陕西省西安市铁一中学2024-2025学年高一下学期月考2数学试题

数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则下列命题中不正确的是（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面上对应的点位于第一象限 4. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若与相互独立，则 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且.若对，，且，都有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对应边分别为，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 若点为的重心，则 B. 若满足，，的有两解，则的取值范围为 C. 若点为内一点，且，则 D. 若，则的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（ ） A. 极差是4 B. 众数不等于平均数 C. 方差是 D. 分位数是3 10. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若，则向量与的夹角为锐角 11. 在长方体中，，点在线段上，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C. 的最小值是 D. 三棱锥外接球的表面积的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次数学测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的方差为__________. 13. 已知非零向量，夹角为，则的最小值为______. 14. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）； （2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数） （3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率． 16. 如图，在直三棱柱中，E、F分别为、的中点，，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若点是边BC上，，且，求的面积最大值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． （1）证明：； （2）若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 19. 已知函数，若关于的方程在的定义域上有实数解，则称为函数的“平衡点”；若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“平衡函数”；有序数对称为函数的“平衡点对”． （1）若是“平衡函数”，求函数的“平衡点对”； （2）是否存在实数，使得为函数的“平衡点对”，若存在，求出的值；若不存在，则说明理由； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“平衡点”与“平衡点”，求的取值范围． 数学试题 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】20 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）众数75，中位数分； （2）74分； （3）. 【16题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接，则，， 又，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）存在，； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $