第19章 实数（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版五四制2024八年级上册

第19章 实数 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法中，正确的个数有（       ） ①不带根号的数一定是有理数；         ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示； ③无限小数都是无理数；               ④是17的平方根； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可． 【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确； ③无限不循环小数都是无理数，所以③错误； ④是17的平方根，正确； 故选：B． 【点睛】此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答． 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有0，1 C．是36的算术平方根 D．立方根等于本身的数有－1，0，1 【答案】D 【分析】根据平方根的定义，立方根的定义，算术平方根的定义，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、，立方根是2，存在，故本选项错误； B、平方根等于本身的数是0，故本选项错误； C、6是36的算术平方根，故本选项错误； D、立方根等于本身的数有－1，0，1，故本选项正确； 故选D． 【点评】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，任何实数都有立方根． 3．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，即，， ． 故选：B． 4．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 5．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根的实际应用； 设小康制作的正方体礼盒的边长为a，根据表面积公式先求出，从而求出小康制作的正方体礼盒的体积，再根据小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小即可求解． 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 6．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，先求出的长，得到的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：∵表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 7．在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（    ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出，即可判断③；由为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出即可判断②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形， 边长为的正方形的一条对角线的长为， 类似的，若正方形的边长为长为， ，故③正确； 为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误； ，， ，即，故②错误； ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 8．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 下面有四个推断： ① ②比大3.23 ③一定有4个整数的算术平方根在之间 ④对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01 所有合理推断的序号是（    ） A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断即可． 【详解】解：， ， ，故①正确； ，故②正确； ，， 算术平方根在之间的整数有，，共个，故③错误； 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了乘方运算，算术平方根，同时考查了平方差公式，熟练掌握算术平方根的定义及求一个数的算术平方根是解本题的关键． 9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x的值不唯一．或或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，即，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入，算术平方根式是，输出的y值为，故③说法错误； ④当时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 10．设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【答案】D 【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案． 【详解】解：，即，，则有2个1； ，即，，，都是2，则有4个2； ，同理，可得出有6个3； ，同理，可得出有8个4； ，同理，可得出有10个5； 则剩余11个数全为6． 故 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数比较大小，先整理得，再结合正数大于0,0大于负数，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 12．将和化成分数： ．和 ． 【答案】 【分析】可采用移动循环节的方法化循环小数为分数，纯循环小数化分数的方法：所求分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数；混循环小数化分数的方法是：所求分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差，分母的前几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相等，0的个数等于不循环部分的数字的个数． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了循环小数化分数的方法，解题方法独特，值得体会． 13．如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为17，C的面积为2，则B的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据题意，发现B正方形的面积,得到，解答即可． 本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，发现B正方形的面积， 故， 故边长可以是2（答案不唯一）． 故答案为：2． 14．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 根据实数与数轴的对应关系，得出所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解． 【详解】解：设满足条件的数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数， 则， 又∵，即， ∴a可以是或或0． 即在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有5个， 故答案为：5． 15．已知：与互为相反数（其中），则 ． 【答案】 【分析】由题意可得：与互为相反数，即，解得，代入求解即可． 【详解】解：由与互为相反数可得与互为相反数， 即，解得 将代入可得，原式 故答案为： 【点睛】此题考查了相反数的定义，立方根的性质，代数式求值，解题的关键是正确的得到． 16．已知是1的平方根，3是的立方根，的整数部分为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及立方根的定义和估算无理数的大小；直接利用平方根的定义结合立方根的定义得出，的值，再利用估算无理数的大小的方法得出的值，进而得出答案． 【详解】解：是的平方根， ， 解得：或， 是的立方根， ， 解得：， ， 的整数部分为， 或． 故答案为：或． 17．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，已知，则 ． 【答案】 【分析】把原式化简后，根据实部对实部，虚部对虚部列出方程计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移． 18．如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形． （1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 ． （2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 ． 【答案】 71 或 【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图2大正方形的面积，即可； （2）设小正方形的面积为，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为， ∴四个完全相同的直角三角形的面积和为， 由翻折的性质可得，翻折后的三角形面积等于翻折前的三角形面积， ∴图2中8个完全相同的直角三角形的面积和为， ∴大正方形的面积为； 故答案为：71； （2）设阴影小正方形的面积为， 则大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的边长为正整数，且边长大于图1中的大正方形的边长，即边长大于6，且， ∴或， 或， ∴阴影小正方形的边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，翻折的性质，算术平方根，找到翻折后的大正方形的面积与原来的正方形的面积关系式是解题的关键． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．实数计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ． 20．如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 【答案】(1)2， (2)见详解 (3)． 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小． （1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为； （2）由，，在数轴上表示出各实数即可； （3）根据数轴比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1， ∴阴影部分的面积为：，边长为． 故答案为：2，； （2）解：，， 则在数轴上表示如下： ； （3）解：由（2）可知：． 21．如果一个正方形ABCD的面积为． （1）求正方形ABCD的边长a． （2）正方形的边长满足，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值． （3）M、N在满足（2）的条件下，求的值 【答案】（1）；（2），；（3）－5 【分析】（1）正方形ABCD的边长，由正方形面积．开平方即可； （2）正方形的边长满足，即，可得，可得m2=64,n2=81，开平方即可； （3）当，代入代数式计算即可． 【详解】解：（1）正方形ABCD的边长． ， ； （2）正方形的边长满足， ∴， ∴， ∴m,n都为整数，而且是连续正整数， ∴m2=64,n2=81， ∴，； （3）当，， ． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根，无理数估值，代数式求值，掌握平方根，算术平方根求法，无理数估值方法，代数式求值的方法是解题关键． 22．根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是 _______． (2)_______，_______． (3)若，则_______，_______ 【答案】(1) (2)13.3，137 (3)； 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、估算立方根的大小，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为，再根据表格中的对应值得的值即可； （3）将转化为，将转化成，再根据所给的式子即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据对应值可知， ， 190.44的平方根是， 故答案为：； （2）解：， ， ， 故答案为：13.3，137； （3）解：∵， ∴， 故答案为：；． 23．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)11． 【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵，a是的整数部分， ∴a=9， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； （3）解：∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴x=9，y=， ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法． 24．为什么是无理数？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】先假设是有理数，则能写成两个整数之比的形式：，利用反证法找到矛盾即可． 【详解】假设是有理数，则能写成两个整数之比的形式：， 又因为p、q没有公因数可以约去，所以是最简分数．      把两边平方，得，即．    由于是3的倍数，则p必定是3的倍数． 设， 则，  同理q必然也是3的倍数，设， 既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设是最简分数矛盾， 故是无理数． 【点睛】本题考查对无理数的理解及证明． 25．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65 (2)2.646 (3) 【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式． 26．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）． 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：，，， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是2，， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：∵ ，，， ∴， ∴能确定85184的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是4，， ∴能确定85184的立方根的个位数是4． 第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85， 而，则，可得， 由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44， 即． 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 27．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 28．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 实数 单元测试卷·提升卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 1、 选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的.） 1．下列说法中，正确的个数有（       ） ①不带根号的数一定是有理数；         ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示； ③无限小数都是无理数；               ④是17的平方根； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（    ） A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的数有0，1 C．是36的算术平方根 D．立方根等于本身的数有－1，0，1 3．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 4．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 7．在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为的正方形，类似的，若正方形的边长为长为，则下列说法中正确的有（    ） ①可以用数轴上的一个点来表示； ②； ③； ④； ⑤是有理数．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 下面有四个推断： ① ②比大3.23 ③一定有4个整数的算术平方根在之间 ④对于小于15的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于3.01 所有合理推断的序号是（    ） A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 9．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为3时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入后能够输出y． ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（   ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 10．设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．比较大小： ． 12．将和化成分数： ．和 ． 13．如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为17，C的面积为2，则B的边长可以是 ．（写出一个答案即可） 14．在数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数共有 个． 15．已知：与互为相反数（其中），则 ． 16．已知是1的平方根，3是的立方根，的整数部分为，则的值为 ． 17．阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：；；②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，已知，则 ． 18．如图1，一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠），现将这四个直角三角形分别沿着正方形四条边向外翻折，翻折后得到图2所示的大正方形． （1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为 ． （2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为 ． 三、解答题：（本大题共10题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．实数计算： (1)； (2)； 20．如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4． (1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ； (2)请在数轴上表示下列各数：，，； (3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来． 21．如果一个正方形ABCD的面积为． （1）求正方形ABCD的边长a． （2）正方形的边长满足，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值． （3）M、N在满足（2）的条件下，求的值 22．根据表格解答下列问题： 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 (1)190.44的平方根是 _______． (2)_______，_______． (3)若，则_______，_______ 23．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________． (2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，求的值． 24．为什么是无理数？请说明理由． 25．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 26．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 27．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 28．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$