出通项公式.根据放缩法对数列前项和进行放大,证明新代数式符合不等式要求,证明不等式. 【详解】（1）因为，所以， 则，，. 因为数列为等差数列，所以，即，解得， 所以的公差为. （2）①解：当时，， 当时，， 故的通项公式为 ②证明：当时，，满足. 当时，， 则 . 综上. 27．（2025·陕西·二模）已知等比数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由通项公式列出等式求解即可； （2）由分组求和法求和即可. 【详解】（1）设的公比为， 由题得 解得 所以. （2）由（1）可得该数列为， 则 . 28．（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 29．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列为等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，求出等比数列公比，再求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）在等比数列中，由，，得公比， ，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以. 重难点题型6 奇偶分段求和法 30．（2024高三下·河南安阳·月考）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论； （2）由（1）的结论表示出，和，证出在是一个增数列，通过计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ，，， , 又， ， , ， ， 又， ， , ,即， ， 又， ， ， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ， 即， ， ， ， 又， ， 即, ， ， ， 在是一个增数列， ， ， ∴满足题意的n的最小值是20． 31．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 32．已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析. 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系证明等比数列、数列求和的其他方法 【详解】分析：（1）设，推导出，由此能证明数列是等比数列； （2）推导出 ，由，得 ， ，从而 由此能求出满足Sn＞0的所有正整数n的值． （1）设， 因为 ， 所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）得 ，即， 由，得 ， 所以 ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，，所以当时，； ， 同理，当且仅当时，， 综上，满足的所有正整数为和. 点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 33．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出 （2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案. 【详解】（1），， ，， 又，， ，， 由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列， ， 从而数列的通项公式为 （2）由（1）知， ， ， 设， 则， 两式相减得， 整理得， . 34．（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案； （2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，则， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）方法一： 由（1）知 方法二： 由（1）知 设，则可得， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以的前n项和， 设 所以的前n项和 所以． 35．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）为奇数时，求得，为偶数时，利用错位相减法得，最后相加即可； （3），利用作差法得其单调性，即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． （2）为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． （3），， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 重难点题型7 其它综合情况 36．（2024·江西景德镇·二模）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（    ） A．440 B．480 C．540 D．580 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据求出,进而求出,写出,观察三角垛公式,发现其每一项是等差数列的前项和的形式,代入前项和公式,即可得与之间的联系,代入公式即可得出结果. 【详解】解:由题知, 所以, 当时, , 当时,满足上式, 故, 所以, 由三角垛公式: 可得: , 即, 因为, 所以 , 故. 故选:A 37．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…、即，，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】数列求和的其他方法、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】首先得出数列是以6为周期的周期数列，结合的定义即可得结果. 【详解】新数列为周期数列：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…， ，， ， 所以， 故选：A. 【点睛】本题考查了数列递推关系、斐波那契数列的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 38．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差相等．对这类高阶等差数列的研究·杨辉之后一般被称为“垛积术”．现有高阶等差数列前几项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第21项为 . （注：） 【答案】1391 【难度】0.4 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】设该数列为，令，，然后根据数列的通项公式和前n项和，结合公式可解. 【详解】设题设高阶等差数列为， 令，设数列的前项和为，则数列的前几项分别为，， 令，设数列的前项和为，则数列的前几项分别为，， 易得，所以，故， 则， 所以，所以． 故答案为： 39．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量分解为连续奇数组，规律如下： ．．． 记表示第个等式中第个量子态能量值（如），研究人员发现满足：第行恰含有个连续奇数，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】利用累加法求得，计算即可判断A；计算可判断B；根据计算，判断C；利用放缩及裂项相消法可得D. 【详解】选项A：， 累加可得， 所以，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：由B知．当时，，故，从而有，故D正确． 故选：ABD. 40．（2023·湖南长沙·模拟预测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数， (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，定义，且记，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、数列求和的其他方法、数列新定义 【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明 (2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可. 【详解】（1）点在函数的图象上，， 是“平方递推数列”．                         因为， 对两边同时取对数得， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知，                              由数列的通项公式得， 当时，；当时，． 又由，得                  当且时，；                           当且时， ，                                    综上， 41．在①；②；③是与的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知为公差不为零的等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为常数，， （1）求数列的通项公式； （2）令其中表示不超过的最大整数，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、数列求和的其他方法 【分析】若选 （1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得； （2）由，可得解. 若选 （1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得； （2）由，可得解. 若选 （1）先求，可得，进而得，由基本量运算可得； （2）由，可得解. 【详解】若选：由已知，所以 通项， 故 不妨设的公差为.则 解得所以 由，则， ， 所以. 若选：由已知，， 通项 故. 不妨设的公差为，则， 解得所以. 由，则， ， 所以. 若选：由已知，所以 通项， 故 不妨设的公差为.则， 因为解得所以. 由 则 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据判断的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$