（复习篇）专题03 运算律的相关计算与应用（导图+技巧点拨+8个高频考点+真题强化 共52题）-2025年苏教版数学四升五级暑假衔接精讲练过关金牌讲义（学生版+教师版）

四年级/下册 小学数学 苏教版 · 2025年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题03 运算律的相关计算与应用 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共52题） 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、核心知识点梳理 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式：a + b = b + a 加法结合律：三个数相加，先加前两个数或先加后两个数，和不变。 公式：(a + b) + c = a + (b + c) 2. 乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式：a × b = b × a 例：25 × 4 = 4 × 25 = 100 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 公式：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律（重点难点）：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘后再相加。 式：(a + b) × c = a × c + b × c 拓展：a × (b + c) = a × b + a × c 二、解题技巧与策略 1. 识别运算律的特征 运算律 标志特征 应用场景 加法交换律/结合律 连加算式、末尾凑整（如凑十、百） 158 + 247 + 42 → 先算158+42 乘法交换律/结合律 连乘算式、有25×4, 125×8等 25×17×4 → 先算25×4=100 乘法分配律 有“×”和“+”混合、“分拆凑整” 103×56 → 拆成(100+3)×56 2. 简算四步法 观察：找特殊数（如25、125、99、101等）或能凑整的组合。 变形：拆数、合并或重组算式（如 99 → 100-1，202 → 200+2）。 选律：选择合适的运算律进行简算。 验算：重新计算验证结果是否正确。 3. 乘法分配律的深度应用 正向分配：(a + b) × c = a×c + b×c 例：(125 + 60)×8 = 125×8 + 60×8 = 1000 + 480 = 1480 逆向提取：a×c + b×c = (a + b) × c（提取公因数） 例：36×57 + 64×57 = (36 + 64) × 57 = 100×57 = 5700 隐藏的“×1”： 例：58×99 + 58 = 58×99 + 58×1 = 58×(99+1) = 58×100 = 5800 三、易错点与避坑指南 1. 混淆结合律与分配律 ❌ 错误：25×(4×8) = 25×4 + 25×8 ✅ 正确：25×(4×8) = (25×4)×8 = 100×8 = 800（用乘法结合律） 2. 分配律漏乘 ❌ 错误：(20+5)×4 = 20×4 + 5 = 80+5=85 ✅ 正确：(20+5)×4 = 20×4 + 5×4 = 80+20=100 3. 提取公因数时漏项 ❌ 错误：12×15 + 15 = 12×(15+1) ✅ 正确：12×15 + 15 = 12×15 + 1×15 = 15×(12+1) = 15×13=195 高频考点讲练01：整数加法交换律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏淮安·期中）用简便方法计算下面各题。 125×32×25    355＋260＋140＋245     4800÷25÷4        645－（180＋245） 【答案】100000；1000；48；220 【思路引导】（1）把32写成8×4，再利用乘法结合律进行简便计算； （2）利用加法结合律和加法交换律进行简便计算； （3）一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积； （4）一个数减去两个数的和，等于这个数分别减去这两个数。 【完整解答】125×32×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 355＋260＋140＋245 ＝（355＋245）＋（260＋140） ＝600＋400 ＝1000 4800÷25÷4 ＝800÷（25×4） ＝4800÷100 ＝48 645－（180＋245） ＝645－245－180 ＝400－180 ＝220 【演练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。 578＋405      37＋125＋163     718－（137＋118）      581－98－81 【答案】983；325；463；402 【思路引导】本题主要运用加法结合律、加法交换律以及减法的性质来进行简便运算。 （1）对于式子578＋405，考虑将405拆分成整百数与个位数相加的形式，这样便于与578进行加法运算。 （2）式子37＋125＋163，依据加法交换律，交换加数的位置，使相加能得到整百数的数先相加，可简化计算。 （3）对于718－（157＋118），根据减法的性质，去掉括号后，括号里的加号变减号，并且通过交换减数的位置，让计算更简便。 （4）式子581－98－81，交换减数的位置，先计算581－81得到整百数500，再减去98。 【完整解答】578＋405 ＝578＋（400＋5） ＝578＋400＋5 ＝978＋5 ＝983 37＋125＋163 ＝37＋163＋125 ＝200＋125 ＝325 718－（137＋118） ＝718－137－118 ＝718－118－137 ＝600－137 ＝463 581－98－81 ＝581－81－98 ＝500－98 ＝402 【演练2】（24-25四年级下·全国·课后作业）下面各题，怎样算简便就怎样算。 175＋201             387－78－22       159－（59＋37） 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18                  123＋426＋77＋164 【答案】376；287；63； 90；790 【思路引导】计算175＋201时，把201拆成200＋1，然后再计算； 计算387－78－22时，运用减法的性质进行简算； 计算159－（59＋37）时，运用去括号法则进行简算； 计算2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18时，运用加法的交换律和结合律进行简算； 计算123＋426＋77＋164时，运用加法交换律和结合律进行简算。 【完整解答】175＋201 ＝175＋200＋1 ＝375＋1 ＝376 387－78－22 ＝387－（78＋22） ＝387－100 ＝287 159－（59＋37） ＝159－59－37 ＝100－37 ＝63 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18 ＝（2＋18）＋（4＋16）＋（6＋14）＋（8＋12）＋10 ＝20＋20＋20＋20＋10 ＝20×4＋10 ＝80＋10 ＝90 123＋426＋77＋164 ＝（123＋77）＋（426＋164） ＝200＋590 ＝790 【演练3】（20-21四年级下·全国·单元测试）请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43        653－198            455－（155＋30） 999＋99＋9＋3             50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 【答案】166；455；270 1110；25 【思路引导】①根据加法交换律，计算即可； ②198＝200－2，根据减法的性质，计算即可； ③根据减法的性质，计算即可； ④3＝1＋1＋1，然后根据加法交换律和结合律，计算即可； ⑤50－49＝1，48－47＝1，…4－3＝1，2－1＝1，根据加法结合律，计算即可。 【完整解答】①57＋66＋43 ＝57＋43＋66 ＝100＋66 ＝166 ②653－198 ＝653－（200－2） ＝653－200＋2 ＝453＋2 ＝455 ③455－（155＋30） ＝455－155－30 ＝300－30 ＝270 ④999＋99＋9＋3 ＝999＋99＋9＋（1＋1＋1） ＝（999＋1）＋（99＋1）＋（9＋1） ＝1000＋100＋10 ＝1110 ⑤50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 ＝（50－49）＋（48－47）＋…＋（4－3）＋（2－1） ＝1＋1＋…＋1＋1 ＝1×（50÷2） ＝25 高频考点讲练02：整数加法结合律 【典例精讲】（20-21四年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 【答案】101 【思路引导】通过仔细观察，此题可运用加法交换与结合律，两两结合，分成126÷5＝25组……1，每组的结果为4，最后加上剩余1，解决问题。 【完整解答】（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） ＝1＋（6－2）＋（11－7）＋（16－12）＋…＋（126－122） ＝1＋4×25 ＝1＋100 ＝101 【演练1】（23-24四年级下·海南海口·阶段练习）计算下面各题，能简算的要简算。 189－（89＋11）    36×49＋64×49    256＋78＋22－56 125×88    57×99＋57    720÷45÷2 （40－4）×25    （138－37＋63）÷4    52×99 【答案】89；4900；300； 11000；5700；8； 900；41；5148 【思路引导】根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的。   （1）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：189－89－11，再进行计算。 （2）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（36＋64）×49，再进行计算。 （3）根据加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：，变算式为：256－56＋（78＋22），再进行计算。   （4）先把88写成8×11的形式，即125×（8×11 ），再根据乘法结合律：，变算式为：125×8×11，进行简便计算。 （5） 根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：57×（99＋1），再进行计算。 （6）根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），变算式为：720÷（45×2），再进行计算。 （7）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：40×25－4×25，再进行计算。 （8）先算小括号里的减法，再算小括号里的加法，最后算除法。 （9）先把99写成100-1的形式，即52×（100－1），再根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：52×100－52，进行简便计算。 【完整解答】189－（89＋11） ＝189－89－11    ＝100－11 ＝89     36×49＋64×49   ＝（36＋64）×49 ＝100×49 ＝4900      256＋78＋22－56   ＝256－56＋（78＋22） ＝256－56＋100 ＝200＋100 ＝300 125×88 ＝125×（8×11 ） ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000     57×99＋57     ＝57×（99＋1） ＝57×100 ＝5700 720÷45÷2   ＝720÷（45×2） ＝720÷90 ＝8 （40－4）×25 ＝40×25－4×25 ＝1000－100 ＝900    （138－37＋63）÷4 ＝（101＋63）÷4     ＝164÷4 ＝41   52×99 ＝52×（100－1） ＝52×100－52 ＝5200－52 ＝5148 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）先用计算器计算，再试试用简便方法计算。 （1）599999＋49999＋3999＋299＋19 （2）6999999＋69999＋69999＋699＋699＋69 【答案】（1）654315 （2）7777764 【思路引导】根据题意，先用计算器计算；再根据加法结合律和加法交换律，拆分较小的数为几个1和剩余数相加的形式，再交换加数的位置，与各个大数相加凑整，最后统一计算求出各数相加的和，避免了逐项相加的复杂性，简化运算。 【完整解答】（1）用计算器计算结果为654215。 599999＋49999＋3999＋299＋19 ＝599999＋49999＋3999＋299＋1＋1＋1＋1＋15 ＝（599999＋1）＋（49999＋1）＋（3999＋1）＋（299＋1）＋15 ＝600000＋50000＋4000＋300＋15 ＝654315 （2）用计算器计算结果为7777764。 6999999＋699999＋69999＋6999＋699＋69 ＝6999999＋699999＋69999＋6999＋699＋1＋1＋1＋1＋1＋64 ＝（6999999＋1）＋（699999＋1）＋（69999＋1）＋（6999＋1）＋（699＋1）＋64 ＝7000000＋700000＋70000＋7000＋700＋64 ＝7777764 【演练3】．（23-24四年级下·江苏南京·阶段练习）能简便计算的要简便计算。 36×98＋72        420×17＋830×42    999×999＋1999 1200÷25÷4        35＋241＋59＋65        187－39－61 【答案】3600；42000；1000000 12；400；87 【思路引导】（1）仔细观察算式及数据特点可知，先把72转化为36×2，然后再利用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c）可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，利用积不变的规律先将830×42转化为83×420，然后再利用乘法分配律可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，先把1999转化为999＋1000，然后再利用乘法分配律可使计算简便。 （4）仔细观察算式及数据特点可知，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）可使计算简便。 （5）仔细观察算式及数据特点可知，利用加法交换律和加法结合律可使计算简便。 （6）仔细观察算式及数据特点可知，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【完整解答】36×98＋72 ＝36×98＋36×2 ＝36×（98＋2） ＝36×100 ＝3600 420×17＋830×42 ＝420×17＋83×420 ＝420×（17＋83） ＝420×100 ＝42000 999×999＋1999 ＝999×999＋999＋1000 ＝999×（999＋1）＋1000 ＝999×1000＋1000 ＝（999＋1）×1000 ＝1000×1000 ＝1000000 1200÷25÷4 ＝1200÷（25×4） ＝1200÷100 ＝12 35＋241＋59＋65 ＝35＋65＋241＋59 ＝（35＋65）＋（241＋59） ＝100＋300 ＝400 187－39－61 ＝187－（39＋61） ＝187－100 ＝87 高频考点讲练03：整数减法的性质 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏淮安·期中）算式308－（□＋25）的结果比算式308－□＋25的结果( )（填大或小）。 【答案】小 【思路引导】减法的性质：一个数减去两个数的和等于一个数连续减去这两个数，用字母表示为：a－（b＋c）＝a－b－c；由题意得，可以利用减法的性质将算式308－（□＋25）转化为308－□－25，然后对比它和算式308－□＋25的区别即可。 【完整解答】308－（□＋25）＝308－□－25 对比算式308－□－25和算式308－□＋25可知，两个算式前半部分相同，后半部分一个算式“－25”，另一个算式“＋25”，所以308－□－25＜308－□＋25。 故算式308－（□＋25）的结果比算式308－□＋25的结果（小）。 【演练1】（24-25四年级下·江苏·课后作业）怎样算简便就怎样算。                            【答案】851；3136；540 372；38；43 4300；4800；6900 【思路引导】648＋203中，先计算648加200，再加3； 98×32中，把98看作100减2，运用乘法分配律，先把98分别与100和2相乘，再把它们的积相减； 36×15中，把36看作9乘4，运用乘法结合律，先算4乘15，再把它们的积与9相乘（方法不唯一）； 254＋72＋46中，运用加法交换律，交换72和46的位置，先算254与46的和，再与72相加； 138－37－63中，运用减法的性质，先把后面两个减数相加，再用138减它们的和； 129－（29＋57）中，运用减法的性质的逆运算，把括号打开变成连减，先算129减29，再减57； 43＋43×99中，把算式变形为43×1＋43×99，再运用乘法分配律，先算1与99的和，再与43相乘； 48×101－48中，把算式变形为48×101－48×1，再运用乘法分配律，先算101减1的差，再与48相乘； 57×69＋69×43中，运用乘法分配律，先算57与43的和，再与69相乘。据此计算。 【完整解答】648＋203 ＝648＋200＋3 ＝848＋3 ＝851 98×32 ＝（100－2）×32 ＝100×32－2×32 ＝3200－64 ＝3136 36×15 ＝9×4×15 ＝9×（4×15） ＝9×60 ＝540 254＋72＋46 ＝254＋46＋72 ＝300＋72 ＝372 138－37－63 ＝138－（37＋63） ＝138－100 ＝38 129－（29＋57） ＝129－29－57 ＝100－57 ＝43 43＋43×99 ＝43×1＋43×99 ＝43×（1＋99） ＝43×100 ＝4300 48×101－48 ＝48×101－48×1 ＝48×（101－1） ＝48×100 ＝4800 57×69＋69×43 ＝（57＋43）×69 ＝100×69 ＝6900 【演练2】（23-24四年级下·海南海口·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                    【答案】4500；100；5600 3700；4590；18 【思路引导】45×36＋64×45中，利用乘法分配律，先算36与64的和，再与45相乘； 157－25－75＋43中，利用减法的性质，先把25和75相加，再用157减它们的和，最后加43； 56×99＋56中，把算式变形为56×99＋56×1，利用乘法分配律，先算99与1的和，再与56相乘； 25×37×4中，利用乘法交换律，交换37和4的位置，先算25乘4，再乘37； 45×（100＋2）中，利用乘法分配律，先用45分别与100和2相乘，再把它们的积相加； 1800÷25÷4中，利用除法的性质，先算25和4的积，再用1800除以它们的积。据此计算。 【完整解答】45×36＋64×45 ＝45×（36＋64） ＝45×100 ＝4500 157－25－75＋43 ＝157－（25＋75）＋43 ＝157－100＋43 ＝57＋43 ＝100 56×99＋56 ＝56×99＋56×1 ＝56×（99＋1） ＝56×100 ＝5600 25×37×4 ＝25×4×37 ＝100×37 ＝3700 45×（100＋2） ＝45×100＋45×2 ＝4500＋90 ＝4590 1800÷25÷4 ＝1800÷（25×4） ＝1800÷100 ＝18 【演练3】（23-24四年级下·湖南邵阳·期末）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 42×61＋39×42        603－176－24        48＋125＋75＋52 125×32×25           88×99＋88        375－（175－26） 【答案】4200；403；300 100000；8800；226 【思路引导】42×61＋39×42利用乘法分配律简便计算；603－176－24利用减法的性质简便计算；48＋125＋75＋52利用加法交换律和结合律简便计算；125×32×25将32写成8×4，然后利用乘法结合律简便计算；88×99＋88利用乘法分配律简便计算；375－（175－26）去掉小括号后，将括号里的减号改成加号即可。 【完整解答】42×61＋39×42 ＝42×（61＋39） ＝42×100 ＝4200 603－176－24 ＝603－（176＋24） ＝603－200 ＝403 48＋125＋75＋52 ＝48＋52＋125＋75 ＝（48＋52）＋（125＋75） ＝100＋200 ＝300 125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝125×8×4×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 88×99＋88 ＝88×（99＋1） ＝88×100 ＝8800 375－（175－26） ＝375－175＋26 ＝200＋26 ＝226 高频考点讲练04：整数乘法交换律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏苏州·期末）下面的算式中，与其他三道算式的结果不相等的是（    ）。 A．140×32 B．320×14 C．140×30＋2 D．140×4×8 【答案】C 【思路引导】A．根据三位数乘两位数的计算法则计算出140×32的结果； B．积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以一个相同的数（0除外），积不变； 根据积不变的规律，320×14中，因数320除以10，因数14乘10，则积不变，算式变成32×140，再根据乘法交换律a×b＝b×a，把算式变成140×32； C．计算出140×30＋2的结果，与140×32的结果进行比较即可； D．计算140×4×8时，根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成140×（4×8），也就是140×32。 【完整解答】A．140×32＝4480 B．320×14＝（320÷10）×（14×10）＝32×140＝140×32 C．140×30＋2 ＝4200＋2 ＝4202 4202≠4480，所以140×30＋2≠140×32； D．140×4×8＝140×（4×8）＝140×32 所以，与其他三道算式的结果不相等的是140×30＋2。 故答案为：C 【演练1】（24-25四年级下·全国·期末）计算下列各题，能简算的要简算。 102×37          582－（157＋182）          （125＋125＋125＋125）×25×8 【答案】3774；243；100000 【思路引导】（1）仔细观察算式及数据特点可知，先把102转化为100＋2，然后利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c将原式转化为100×37＋2×37可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，利用减法的性质：a－（b＋c）＝a－b－c＝a－c－b将原式转化为582－182－157可使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，4个125相加可以转化为125×4，然后利用乘法交换律a×b＝b×a和乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）将原式转化为：（125×8）×（4×25）可使计算简便。 【完整解答】（1）102×37 ＝（100＋2）×37 ＝100×37＋2×37 ＝3700＋74 ＝3774 （2）582－（157＋182） ＝582－157－182 ＝582－182－157 ＝400－157 ＝243 （3）（125＋125＋125＋125）×25×8 ＝（125×4）×25×8 ＝125×8×4×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 【演练2】（23-24四年级下·山西临汾·期末）用简便方法计算。 456＋192＋244        369－（69＋58） 25×11×4            85×107－85×7 【答案】892；242； 1100；8500 【思路引导】（1）先运用加法的交换律交换加数192和244的位置，然后运用加法结合律把加数456和122相结合； （2）运用减法的性质去括号，把原式变成，然后计算即可； （3）先运用乘法交换律交换乘数11和4的位置，然后运用乘法结合律把乘数25和相结合； （4）运用乘法分配律，把原式变成，然后计算即可。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝892 ＝ ＝ ＝242 ＝ ＝ ＝1100 ＝ ＝ ＝8500 【演练3】（23-24四年级下·山西太原·期末）对比末尾有0的加法竖式和乘法竖式，小明提出了一个问题。 学习完“运算律”后，他解决了这个问题。请你把解答过程补充完整。 应用了________________律。 应用了________________律。 【答案】见详解 【思路引导】1.乘法结合律和乘法分配律的区别：乘法结合律的特征是几个数连乘。乘法分配律的特征是两个数的和乘一个数或两个数的积。 2.乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 【完整解答】 应用了乘法分配律。 应用了乘法交换律、乘法结合律。 高频考点讲练05：整数乘法结合律 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏徐州·期中）小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再（    ）。 A．加70 B．乘7 C．乘70 D．乘11 【答案】D 【思路引导】计算326×77时，可将77看成是7×11，然后再根据乘法结合律的特点“a×c×b＝a×（c×b）”进行计算，依此即可选择。 【完整解答】326×77＝326×（7×11）＝326×7×11 由此可知，小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再乘11。 故答案为：D 【演练1】（23-24四年级下·河南洛阳·期末）孟津博物馆位是洛阳市建设“东方博物馆之都”重要项目，位于孟津区文博艺术中心，自今年3月15日起开放，观众可免费入馆参观。孟津博物馆一楼布展面积1800平方米，布展时间线从原始生态到两汉时期，共展出390余件文物。星期天，奇奇和妙妙一起到孟津博物馆参观，两人同时从家出发，奇奇的速度是55米/分、妙妙的速度是70米/分。16分钟后两人同时到达。从奇奇家经博物馆到妙妙家的路程是多少米？ 【答案】2000米 【思路引导】根据路程＝速度×时间，代入数据分别求出两人16分钟走的距离，也是他们家分别到博物馆的距离，再求和，即可求出从奇奇家经博物馆到妙妙家的路程。据此作答。计算时可运用乘法分配律和交换律进行简算。 【完整解答】 （米） 答：从奇奇家经博物馆到妙妙家的路程是2000米。 【演练2】（23-24四年级下·河南周口·阶段练习）根据运算律填空。 （ ＋ ） （ ） （ × ） （ ） 【答案】 65 35 48 52 19 81 25 4 4 【思路引导】加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为a＋b＝b＋a。 对于35＋_＝65＋_，根据加法交换律可得35＋65＝65＋35，所以两个空依次填65、35。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 对于76＋48＋52＝76＋（_＋_），根据加法结合律可得76＋48＋52＝76＋（48＋52），所以两个空依次填48、52。 对于_＋（81＋27）＝（19＋_）＋27，根据加法结合律可得19＋（81＋27）＝（19＋81）＋27，所以两个空依次填19、81。 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b＝b×a。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。 对于25×7×4＝（_×_）×7，根据乘法交换律和结合律可得25×7×4＝（25×4）×7，所以两个空依次填25、4。 对于125×32×25＝（125×8）×（_×25），因为32＝8×4，所以125×32×25＝125×（8×4）×25＝（125×8）×（4×25），所以空里填4。 【完整解答】35＋65＝65＋35 76＋48＋52＝76＋（48＋52） 19＋（81＋27）＝（19＋81）＋27 25×7×4＝（25×4）×7 125×32×25＝（125×8）×（4×25） 【演练3】（18-19四年级下·江苏盐城·期中）请用简便方法计算。 （1）666×9＋111×46     （2）25×16×125 【答案】（1）11100 （2）50000 【思路引导】（1）观察数据可知，把“666×9”变成“111×6×9”，然后应用乘法分配律简算； （2）观察数据可知，把16分成“2×8”，然后应用乘法结合律简算。 【完整解答】（1）666×9＋111×46 ＝111×6×9＋111×46 ＝111×54＋111×46 ＝111×（54＋46） ＝111×100 ＝11100 （2）25×16×125 ＝25×2×8×125 ＝（25×2）×（8×125） ＝50×1000 ＝50000 高频考点讲练06：整数乘法分配律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏苏州·期末）下面各题怎样算简便就怎样算。 （1）125×（8＋20）                         （2）5×27＋63×5 （3）480÷（36－36÷3）                     （4）13×356－56×13 【答案】（1）3500；（2）450； （3）20；（4）3900 【思路引导】（1）根据乘法分配律可以将原式写成：125×8＋125×20，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）根据乘法分配律可以将原式写成：5×（27＋63），然后再按运算顺序进行计算即可； （3）按照四则混合运算的运算顺序先计算小括号里面的除法，再计算小括号里面的减法，最后计算小括号外面的除法； （4）根据乘法分配律可以将原式写成：13×（356－56），然后再按运算顺序进行计算即可。 【完整解答】（1）125×（8＋20） ＝125×8＋125×20 ＝1000＋2500 ＝3500 （2）5×27＋63×5 ＝5×（27＋63） ＝5×90 ＝450 （3）480÷（36－36÷3） ＝480÷（36－12） ＝480÷24 ＝20 （4）13×356－56×13 ＝13×（356－56） ＝13×300 ＝3900 【演练1】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）小凯从乘法分配律类推出a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c（b、c不等于0），引起大家热烈讨论。关于他们的说法，我认为（    ）。 小芳：“我赞同，这个规律和乘法分配律差不多，是对的。” 小可：“12÷（2＋4）＝2，12÷2＋12÷4＝9，得数不相等，小凯的式子不成立！” 小东：“小凯的式子不对，我画图研究（如下图），应该是（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（c不等于0）。” 12÷3＋6÷3＝（12＋6）÷3 A．小芳说得有道理 B．小可举的例子太少，不能说明问题 C．乘法和除法关联不大，小东的规律不对 D．我欣赏小东的观点，画图和举例都是学习数学的好方法 【答案】D 【思路引导】小芳的说法没有科学依据，没有道理，是错误的解释；小可举了一个具体的反例，直接证明了小凯的式子不成立。虽然例子“少”，但一个反例足以否定一个普遍命题。因此，小可的说法是正确的。小东用画图法：12个圆（每3个一份摆4份）＋6个圆（每3个一份摆2份），每3个分一份，一共能分几份，可以先分12个圆，可以分成4份；再分6个圆，可以分成2份，总共分了4＋2＝6份，用算式也可以表示为（12＋6）÷3＝12÷3＋6÷3，如果计算（12＋6）÷3＝18÷3＝6；12÷3＋6÷3＝4＋2＝6，结果相等，小东用画图和举例验证出正确的数学规律。 【完整解答】A．小芳说得没有道理； B．小可举了一个具体的反例，直接证明了小凯的式子不成立； C．小东用画图和举例验证出正确的数学规律，原说法错误； D．我欣赏小东的观点，画图和举例都是学习数学的好方法，说法正确； 故答案为：D 【演练2】（23-24四年级下·海南海口·阶段练习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 81×35－35( )35×80    28×60( )30×60    56×99( )56×（99＋1） （25＋8）×4( )25×4＋8    280÷70( )280÷71    176－35－65( )176－100 【答案】 ＝ ＜ ＜ ＞ ＞ ＝ 【思路引导】本题可根据乘法分配律、积的变化规律、以及减法的性质来比较两边式子的大小。乘法分配律两个数的和乘一个数，可以用两个加数分别乘这个数，再把两个积相加，结果不变。用字母表示为a×c＋b×c＝（a＋b）×c。积的变化规律为：一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以相同的数；如果两个因数都扩大，积扩大的倍数等于两个因数扩大倍数的乘积。减法的性质：一个数连续减去两个数可以用这个数减去两个数的和，用字母表示为：a－b－c＝a－（b＋c）。比较81×35－35与35×80的大小，根据乘法分配律a×c－b×c＝（a－b）×c，将算式的左边变形后再比较。比较28×60与30×60的大小，两个乘法算式中都有因数60，根据积的变化规律，一个因数相同，另一个因数越大，积越大。比较56×99与56×（99＋1）的大小，根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c，将算式的右边变形后再比较；比较（25＋8）×4与25×4＋8的大小，根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，把算式左边变形后再比较；比较280÷70与280÷71的大小，被除数相同，根据商的变化规律，除数越大，商越小。比较176－35－65与176－100的大小，根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c），把算式的左边变形后再比较。 【完整解答】（1）81×35－35＝（81－1）×35＝80×35，所以81×35－35＝35×80。 （2）因为28＜30，所以28×60＜30×60。 （3）56×（99＋1）＝56×99＋56×1＝56×99＋56，所以56×99＜56×99＋56。 （4）（25＋8）×4＝25×4＋8×4，因为8×4＝32，32＞8，所以25×4＋8×4＞25×4＋8，即（25＋8）×4＞25×4＋8。 （5）因为70＜71，所以280÷70＞280÷71。 （6）176－35－65＝176－（35＋65）＝176－100，所以176－35－65＝176－100。 【演练3】（18-19四年级下·江苏常州·期末）简便计算。 （398＋298＋198＋98）×125                  156×37－（36×108＋37×48） 【答案】124000；108 【思路引导】先将括号里面的数都变成整百数，再运用乘法分配律计算；先将括号去掉，再运用乘法分配律计算。 【完整解答】（398＋298＋198＋98）×125 ＝（400＋300＋200＋100－8）×125 ＝（1000－8）×125 ＝1000×125－8×125 ＝125000－1000 ＝124000 156×37－（36×108＋37×48） ＝156×37－36×108－37×48 ＝37×（156－48）－36×108 ＝37×108－36×108 ＝108×（37－36） ＝108 【考点评析】化简，再灵活运用乘法分配律计算即可。 高频考点讲练07：整数除法的性质 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏盐城·期中）小明的计算器上数字键“2”坏了，下面（    ）算式也可以算出360÷24的得数。 A．360÷8×3 B．360÷4÷6 C．360÷30－6 D．360÷2×12 【答案】B 【思路引导】根据除法的性质可知，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的积。可以将24进行拆分，看哪个选项符合除法的性质。 【完整解答】A．360÷8×3不是连续除以两个数，不适用除法的性质。 B．360÷4÷6连续除以4和6，等于除以4和6的积，4×6＝24，也就是360÷24。 C．360÷30－6不是连续除以两个数，不适用除法的性质。 D．360÷2×12不是连续除以两个数，不适用除法的性质。 故答案为：B 【演练1】（24-25四年级下·山西临汾·期中）小丽计算器上的数字键“4”坏了，下面（    ）算式也可以算出1920÷24的得数。 A．1920÷8×3 B．1920÷4÷6 C．1920÷8÷3 D．1920÷30－6 【答案】C 【思路引导】根据题意，可以把除数24分成不含有4的两个数，但又不改变算式结果的大小，把24看作8×3，根据除法的性质，一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，算式变成1920÷8÷3，算式的结果不变，据此解答。 【完整解答】1920÷24＝80 A．1920÷8×3 ＝240×3 ＝720 与原算式结果不同。 B．1920÷4÷6 由于数字键“4”坏了，这个选项无法计算。 C．1920÷8÷3 ＝240÷3 ＝80 与原算式结果相同。 D．1920÷30－6 ＝64－6 ＝58 与原算式结果不同。 小丽计算器上的数字键“4”坏了，下面1920÷8÷3算式也可以算出1920÷24的得数。 故答案为：C 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）在括里填“＞”“＜”或“＝”。 34×124＋34( )34×（124－1）    832÷8÷4( )832÷（8÷4） 46×19＋46×22( )46×（19×22）    115×24－15×24( )24×（115－15） 【答案】 ＞ ＜ ＜ ＝ 【思路引导】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。据此把34×（124－1）改写成34×124－34，再与34×124＋34比较大小。 运用除法的性质把832÷8÷4改写成832÷（8×4），再与832÷（8÷4）比较大小。 根据乘法分配律把46×19＋46×22改写成45×（19＋22），再与46×（19×22）比较大小。 根据乘法分配律把115×24－15×24改写成24×（115－15），即可比较出115×24－15×24 和24×（115－15）的大小。 【完整解答】34×（124－1）＝34×124－34，34×124＋34＞34×124－34，34×124＋34 ＞34×（124－1）。 832÷8÷4＝832÷（8×4）＝832÷32，832÷（8÷4）＝832÷2，832÷32＜832÷2，832÷8÷4＜832÷（8÷4）。 46×19＋46×22＝46×（19＋22）＝46×41，46×（19×22）＝46×418，46×41＜46×418，46×19＋46×22＜46×（19×22）。 115×24－15×24＝24×（115－15） 【演练3】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）计算下列各题，怎样算简便就怎样算。 25×32×125          600－241－159          11×99＋89×99 560÷16÷5             57×101－57          28＋195＋72 【答案】100000；200；9900 7；5700；295 【思路引导】（1）把32拆成4×8，再利用乘法结合律进行计算即可； （2）利用减法的性质，一个数连续减去两个数，可以减去这两个数的和，先计算进行凑整，然后再计算减法； （3）利用乘法分配律的逆运算进行简算，将相同的因数99提取出来； （4）利用除法的性质进行计算，一个数连续除以几个数，可以除以后面几个数的积，商不变。先计算，然后再计算除法； （5）利用乘法分配律的逆运算进行简算，将相同的因数57提取出来； （6）整数的加减法凑整，加法利用尾数互补凑整。利用加法交换律交换195和72的位置，可以凑整。 【完整解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 高频考点讲练08：相遇问题 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏南通·期末）骑行是现代人们的一种健身方式，也有利于缓解城市交通拥堵和环境污染问题。小芳和小军家附近有一条环形自行车道，他们相约从同一地点同时出发，沿着相反方向骑行，小芳骑行的速度是225米/分，小军骑行的速度是275米/分。经过16分钟两人相遇，这条环形自行车道长多少米？ 【答案】8000米 【思路引导】由题意可知，把小芳和小军骑行的速度相加，先求出两人的速度和，再根据路程＝时间×速度，用求出的两人的速度和乘16，即可求出这条环形自行车道长多少米；据此解答。 【完整解答】（225＋275）×16 ＝500×16 ＝8000（米） 答：这条环形自行车道长8000米。 【演练1】（23-24六年级下·江苏盐城·期末）下面是从小红家到小明家的路线示意图，正中间是公园。 一天，小红和小明同时从自己家出发，相向而行，小红每分钟走90米，小明每分钟走120米，经过8分钟两人相遇。 （1）在图上标出小红和小明相遇地点的大概位置，并说明理由。 （2）小红和小明两家相距多少米？ 【答案】（1）见详解；（2）1680米 【思路引导】（1）根据速度×时间＝路程，分别求出小红和小明行走的路程，再标出大概位置即可。 （2）将两人行走的路程相加即可。 【完整解答】（1）小红：90×8＝720（米） 小明：120×8＝960（米） 如图： 相遇时，小明行走的路程多于小红行走的路程，所以小明行走的路程超过中点，小红还没有到达中点。 （2）720＋960＝1680（米） 答：小红和小明两家相距1680米。 【演练2】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【答案】（1）400米 （2）200秒 【思路引导】（1）根据路程＝速度×时间，先用4×40求出小丁跑步的距离，再用6×40求出小文跑步的距离，最后将两个距离相加即可求出跑道的长度，可以用乘法分配律简便计算； （2）根据题意，先用6－4求出小文每秒比小丁多跑的距离，根据时间＝路程÷速度，用跑道的长度除以小文每秒比小丁多跑的距离即可求出多少秒后两人能再次相遇。 【完整解答】（1）4×40＋6×40 ＝（4＋6）×40 ＝10×40 ＝400（米） 答：这个环形跑道长400米。 （2）400÷（6－4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后两人能再次相遇。 【演练3】（24-25四年级下·全国·课后作业）姐妹俩同时从家到少年宫，路程全长770米，妹妹每分钟步行60米，姐姐以每分钟160米的速度骑自行车到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇，这时妹妹步行了几分钟？ 【答案】7分钟 【思路引导】计算两人相遇时的总路程：因为姐姐到达少年宫后立即返回并与妹妹相遇，这意味着两人合走的路程是家到少年宫路程全长的2倍。已知路程全长为770米，所以两人相遇时的总路程为770×2＝1540米。 计算两人的速度之和：妹妹每分钟步行60米，姐姐骑自行车每分钟160米，那么两人的速度之和为60＋160＝220米/分。 计算妹妹步行的时间：根据公式相遇时间＝路程÷速度和，这里的路程是两人相遇时的总路程1540米，速度是两人的速度之和220米/分，所以妹妹步行的时间为1540÷220＝7分钟。 【完整解答】770×2÷（60＋160） ＝1540÷220 ＝7（分钟） 答：这时妹妹步行了7分钟。 【考点评析】根据题意，姐妹俩相遇时，两人所走的路程之和是家到少年宫路程的2倍，即2个770米。已知妹妹和姐姐各自的速度，用两人的总路程除以两人的速度之和，就能得出妹妹步行的时间。 1．（24-25四年级下·江苏连云港·期中）用计算器计算“125×36”时，发现按键“3”坏了，正确替代方法是（    ）。 A．125×30＋6 B．125×18×2 C．125×40－4 【答案】B 【思路引导】由题意得，用计算器计算“125×36”时，发现按键“3”坏了，那么可以把算式“125×36”转化为其它与其相等但不含数字“3”的算式。可以把36转化为40－4，然后利用乘法分配律将原式转化为125×36－125×4；也可以把36转化为18×2，然后利用乘法结合律将原式转化为125×18×2。据此解答。 【完整解答】A．算式125×30＋6中含有数字“3”，不满足题意。 B．125×36＝125×（18×2）＝125×18×2，该选项计算正确且不含数字“3”。满足题意。 C．125×36＝125×（40－4）＝125×40－125×4，该选项计算错误。 故答案为：B 2．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）（120＋□）×4的结果与120＋□×4的结果相差（    ）。 A．480 B．400 C．360 【答案】C 【思路引导】根据整数四则混合运算的运算顺序，分别求出两个算式的计算结果，再相减求差。 【完整解答】根据分析可知： （120＋□）×4 ＝120×4＋□×4 120×4＋□×4－（120＋□×4） ＝120×4＋□×4－120－□×4 ＝480－120 ＝360 （120＋□）×4的结果与120＋□×4的结果相差360。 故答案为：C 3．（23-24四年级下·陕西西安·期末）东东的计算器上数字键“？”坏了，如果想用这个计算器计算出32×160的得数，下面不能算出正确结果的算式是（    ）。 A．4×8×160 B．31＋1×160 C．40×160－8×160 D．33×160－160 【答案】B 【思路引导】根据题意，乘法结合律指三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果相同。乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）；乘法分配律指一个数乘以两数之和，等于这个数分别乘以这两个数再相加。乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c；先计算出32×160的得数，再逐项分析各个选项，计算出结果，再选出符合条件的答案即可。 【完整解答】根据分析可知： 32×160＝5120 A．4×8×160＝32×160＝5120。 B．31＋1×160＝31＋160＝191≠5120。 C．40×160－8×160＝（40－8）×160＝32×160＝5120。 D．33×160－160＝（33－1）×160＝32×160＝5120。 不能算出正确结果的算式是31＋1×160。 故答案为：B 4．（19-20四年级下·江苏·单元测试）如果A×（14＋B）＝A×14＋A，并且不为0，那么B＝（    ）。 A．1 B．0 C．14 D．任意数 【答案】A 【解析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【完整解答】A×（14＋B） = A×14+ A×B = A×14＋A A×B=A 所以B=1 故答案为：A 【考点评析】本题考查了运算定律，使用运算定律会让计算变简便，要熟练掌握。 5．（24-25四年级下·江苏徐州·期中）计算器上的数字“4”坏了，请用算式表示出计算33×45的思考过程：( )。 【答案】根据乘法结合律，把这45写成两个数相乘的形式，如5×9=45，然后再与33相乘 【思路引导】根据题意，乘法结合律指三个数相乘时，先乘前两个数或先乘后两个数，结果相同。乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）或a×b×c＝a×（b×c）把这45写成两个数相乘的形式，然后再相乘，只要不出现数字4即可，积不变。例如：5×9＝45，3×15＝45；以此答题即可。 【完整解答】根据分析可知： 33×45＝33×5×9 计算器上的数字“4”坏了，请用算式表示出计算33×45的思考过程：根据乘法结合律，把这45写成两个数相乘的形式，如5×9＝45，然后再与33相乘。（答案不唯一） 6．（2025四年级下·全国·专题练习）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 482×5＋18×5( )500×5    13亿( )1339720000 99×99＋99( )99×101    2754897200( )27亿 【答案】 ＝ ＜ ＜ ＞ 【思路引导】（1）（3）先根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把482×5＋18×5写成（482＋18）×5，把99×99＋99写成99×（99＋1），再根据在乘法算式中，一个乘数相同，另一个乘数越大，积越大比较大小即可； （2）（4）把一个数改写成用“亿”作单位的数，就是去掉末尾的8个0，再在这个数的后面加上一个亿字，据此把13亿还原成1300000000，27亿还原成2700000000，整数比较大小：数位不同时，数位越多，数越大，数位相同时，先从最高位开始比起，哪个数字大，则这个数就大，如果最高位数字相同，就比较下一位……直到比较出大小即可。 【完整解答】482×5＋18×5＝（482＋18）×5＝500×5，所以482×5＋18×5＝500×5； 13亿＝1300000000，因为1300000000＜1339720000，所以13亿＜1339720000； 99×99＋99＝99×（99＋1）＝99×100，所以99×99＋99＜99×101；    27亿＝2700000000，因为2754897200＞2700000000，所以2754897200＞27亿。 7．（21-22四年级下·江苏扬州·期末）甲乙两车分别同时从AB两地相对开出，第一次在离A地100千米处相遇，继续前行到对方出发地后立即返回，第二次在离B地30千米处相遇。AB两地相距( )千米。 【答案】270 【思路引导】由题意，第一次相遇，甲乙两车共走了一个全程，其中甲车走了100千米；甲乙两车第二次相遇时共走了3个全程，所以甲车行驶了100×3＝300千米，再结合题意，用甲车行驶的路程减去30千米，就是1个全程，故可以列式为100×3－30。 【完整解答】100×3－30 ＝300－30 ＝270（千米） 【考点评析】本题的解题关键就是要明确两车每行驶一个全程，甲车就走100千米。 8．（2025四年级下·全国·专题练习）299×99＋299＝（299＋1）×99。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分析题目，简算299×99＋299时，可以先把算式写成299×99＋299×1，再逆用乘法分配律a×c＋b×c把算式写成（99＋1）×299，再进一步计算即可。 【完整解答】299×99＋299 ＝299×99＋299×1 ＝（99＋1）×299 ＝100×299 ＝29900 299×99＋299＝（99＋1）×299；原题计算方法错误。 故答案为：× 9．（19-20四年级下·江苏·单元测试）4×7×25×9=100×28。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据乘法交换律和乘法结合律对算式进行简算即可。 【完整解答】4×7×25×9 ＝（25×4）×（7×9） ＝100×63 故答案为：× 【考点评析】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。 10．（2025四年级下·全国·专题练习）用简便方法计算。 48＋175＋25                       346＋102                     327＋91＋73 98＋（24＋102）                   105＋418                     234＋301 36＋77＋23＋64                     25＋（57＋175）＋143 【答案】248；448；491； 224；523；535； 200；400 【思路引导】加法交换律：两个加数交换位置，和不变。 加法结合律：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。   48＋175＋25利用加法结合律，先计算175＋25，再和48相加。 346＋102把102看成100＋2，利用加法结合律，先计算346＋100，最后再加上2。 327＋91＋73利用加法交换律交换91和73的位置，再按从左到右的顺序进行计算。 98＋（24＋102）先去掉小括号，利用加法交换律交换24和102的位置，最后按从左到右的顺序进行计算。 105＋418把105看成100＋5，再利用加法结合律先计算5＋418，最后再加100。 234＋301把301看成300＋1，利用加法结合律，先计算234＋300，最后再加上1。 36＋77＋23＋64利用加法交换律交换36和23的位置，先算23＋77和36＋64，最后再相加。 25＋（57＋175）＋143先去掉小括号，利用加法交换律交换57和175的位置，先算25＋175和57＋143，最后再相加。 【完整解答】48＋175＋25    ＝48＋（175＋25） ＝48＋200 ＝248 346＋102 ＝346＋（100＋2） ＝（346＋100）＋2 ＝446＋2 ＝448 327＋91＋73 ＝327＋73＋91 ＝400＋91 ＝491 98＋（24＋102） ＝98＋24＋102 ＝98＋102＋24 ＝200＋24 ＝224 105＋418 ＝（100＋5）＋418 ＝100＋（5＋418） ＝100＋423 ＝523 234＋301 ＝234＋（300＋1） ＝（234＋300）＋1 ＝534＋1 ＝535 36＋77＋23＋64 ＝23＋77＋36＋64 ＝（23＋77）＋（36＋64） ＝100＋100 ＝200 25＋（57＋175）＋143 ＝25＋57＋175＋143 ＝25＋175＋57＋143 ＝（25＋175）＋（57＋143） ＝200＋200 ＝400 11．（24-25四年级下·江苏盐城·期中）阳光社区志愿者团队在维护公园环境时记录如下数据： 平均每月收集公园湖面漂浮垃圾48千克，平均每天清理人行道垃圾25千克，平均每天清理的野餐区垃圾比人行道垃圾多20千克。（一年按365天计算） （1）全年从公园湖面打捞的漂浮垃圾总重量是多少千克？ （2）全年清理的野餐区垃圾和人行道垃圾共多少千克？ 【答案】（1）576千克 （2）25550千克 【思路引导】（1）1年有12个月，用平均每月收集公园湖面漂浮垃圾重量48千克乘12即可求解； （2）先用平均每天清理人行道垃圾25千克加上20千克求出平均每天清理的野餐区垃圾重量，再加上平均每天清理人行道垃圾25千克求出每天清理野餐区垃圾和人行道垃圾的总重量，最后乘365即可求解。 【完整解答】（1）48×12＝576（千克） 答：全年从公园湖面打捞的漂浮垃圾总重量是576千克。 （2）平均每天清理的野餐区垃圾：25＋20＝45（千克） 45×365＋25×365 ＝（45＋25）×365 ＝70×365 ＝25550（千克） 答：全年清理的野餐区垃圾和人行道垃圾共25550千克。 12．（24-25四年级下·全国·课后作业）学校打算购买200套单人课桌椅，每张桌子102元，每把椅子49元。 （1）一共应付多少元？ （2）学校后来改为购买双人桌。如果每张双人桌162元，每把椅子49元，那么安排同样多的同学，一共应付多少元？ 【答案】（1）30200元； （2）26000元 【思路引导】（1）首先一张桌子加一张椅子算一套桌椅，那么一套桌椅的价格为102＋49＝151（元），需要购买200套，根据公式：数量×单价＝总价，即可算出需要花多少钱； （2）学校后来改为购买双人桌，那么一张双人桌加两张椅子算一套桌椅，一套双人桌椅的价格为162＋49＋49＝260（元）,同样多的学生由于够买的是双人桌，所以购买数量应该是总人数除以2，再利用公式：数量×单价＝总价，即可算出需要花多少钱。 【完整解答】（1）200×（102＋49） ＝200×151 ＝30200（元） 答：一共应付30200元。 （2）162＋49＋49 ＝211＋49 ＝260（元） 200÷2×260 ＝100×260 ＝26000（元） 答：一共应付26000元。 13．（2025四年级下·全国·专题练习）赵强和李兰同时从同一地点出发，赵强向南走，李兰向北走，赵强的速度是70米/分，李兰的速度是85米/分。经过5分钟，两人相距多少米？（先画图表示条件和问题，再解答） 【答案】775米；图见详解 【思路引导】赵强和李兰同时从同一地点出发，赵强向南走，也就是向左走，李兰向北走，也就是向右走，然后根据题干所给数量关系画出线段图即可； 根据路程＝速度×时间的公式，分别计算出赵强和李兰在5分钟内行走的路程，两人行走的路程之和即为两人相距的距离。计算时可用乘法分配律进行简算。 【完整解答】如图： 70×5＋85×5 ＝（70＋85）×5 ＝155×5 ＝775（米） 答：两人相距775米。 14．（2025四年级下·全国·专题练习）任写一个三位数，把它乘13，再乘77，用计算器算出结果。仔细观察，你有什么发现？再写几个三位数，看看你的发现是否仍然成立。你能解释发现的规律吗？（提示：应用乘法运算律） 【答案】 我发现，通过结合律将13和77先相乘得到1001，再利用分配律拆分1001为（1000+1），最终得出结果规律为原三位数重复两次。 【思路引导】根据题意，乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，三位数乘13再乘77，可合并为三位数乘以13×77＝1001，因此原式等价于三位数乘1001。任意三位数abc乘1001可拆分为：abc×1001 ＝abc×（1000＋1） ＝abc×1000＋abc×1 ＝abc000＋abc＝abcabc，即结果为原三位数重复两次组成的六位数。   举例验证：100×1001＝100100，123×1001＝123123，456×1001＝456456；以此答题即可。 【完整解答】根据分析可知： 13×77＝1001 abc×1001 ＝abc×（1000＋1） ＝abc×1000＋abc×1 ＝abc000＋abc ＝abcabc 答：我发现，通过结合律将13和77先相乘得到1001，再利用分配律拆分1001为（1000＋1），最终得出结果规律为原三位数重复两次。 【考点评析】本题需要熟悉乘法分配律的原理，能够结合题意大胆猜想，并能够用分配律来验证猜想。 15．（22-23四年级下·江苏徐州·期末）小红和小兰分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小红的速度是58米/分，小兰的速度是62米/分，经过4分钟两人第一次相遇，这座桥长多少米？两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米？ 【答案】480米；1440米 【思路引导】相遇时间×速度和＝路程，用4乘（58＋62）计算出这座桥长多少米；根据题目可知，两人第一次相遇共走了这座桥的全程，如果要第二次相遇，那么小红和小兰分别需要走到桥的对面再往回走到桥的中间，这样一共再走了2个全程，那么两人从出发到第二次相遇，一共走了3个全程，用桥的总长乘3即可；据此解答。 【完整解答】4×（58＋62） ＝4×120 ＝480（米） 480×3＝1440（米） 答：这座桥长480米，两人从出发到第二次相遇，一共走了1440米。 【考点评析】注意掌握相遇时间、速度和和路程的关系，是解答本题的关键。 16．（19-20四年级下·江苏·单元测试）王叔叔和赵叔叔每天早上环湖跑步。他们同时从同一地点出发，反向而行。王叔叔的速度是4米/秒，赵叔叔的速度是3米/秒，经过5分钟后，两人还差40米相遇。如果王叔叔单独跑完这条环湖路，需要多少秒？ 【答案】535秒 【思路引导】首先用王叔叔跑步的速度加上赵叔叔跑步的速度，求出两人的速度之和是多少；然后根据速度×时间=路程，用两人的速度之和乘两人相遇用的时间，在加上10m，求出跑道长多少米。王叔叔单独跑，根据时间=路程÷速度，列式解答即可。 【完整解答】（4＋3）×60×5＋40 =7×60×5＋40 =5×60×7+40 ＝2140（米） 2140÷4＝535（秒） 答：需要535秒。 【考点评析】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人的速度之和是多少。 17．（19-20四年级下·江苏·单元测试）学校要买60支钢笔赠送给十佳少先队员，现有甲、乙、丙三家店可供选择。三家店中钢笔的单价都是30元，但各家优惠方案不同。请你通过计算选择最划算的店铺。 【答案】甲店最划算 【思路引导】根据题意可知甲店的优惠是买10送2，先求出60里有多少个10+2然后求出多少支笔花钱，即可求出甲店买笔花的钱。乙店优惠是满100返15元，求出花的钱60×30=1800（元），然后再看1800里有多少个100，就返多少钱，列式1800÷100=18 ，18×15=270（元）再用花的钱减返的钱，1800-270=1530（元）求出乙店实际花的钱。丙店优惠是每支笔优惠4元，先求出一支笔实际的钱：30-4=26（元）再求花的钱数，列式26×60=1560（元），再比较即可解答。 【完整解答】甲店：60÷（10+2）=5    5×10=50（支） 50×30=1500（元） 乙店：60×30=1800（元）   1800÷100=18 18×15=270（元）    1800-270=1530（元） 丙店：30-4=26（元）  26×60=1560（元） 1500＜1530＜1560。 答：选择甲店最划算。 【考点评析】根据甲乙丙三个店的优惠求出每个店铺钢笔的单价，再运用总价=单价×数量求出60笔的钱。 18．（18-19四年级下·江苏·单元测试）乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟．问：乐乐家离学校有多远？ 【答案】4000米 19．（18-19四年级下·全国·单元测试）超市运回苹果和梨各25箱，每箱苹果有32千克，每千克4元；每箱梨有48千克，每千克3元．超市运回苹果和梨一共有多少千克？一共花了多少钱？ 【答案】2000千克；6800元 【完整解答】25×（32＋48）＝2000（千克） 答：一共有2000千克。 （32×4＋48×3）×25＝6800（元） 答：一共花了6800元钱。 20．（17-18四年级下·全国·单元测试）一辆货车和一辆客车同时从甲、乙两地相对开出．货车每小时行48千米，客车每小时行52千米，2小时后两车相遇．甲、乙两地相距多少千米？(先画图整理，再解答) 【答案】 (48＋52)×2＝200(千米) $$四年级/下册 小学数学 苏教版 · 2025年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题03 运算律的相关计算与应用 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共52题） 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、核心知识点梳理 1. 加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 公式：a + b = b + a 加法结合律：三个数相加，先加前两个数或先加后两个数，和不变。 公式：(a + b) + c = a + (b + c) 2. 乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 公式：a × b = b × a 例：25 × 4 = 4 × 25 = 100 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数或先乘后两个数，积不变。 公式：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律（重点难点）：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘后再相加。 式：(a + b) × c = a × c + b × c 拓展：a × (b + c) = a × b + a × c 二、解题技巧与策略 1. 识别运算律的特征 运算律 标志特征 应用场景 加法交换律/结合律 连加算式、末尾凑整（如凑十、百） 158 + 247 + 42 → 先算158+42 乘法交换律/结合律 连乘算式、有25×4, 125×8等 25×17×4 → 先算25×4=100 乘法分配律 有“×”和“+”混合、“分拆凑整” 103×56 → 拆成(100+3)×56 2. 简算四步法 观察：找特殊数（如25、125、99、101等）或能凑整的组合。 变形：拆数、合并或重组算式（如 99 → 100-1，202 → 200+2）。 选律：选择合适的运算律进行简算。 验算：重新计算验证结果是否正确。 3. 乘法分配律的深度应用 正向分配：(a + b) × c = a×c + b×c 例：(125 + 60)×8 = 125×8 + 60×8 = 1000 + 480 = 1480 逆向提取：a×c + b×c = (a + b) × c（提取公因数） 例：36×57 + 64×57 = (36 + 64) × 57 = 100×57 = 5700 隐藏的“×1”： 例：58×99 + 58 = 58×99 + 58×1 = 58×(99+1) = 58×100 = 5800 三、易错点与避坑指南 1. 混淆结合律与分配律 ❌ 错误：25×(4×8) = 25×4 + 25×8 ✅ 正确：25×(4×8) = (25×4)×8 = 100×8 = 800（用乘法结合律） 2. 分配律漏乘 ❌ 错误：(20+5)×4 = 20×4 + 5 = 80+5=85 ✅ 正确：(20+5)×4 = 20×4 + 5×4 = 80+20=100 3. 提取公因数时漏项 ❌ 错误：12×15 + 15 = 12×(15+1) ✅ 正确：12×15 + 15 = 12×15 + 1×15 = 15×(12+1) = 15×13=195 高频考点讲练01：整数加法交换律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏淮安·期中）用简便方法计算下面各题。 125×32×25    355＋260＋140＋245     4800÷25÷4        645－（180＋245） 【演练1】（24-25四年级下·全国·课后作业）用简便方法计算。 578＋405      37＋125＋163     718－（137＋118）      581－98－81 【演练2】（24-25四年级下·全国·课后作业）下面各题，怎样算简便就怎样算。 175＋201             387－78－22       159－（59＋37） 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18                  123＋426＋77＋164 【演练3】（20-21四年级下·全国·单元测试）请用简便方法计算，并写出过程。 57＋66＋43        653－198            455－（155＋30） 999＋99＋9＋3             50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1 高频考点讲练02：整数加法结合律 【典例精讲】（20-21四年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 【演练1】（23-24四年级下·海南海口·阶段练习）计算下面各题，能简算的要简算。 189－（89＋11）    36×49＋64×49    256＋78＋22－56 125×88     57×99＋57    720÷45÷2 （40－4）×25    （138－37＋63）÷4    52×99 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）先用计算器计算，再试试用简便方法计算。 （1）599999＋49999＋3999＋299＋19 （2）6999999＋69999＋69999＋699＋699＋69 【演练3】．（23-24四年级下·江苏南京·阶段练习）能简便计算的要简便计算。 36×98＋72        420×17＋830×42    999×999＋1999 1200÷25÷4        35＋241＋59＋65        187－39－61 高频考点讲练03：整数减法的性质 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏淮安·期中）算式308－（□＋25）的结果比算式308－□＋25的结果( )（填大或小）。 【演练1】（24-25四年级下·江苏·课后作业）怎样算简便就怎样算。                            【演练2】（23-24四年级下·海南海口·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                    【演练3】（23-24四年级下·湖南邵阳·期末）计算下面各题，怎样算简便就怎样算。 42×61＋39×42        603－176－24        48＋125＋75＋52 125×32×25           88×99＋88        375－（175－26） 高频考点讲练04：整数乘法交换律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏苏州·期末）下面的算式中，与其他三道算式的结果不相等的是（    ）。 A．140×32 B．320×14 C．140×30＋2 D．140×4×8 【演练1】（24-25四年级下·全国·期末）计算下列各题，能简算的要简算。 102×37          582－（157＋182）          （125＋125＋125＋125）×25×8 【演练2】（23-24四年级下·山西临汾·期末）用简便方法计算。 456＋192＋244        369－（69＋58） 25×11×4            85×107－85×7 【演练3】（23-24四年级下·山西太原·期末）对比末尾有0的加法竖式和乘法竖式，小明提出了一个问题。 学习完“运算律”后，他解决了这个问题。请你把解答过程补充完整。 应用了________________律。 应用了________________律。 高频考点讲练05：整数乘法结合律 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏徐州·期中）小玲在用计算器计算326×77时，将“77”少按了一个7，如果想得到正确结果，可以再（    ）。 A．加70 B．乘7 C．乘70 D．乘11 【演练1】（23-24四年级下·河南洛阳·期末）孟津博物馆位是洛阳市建设“东方博物馆之都”重要项目，位于孟津区文博艺术中心，自今年3月15日起开放，观众可免费入馆参观。孟津博物馆一楼布展面积1800平方米，布展时间线从原始生态到两汉时期，共展出390余件文物。星期天，奇奇和妙妙一起到孟津博物馆参观，两人同时从家出发，奇奇的速度是55米/分、妙妙的速度是70米/分。16分钟后两人同时到达。从奇奇家经博物馆到妙妙家的路程是多少米？ 【演练2】（23-24四年级下·河南周口·阶段练习）根据运算律填空。 （ ＋ ） （ ） （ × ） （ ） 【演练3】（18-19四年级下·江苏盐城·期中）请用简便方法计算。 （1）666×9＋111×46     （2）25×16×125 高频考点讲练06：整数乘法分配律 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏苏州·期末）下面各题怎样算简便就怎样算。 （1）125×（8＋20）                         （2）5×27＋63×5 （3）480÷（36－36÷3）                     （4）13×356－56×13 【演练1】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）小凯从乘法分配律类推出a÷（b＋c）＝a÷b＋a÷c（b、c不等于0），引起大家热烈讨论。关于他们的说法，我认为（    ）。 小芳：“我赞同，这个规律和乘法分配律差不多，是对的。” 小可：“12÷（2＋4）＝2，12÷2＋12÷4＝9，得数不相等，小凯的式子不成立！” 小东：“小凯的式子不对，我画图研究（如下图），应该是（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c（c不等于0）。” 12÷3＋6÷3＝（12＋6）÷3 A．小芳说得有道理 B．小可举的例子太少，不能说明问题 C．乘法和除法关联不大，小东的规律不对 D．我欣赏小东的观点，画图和举例都是学习数学的好方法 【演练2】（23-24四年级下·海南海口·阶段练习）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 81×35－35( )35×80    28×60( )30×60    56×99( )56×（99＋1） （25＋8）×4( )25×4＋8  280÷70( )280÷71  176－35－65( )176－100 【演练3】（18-19四年级下·江苏常州·期末）简便计算。 （398＋298＋198＋98）×125                  156×37－（36×108＋37×48） 高频考点讲练07：整数除法的性质 【典例精讲】（24-25四年级下·江苏盐城·期中）小明的计算器上数字键“2”坏了，下面（    ）算式也可以算出360÷24的得数。 A．360÷8×3 B．360÷4÷6 C．360÷30－6 D．360÷2×12 【演练1】（24-25四年级下·山西临汾·期中）小丽计算器上的数字键“4”坏了，下面（    ）算式也可以算出1920÷24的得数。 A．1920÷8×3 B．1920÷4÷6 C．1920÷8÷3 D．1920÷30－6 【演练2】（2025四年级下·全国·专题练习）在括里填“＞”“＜”或“＝”。 34×124＋34( )34×（124－1）    832÷8÷4( )832÷（8÷4） 46×19＋46×22( )46×（19×22）    115×24－15×24( )24×（115－15） 【演练3】（23-24四年级下·江苏徐州·期末）计算下列各题，怎样算简便就怎样算。 25×32×125          600－241－159          11×99＋89×99 560÷16÷5             57×101－57          28＋195＋72 高频考点讲练08：相遇问题 【典例精讲】（23-24四年级下·江苏南通·期末）骑行是现代人们的一种健身方式，也有利于缓解城市交通拥堵和环境污染问题。小芳和小军家附近有一条环形自行车道，他们相约从同一地点同时出发，沿着相反方向骑行，小芳骑行的速度是225米/分，小军骑行的速度是275米/分。经过16分钟两人相遇，这条环形自行车道长多少米？ 【演练1】（23-24六年级下·江苏盐城·期末）下面是从小红家到小明家的路线示意图，正中间是公园。 一天，小红和小明同时从自己家出发，相向而行，小红每分钟走90米，小明每分钟走120米，经过8分钟两人相遇。 （1）在图上标出小红和小明相遇地点的大概位置，并说明理由。 （2）小红和小明两家相距多少米？ 【演练2】（23-24四年级下·江苏苏州·期末）小丁和小文在环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小丁的速度是4米/秒，小文的速度是6米/秒，40秒后两人第一次相遇。 （1）这个环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后两人能再次相遇？ 【演练3】（24-25四年级下·全国·课后作业）姐妹俩同时从家到少年宫，路程全长770米，妹妹每分钟步行60米，姐姐以每分钟160米的速度骑自行车到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇，这时妹妹步行了几分钟？ 1．（24-25四年级下·江苏连云港·期中）用计算器计算“125×36”时，发现按键“3”坏了，正确替代方法是（    ）。 A．125×30＋6 B．125×18×2 C．125×40－4 2．（23-24四年级下·江苏无锡·期末）（120＋□）×4的结果与120＋□×4的结果相差（    ）。 A．480 B．400 C．360 3．（23-24四年级下·陕西西安·期末）东东的计算器上数字键“？”坏了，如果想用这个计算器计算出32×160的得数，下面不能算出正确结果的算式是（    ）。 A．4×8×160 B．31＋1×160 C．40×160－8×160 D．33×160－160 4．（19-20四年级下·江苏·单元测试）如果A×（14＋B）＝A×14＋A，并且不为0，那么B＝（    ）。 A．1 B．0 C．14 D．任意数 5．（24-25四年级下·江苏徐州·期中）计算器上的数字“4”坏了，请用算式表示出计算33×45的思考过程：( )。 6．（2025四年级下·全国·专题练习）在括号里填“＞”“＜”或“＝”。 482×5＋18×5( )500×5    13亿( )1339720000 99×99＋99( )99×101    2754897200( )27亿 7．（21-22四年级下·江苏扬州·期末）甲乙两车分别同时从AB两地相对开出，第一次在离A地100千米处相遇，继续前行到对方出发地后立即返回，第二次在离B地30千米处相遇。AB两地相距( )千米。 8．（2025四年级下·全国·专题练习）299×99＋299＝（299＋1）×99。( )（判断对错） 9．（19-20四年级下·江苏·单元测试）4×7×25×9=100×28。( )（判断对错） 10．（2025四年级下·全国·专题练习）用简便方法计算。 48＋175＋25           346＋102          327＋91＋73 98＋（24＋102）      105＋418       234＋301 36＋77＋23＋64              25＋（57＋175）＋143 11．（24-25四年级下·江苏盐城·期中）阳光社区志愿者团队在维护公园环境时记录如下数据： 平均每月收集公园湖面漂浮垃圾48千克，平均每天清理人行道垃圾25千克，平均每天清理的野餐区垃圾比人行道垃圾多20千克。（一年按365天计算） （1）全年从公园湖面打捞的漂浮垃圾总重量是多少千克？ （2）全年清理的野餐区垃圾和人行道垃圾共多少千克？ 12．（24-25四年级下·全国·课后作业）学校打算购买200套单人课桌椅，每张桌子102元，每把椅子49元。 （1）一共应付多少元？ （2）学校后来改为购买双人桌。如果每张双人桌162元，每把椅子49元，那么安排同样多的同学，一共应付多少元？ 13．（2025四年级下·全国·专题练习）赵强和李兰同时从同一地点出发，赵强向南走，李兰向北走，赵强的速度是70米/分，李兰的速度是85米/分。经过5分钟，两人相距多少米？（先画图表示条件和问题，再解答） 14．（2025四年级下·全国·专题练习）任写一个三位数，把它乘13，再乘77，用计算器算出结果。仔细观察，你有什么发现？再写几个三位数，看看你的发现是否仍然成立。你能解释发现的规律吗？（提示：应用乘法运算律） 15．（22-23四年级下·江苏徐州·期末）小红和小兰分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小红的速度是58米/分，小兰的速度是62米/分，经过4分钟两人第一次相遇，这座桥长多少米？两人从出发到第二次相遇，一共走了多少米？ 16．（19-20四年级下·江苏·单元测试）王叔叔和赵叔叔每天早上环湖跑步。他们同时从同一地点出发，反向而行。王叔叔的速度是4米/秒，赵叔叔的速度是3米/秒，经过5分钟后，两人还差40米相遇。如果王叔叔单独跑完这条环湖路，需要多少秒？ 17．（19-20四年级下·江苏·单元测试）学校要买60支钢笔赠送给十佳少先队员，现有甲、乙、丙三家店可供选择。三家店中钢笔的单价都是30元，但各家优惠方案不同。请你通过计算选择最划算的店铺。 18．（18-19四年级下·江苏·单元测试）乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟．问：乐乐家离学校有多远？ 19．（18-19四年级下·全国·单元测试）超市运回苹果和梨各25箱，每箱苹果有32千克，每千克4元；每箱梨有48千克，每千克3元．超市运回苹果和梨一共有多少千克？一共花了多少钱？ 20．（17-18四年级下·全国·单元测试）一辆货车和一辆客车同时从甲、乙两地相对开出．货车每小时行48千米，客车每小时行52千米，2小时后两车相遇．甲、乙两地相距多少千米？(先画图整理，再解答) $$