专题11.1 同底数幂的乘法 幂的乘方（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题11.1 同底数幂的乘法 幂的乘方 教学目标 1. 了解乘方及其有关概念； 2. 掌握同底数幂乘法的性质及其逆用； 3. 知道幂的乘方性质及其逆用。 教学重难点 1.重点 （1）会利用同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质进行运算； （2）根据同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质求值； （3）同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质的综合应用。 2.难点 （1）理解幂有关的概念及其应用； （2）同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质的综合应用—比较幂的大小、寻求参数之间的关系等。 知识点1 同底数幂的乘法 1.乘方 我们知道，a·a·a表示三个a相乘，记作a³,叫作“a的立方”或“a的三次方”. 一般地，将n个a相乘的运算叫作乘方， 2.幂 记作“an”,乘方的结果叫作幂. 3.乘方有关的概念 在an中，a叫作底数，正整数n叫作指数.“an”读作“a的n次方”,当“an”被看作是a的n次方的结果时，也读作“a的n次幂”.当n=1时，我们规定：a¹=a. 4.同底数幂的乘法 同底数幂的乘法性质： am·an=am+n(m、n是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算. 要点： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是整式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 4．可以写成（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 知识点2 幂的乘方 1．观察 (2³)²=2³×2³=23+3=23×2; (a³)²=a³·a³=a3+3=a3×2; (am)²=am·am=am+m=a2m(m是正整数). 一般地，设m、n是正整数，如何计算(am)n? 事实上，（乘方的意义） （同底数幂的乘法性质） 2.幂的乘方 幂的乘方性质： (am)n=amn(m、n是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算. 要点： （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．已知，则等于（  ） A． B． C． D． 4．已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 题型01 同底数幂的乘法基础辨析、填空 【典例1】．（1）同底数幂的乘法运算性质：同底数幂相乘，底数 ，指数 ； （2） ； （3） ； （4）括号内填写： 【变式1】．计算： ． 【变式2】．下列各项中，是同底数幂的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D．与x 【变式3】．下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）( ) ； （2） ( ) ； （3） ( ) ； （4） ( ) . 题型02 同底数幂的乘法运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．计算（    ） A． B． C． D． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型03 根据同底数幂的乘法运算求参数 【典例1】．若，则 ． 【变式1】．已知，那么x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．若102×10m＝102 017，则m＝ ． 题型04 同底数幂乘法的逆用 【典例1】．x3m＋1可以写成(     ) A．x3·x(m+1) B．x3＋x(m+1) C．x·x3m D．xm＋x(2m+1) 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．5 D．9 【变式3】．已知，用含的代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 幂的乘方运算性质基础填空 【典例1】．填空题： （1）幂的乘方运算性质：幂的乘方，底数 ，指数 ； （2） ； （3），横线上应填 ； （4），横线上应填 ； （5），横线上应填 ； （6），横线上应填 ． 【变式1】．填空： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）．括号内应填入： 题型06 幂的乘方运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 幂的乘方性质的逆用 【典例1】．已知求的值． 【变式1】．已知，，m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则m的值为（        ） A．100 B．50 C．25 D．4 【变式3】．若，求的值． 题型08 比较幂的大小 【典例1】．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【变式1】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 题型09 新定义题 【典例1】．如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 【变式1】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】．新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．运算结果为的是（    ） A． B． C．（6个a相乘） D．（6个a相加） 4．结果等于的有（　　） A． B． C． D． 5．下列等式中正确的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．计算（　　　） A． B． C． D． 7．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如果，，那么的值是（   ） A．128 B．32 C．96 D．无法确定 9．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（1） ； （2） ． 12．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 13．若，则p的值为 ． 14．已知，则 ． 15．已知，则的值是 ． 16．如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 18．计算： (1)； (2)为整数）； (3)； (4)． 19．已知，，求的值． 20．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 21．按要求答题 (1)已知，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值． 22．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 23．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 同底数幂的乘法 幂的乘方 教学目标 1. 了解乘方及其有关概念； 2. 掌握同底数幂乘法的性质及其逆用； 3. 知道幂的乘方性质及其逆用。 教学重难点 1.重点 （1）会利用同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质进行运算； （2）根据同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质求值； （3）同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质的综合应用。 2.难点 （1）理解幂有关的概念及其应用； （2）同底数幂乘法的性质、幂的乘方性质的综合应用—比较幂的大小、寻求参数之间的关系等。 知识点1 同底数幂的乘法 1.乘方 我们知道，a·a·a表示三个a相乘，记作a³,叫作“a的立方”或“a的三次方”. 一般地，将n个a相乘的运算叫作乘方， 2.幂 记作“an”,乘方的结果叫作幂. 3.乘方有关的概念 在an中，a叫作底数，正整数n叫作指数.“an”读作“a的n次方”,当“an”被看作是a的n次方的结果时，也读作“a的n次幂”.当n=1时，我们规定：a¹=a. 4.同底数幂的乘法 同底数幂的乘法性质： am·an=am+n(m、n是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算. 要点： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是整式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （3）先化为以x为底，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式． 4．可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则即可得解，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 5．已知，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案． 【详解】解；， 故选：． 知识点2 幂的乘方 1．观察 (2³)²=2³×2³=23+3=23×2; (a³)²=a³·a³=a3+3=a3×2; (am)²=am·am=am+m=a2m(m是正整数). 一般地，设m、n是正整数，如何计算(am)n? 事实上，（乘方的意义） （同底数幂的乘法性质） 2.幂的乘方 幂的乘方性质： (am)n=amn(m、n是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算. 要点： （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题干主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先计算幂的乘方运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）． 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则计算即可； （）利用幂的乘方运算法则先运算，再合并同类项即可； 本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 3．已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，首先逆用幂的乘方的运算法则得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 4．已知，（m，n是正整数）．求： (1)； (2)． 【答案】(1)256 (2)68 【分析】本题考查了幂的运算的逆运算及同底数幂的乘法的逆运算，解题关键是熟练运用幂的运算的逆运算法则进行求解． （1）利用同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方的逆运算计算即可； （2）利用幂乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）． 题型01 同底数幂的乘法基础辨析、填空 【典例1】．（1）同底数幂的乘法运算性质：同底数幂相乘，底数 ，指数 ； （2） ； （3） ； （4）括号内填写： 【答案】 不变 相加 5 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算性质，熟记同底数幂的乘法运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．符号表示：（，是正整数），是解决问题的关键． 根据同底数幂乘法的运算法则依次计算即可得出结果． 【详解】解：（1）底数幂的乘法运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）； （3）； （4）， 故答案为：不变；相加；；；5． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式2】．下列各项中，是同底数幂的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D．与x 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的理解，根据定义计算判断即可． 【详解】A项，与的底数分别是x与a，不是同底数幂； B项，与的底数分别是与与a，不是同底数幂； C项，与的底数分别是与，不是同底数幂； D项，与x的底数都是x，是同底数幂； 故选D． 【变式3】．下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）( ) ； （2） ( ) ； （3） ( ) ； （4） ( ) . 【答案】 错 错 错 错 【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则逐项分析可得解. 【详解】解：（1）（   错   ）改正为：； （2） （   错   ）改正为：； （3） （ 错     ）改正为：； （4） （  错    ）改正为：. 故答案为(1). 错    (2).     (3). 错    (4).     (5). 错    (6).     (7). 错    (8). 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键. 题型02 同底数幂的乘法运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)256 (4) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则计算即可． （1）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则求解即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据合并同类项法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘法，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （5）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） （5） ． 题型03 根据同底数幂的乘法运算求参数 【典例1】．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法．根据同底数幂乘法法则计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1】．已知，那么x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据，列出关于x的方程，解关于x的方程即可． 【详解】解：∵， ∴2+x-4＝5， 解得：x＝7，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据题意得出2+x-4＝5，是解题的关键． 【变式2】．若102×10m＝102 017，则m＝ ． 【答案】2015 【详解】因为102×10m＝102+m＝102017，所以2+m=2017，则m=2015，故答案为2015. 题型04 同底数幂乘法的逆用 【典例1】．x3m＋1可以写成(     ) A．x3·x(m+1) B．x3＋x(m+1) C．x·x3m D．xm＋x(2m+1) 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解． 【详解】x3m+1=x3m•x． 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法的运算法则． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，首先逆用同底数幂的乘法法则，得到原式，再提公因数得到，经计算得到结果． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式2】．若，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．5 D．9 【答案】A 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 【变式3】．已知，用含的代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴即 ∴ 故选：B． 题型05 幂的乘方运算性质基础填空 【典例1】．填空题： （1）幂的乘方运算性质：幂的乘方，底数 ，指数 ； （2） ； （3），横线上应填 ； （4），横线上应填 ； （5），横线上应填 ； （6），横线上应填 ． 【答案】 不变 相乘 4 6 10 3 【分析】题目主要考查幂的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据幂的乘方运算依次计算即可得出结果． 【详解】解：（1）幂的乘方运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘； （2）； （3），横线上应填4； （4），横线上应填6； （5），横线上应填10； （6），横线上应填3； 故答案为：不变；相乘；；4；6；10；3 【变式1】．填空： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）；括号内应填入： （）．括号内应填入： 【答案】 【分析】（）根据幂的乘方运算法则解答即可； （）根据幂的乘方的逆运算法则解答即可； （）根据幂的乘方运算法则解答即可； （）根据幂的乘方的逆运算法则解答即可； 本题的考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）原式， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：． 题型06 幂的乘方运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （2）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （4）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘法解题； （5）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘解题； （6）先运算幂的乘方，然后运算同底数幂的乘法解题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各运算法则． （1）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算； （2）运用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘法运算，最后进行合并同类项； （4）先进行幂的乘方运算，再进行合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； （2）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （3）先运算幂的乘方、同底数幂的乘法，然后合并同类项解题； （4）先运算幂的乘方，然后利用同底数幂的乘法计算解题； 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 题型07 幂的乘方性质的逆用 【典例1】．已知求的值． 【答案】108 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆应用代入求解即可得到答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查幂的运算，掌握同底数幂相乘底数不变指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘是解题关键． 【变式1】．已知，，m，n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 【变式2】．若，则m的值为（        ） A．100 B．50 C．25 D．4 【答案】C 【分析】根据幂的乘方的逆用，将底数为9的幂转化为底数为3的幂，得到指数之间的关系，从而得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，正确进行幂的乘方中底数的转化是解题的关键． 【变式3】．若，求的值． 【答案】8 【分析】先将化为同底数得，再由可得，代入即可得出答案． 【详解】解： ∵，即， ∴原式． 【点睛】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘法的逆运算等运算法则是解题的关键． 题型08 比较幂的大小 【典例1】．探究题： (1)计算下列算式的结果：______，______； 发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）； (2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？ ①若，求的值； ②比较，，的大小，并用“”号连接． 【答案】(1)64；64； (2)①；② 【分析】（1）根据乘方运算法则求解，，从而得到猜想； （2）由（1）中猜想，直接运算以及化成同指数幂的形式比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 小浦猜想会有如下规律：（用，，表示）； 故答案为：64；64；； （2）解：①∵， ∴； ②∵，，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方运算的归纳及应用，读懂题意，理解幂的乘方运算法则的应用是解决问题的关键． 【变式1】．已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则得到，根据同底数幂的大小即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选C． 【变式2】．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 题型09 新定义题 【典例1】．如果， 那么我们规定． 例如：因为， 所以． 根据上述规定，若， 且满足， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方是解题的关键．由题意知，，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【变式1】．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”使它满足，即有一个根为i，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：……那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，将变形成，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运算，解题的关键是仔细阅读已知材料，找到关于运算的规律． 【变式2】．新考法我们定义：三角形，五角星；若，则＝ ． 【答案】32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 一、单选题 1．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则运算即可． 【详解】解：． 故选择C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法是解题关键． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘底数不变，把指数3、5相加进行计算. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则即可. 3．运算结果为的是（    ） A． B． C．（6个a相乘） D．（6个a相加） 【答案】C 【分析】本题考查了幂的相关运算：同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项等知识，掌握它们是解题的关键；依照这些知识逐项计算即可作出判断． 【详解】解：A、，结果不符合题意； B、，结果不符合题意； C、（6个a相乘），结果符合题意； D、（6个a相加），结果不符合题意； 故选：D． 4．结果等于的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符题意； 故选：C ． 5．下列等式中正确的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，故原选项计算错误，不符合题意； ②，故原选项计算错误，不符合题意； ③，故原选项计算错误，不符合题意； ④，故原选项计算正确，符合题意； 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 6．计算（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：， 故选：B． 7．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【详解】解：． 故选：C． 8．如果，，那么的值是（   ） A．128 B．32 C．96 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 将利用同底数幂的乘法逆运算化为，再由幂的乘方逆运算化为进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 9．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方逆运算法则及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，，得到，进而问题可求解． 【详解】解：，，且满足， ，即， 故选：B． 10．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方的逆用展开再比较即可． 【详解】解：，，， ， ，，， ， ，，， ， 故选A． 二、填空题 11．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1）由同底数幂的乘法可知，， 故答案为：； （2）由同底数幂的乘法可知，， 故答案为：． 12．（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 或 或64； ． 【分析】（1）根据幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方计算即可； （3）根据幂的乘方计算化为底数是3，也可按幂的乘方逆运算化为底数为27即可； （4）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可； （5）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可； （6）根据积的乘方，再算幂的乘方计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为（1）；（2）；（3）或；（4）或64；（5）；（6）． 【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题关键． 13．若，则p的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 【详解】解：∵， ， 解得：． 故答案为：3． 14．已知，则 ． 【答案】54 【分析】本题考查了幂的乘法的逆用，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：54． 15．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如果a，b，c满足，，，那么a，b，c满足的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，再由得到，则，据此可得答案． 【详解】解；∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式 ; （6）解：原式 ． 18．计算： (1)； (2)为整数）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （2）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可； （3）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算，最后合并同类项即可； （4）先计算幂的乘方的运算，然后计算同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） 19．已知，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方法则，正确用和表示所求的式子是关键．首先利用同底数的幂的乘法法则以及幂的乘方法则把所求的式子可以化成用和表示的形式，代入求值即可． 【详解】解： ． 20．已知，=2，求： (1)+的值； (2)的值． 【答案】(1)33 (2)2000 【分析】本题主要考查同底数幂乘法、幂的乘方运算能力，恰当地选择运算法则是解题关键，属中档题． （1）根据幂的乘方变形，代入计算即可； （2）先根据同底数幂乘法变形，再根据幂的乘方变形，最后代入计算可得． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解： ． 21．按要求答题 (1)已知，求的值． (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1)8 (2)32 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，对于（1），将待求式化为，再根据，可得出答案； 对于（2），将待求式化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）原式． ∵， ∴， ∴原式； （2）原式． ∵， ∴原式． 22．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 23．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$