21.2 二次函数的图象和性质 课件-2024-2025学年沪科版数学九年级上册

21.2 二次函数的图象和性质 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 导入新课 已知二次函数 ① y = -x2； ② y = x2； ③ y = 15x2； ④ y = -4x2； ⑤ y = - x2； ⑥ y = 4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号). ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 复习引入 学习目标 1.会用描点法画出y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点） 导入新课 复习引入 1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: (1)y=ax2 (2)y=ax2+k (3)y=a(x+h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 复习引入 y = a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x = h x = h 当 x<h 时，y 随着 x 的增大而减小；当x>h时，y随着x的增大而增大. 当x<h时,y 随着 x 的增大而增大；当x>h时，y 随着 x 的增大而减小. x=h 时,y最小=k x=h 时,y最大=k 抛物线 y = a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的. 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2-5 y = -2(x+2)2 y = -2(x+2)2-4 y = (x-4)2+3 y = -x2+2x y = 3x2+x-6 (0 , 0 ) y轴 0 (0 ,-5) y轴 -5 (-2 , 0) 直线 x=-2 0 (-2 ,-4) 直线 x=-2 -4 (4 , 3 ) 直线 x=4 3 ? ? ? ? ? ? 合作探究 我们已经知道 y = a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？ 问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 配方可得 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）. 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？ … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 解：先利用图形的对称性列表 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图，得到图象 如右图. O 问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性. 5 10 x y 5 10 x=6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y=2x2-8x+7 的图象和 性质吗？ O 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？ 3.把y=-2x2的图像 向上平移3个单位 y=-2x2+3 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？ O X y 3 -2 O y 3 -2 X 试一试：画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2) -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 讲授新课 二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质 二次函数 y=a(x+h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,k） （h,k） 最值 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 知识要点 顶点式 例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. 典例精析 A 例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式． 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法2 向左平移 1个单位 二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x+h )2 y = a( x+h )2 + k 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 要点归纳 练一练 二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） 解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限. 故选 C. C 1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y轴 B. 直线 x= C. 直线 x=2 D. 直线 x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 直线 x=3 直线 x=8 直线 x=1.25 直线 x= 0.5 最小值-5 最大值1 最小值 最大值 O y x –1 –2 3 3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b 同号； （2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等； （3） 4a+b = 0； （4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 4. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为 y＝x2－3x＋5，则(　　) A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21 A 一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下. 对称轴是x=-h, 顶点坐标是（-h,k). 平移规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 课堂小结 $$