2024-2025学年高一下学期期末数学模拟试题（二）

2024～2025学年高一下学期期末模拟（二） 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量， ，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 与互为对立事件 5. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 6. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. B. C. 300 D. 150 8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一条青采巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 10. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则实数_________. 13. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为_________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 16. 如图，在直三棱柱中，点M，N分别是边AC，的中点，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面． 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，由，，三条射线所构成的图形被称为“三面角”，设，，，设二面角的平面角为，则有. (1)已知三棱锥的所有棱长均为1，求二面角的余弦值. (2)设直线与平面所成的角为，证明. (3)若，，，，，求点到平面的距离. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年高一下学期期末模拟（二） 数学试题（答案） 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A B C B A D C AB AC ABD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量， ，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为向量， ， ，所以，即；. 2. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析】A 由题意，．，． 复数所对应的点位于第一象限． 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为， 根据圆锥的体积公式，其体积为：. 4. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 与互为对立事件 【解析】C 由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确； 事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误； ，B错误. 5. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 【解析】B 因为向量在向量上投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 6. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解析】A 由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. B. C. 300 D. 150 【解析】D 在直角中，，BC＝100，可得， 在中，，，则， 由正弦定理有：，即，故， 在直角△中，，可得(). 8. 祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一条青采巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 【解析】AB 依题意，，解得， 选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确； 选项B，平均数为，故B正确； 选项C，∵，∴样本的中位数为70，故C错误； 选项D，估计该校学生中得分超过80分的约占，故D错误． 10. 在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【解析】AC 对于A，设，因为则， ， 由共线，得解得，所以，故A正确； 对于B，由得， 所以 所以，故B不正确； 对于C，由知是的中点，所以，，又，所以，所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得，由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以，由，得或，当时， ，故D不正确. 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【解析】ABD 对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则实数______． 【解析】因为，， 所以， 又，所以，解得. 13. 在四面体ABCD中，，E，F分别是AD，BC的中点，若 则异面直线AC与BD的夹角为_________. 【解析】 设为中点，又E，F分别是AD，BC的中点，所以，， 故就是则异面直线AC与BD的夹角或其补角， ∵AC=BD=4，∴，又， ，故异面直线AC与BD的夹角为. 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【解析】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 【解析】（1）， ， 所以， 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为实数，所以，解得， 所以 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，点M，N分别是边AC，的中点，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）直三棱柱中，，点M，N分别是边AC，的中点， ∴，即四边形为平行四边形， 从而，而平面，平面， 故平面，连接MN，∵，， ∴，∴四边形为平行四边形． 从而，而平面，平面， 故平面． 又平面，平面，，，平面， 所以平面平面． （2）为中点，，直三棱柱中平面ABC，平面ABC， ∴，，，平面∴平面， ∵平面，∴， 又在矩形中，，，， ∴，∵，所以， ∴， 又，，BM，平面，∴平面． 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【解析】（1）若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； （2）若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 【解析】（1）选择①：条件即， 由正弦定理可知，， 在中，，所以，， 所以，且，即，所以 选择②：条件即， 即， 在中，，所以，则，所以，所以 选择③：条件即， 所以， 在中，，所以． （2）①因为的面积，所以 在中，由余弦定理得： 所以，从而 当且仅当取等．所以BD的最大值为 ②由正弦定理得：，R为外接圆半径， 因， 则 因为，故当，即时，取得最大值 则BD的最大值为 19. 如图，在三棱锥中，由，，三条射线所构成的图形被称为“三面角”，设，，，设二面角的平面角为，则有. (1)已知三棱锥的所有棱长均为1，求二面角的余弦值. (2)设直线与平面所成的角为，证明. (3)若，，，，，求点到平面的距离. 【解析】（1）三棱锥的所有棱长均为1， 故， 由已知得； （2）证明：过点作平面的垂线，垂足为，连接，则， 设. 在三面角中， 过点做⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 故， 其中，， 即， 所以，① 在三面角中，同理可得.② 由①得，从而， 由②得， 所以 ， 所以， 所以 ； （3）在中，由，得， 故. 在中，由，得， 故. 在中，由，得， 所以，从而. 设直线与平面所成的角为， 由（2）知， 所以，所以点到平面的距离为. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$