1.1 集合的概念（导学案）数学人教A版2019必修第一册

1.1 集合的概念 导学案 1.了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，掌握集合的表示方法（列举法、描述法）。 2.经历集合概念的形成过程，体会从具体到抽象的数学抽象思想，感受类比思想在概念学习中的作用。 3.在运用集合语言解决问题的过程中，发展逻辑推理能力，培养数学抽象素养与数学应用意识。 重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系。 难点：对集合中元素确定性、互异性的理解，描述法表示集合时元素特征的准确提炼。 一、自主学习——温故知新 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把 统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母 表示． 2．集合：把一些 组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母 表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是 的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 、 的． 思考　我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？ 答案 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 . 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 1.初中知识回顾     初中接触过的集合：自然数集、有理数集、方程的解集（如的解）、圆（平面内到定点距离等于定长的点的集合）。     集合的直观理解：由确定的对象组成的整体，如“班级里所有同学”。 2.集合元素特性的深入理解   互异性应用：如集合中，需满足，即且（源自文档中“集合元素互不相同”）。   无序性拓展：若集合，，则，强调“元素相同即集合相等”（教材中例1的延伸）。   3.常用数集符号的对比记忆 数集名称 符号 包含元素示例 自然数集 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 【学法指导】  自研课本《1.1集合的概念》教材内容，思考以下问题：     问题1：分析下列例子的共同特征，总结集合的含义。    （1）1~10之间的所有偶数；（2）立德中学高一全体学生；（3）所有正方形。     提示：每个例子都是由“确定的对象”组成的“整体”，这些对象称为元素，整体称为集合。     问题2：集合元素的特性有哪些？   确定性：元素必须是确定的（如“较小的数”不能构成集合，因元素不确定）。   互异性：集合中元素互不相同（如应写成）。   无序性：集合与元素顺序无关（如和是同一集合）。    问题3：元素与集合的关系如何表示？常用数集的符号是什么？    若是集合的元素，记为；否则记为。   常用数集：自然数集，正整数集或，整数集，有理数集，实数集。   【自研自探】 第二环节 合作探究 小组讨论下列问题，形成结论后展示交流：   1. 集合的表示方法    列举法：将元素一一列举，用花括号括起，如“四大洋”组成的集合：。  列举法的注意事项    元素规律表达：当元素较多时，若有明显规律可用省略号，如“小于100的自然数”可表示为，但需确保规律明确（教材例1的拓展）。    空集的特殊性：不含任何元素的集合记为，如“方程的实数根”组成的集合为（教学设计中提到空集概念）。    描述法：用元素共同特征表示，形式为，如“不等式的解集”：。   描述法的标准格式       格式分解：中，         ：元素代表符号；         ：元素范围（可省略时需上下文明确）；         ：元素共同特征（如“”表示偶数）。       例题补充：用描述法表示“函数的图像上的点”，应为（强调点集的表示，源自文档中“点集”示例）。   2. 典型例题解析      例1：用列举法表示集合。      解：    例2：用描述法表示“所有奇数”的集合。      解： 3. 易错点辨析       集合与是否相等？提示：相等，因前者元素唯一为。       用描述法时能否省略的范围？提示：若上下文明确（如），可省略，如默认。   “属于”关系与集合表示的混淆：         错误示例：（正确），但（错误，前者是元素与集合的关系，后者是集合相等，需明确“”与“”的区别） 描述法中范围省略的条件： 若集合“，默认；若，需写成（教材中约定的补充说明）。   4. 元素特性的应用       例题：已知集合，，若，求a,b的值。   5. 集合表示法的综合应用       题目：用两种方法表示“大于3且小于10的整数”。       6. 跨学科联系       实际问题：“立德中学高一（1）班所有身高超过1.7m的学生”能否构成集合？若能，用描述法表示。      1.  判断下列对象能否构成集合，并说明理由       （1）大于3且小于10的偶数；（2）某班跑得快的同学。     2. 用符号“”或“”填空       ____；____；____；____。   3. 用适当方法表示下列集合     （1）方程的实数根；（2）大于5的所有整数。   4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 6．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________． 1.  （2024·模拟）下列各组对象能构成集合的是（ ）      A.某班身高超过1.8m的学生      B.所有漂亮的花      C.很大的数      D.接近0的实数   2. （2023·改编）集合用列举法表示为________。      3.方程组的所有解组成的集合是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一·全国·课后作业）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 5.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 1.  集合的概念      元素：研究对象；集合：元素组成的整体。      特性：确定性、互异性、无序性。   2. 元素与集合的关系       属于：；不属于：。   3. 集合的表示       列举法：（元素有限或有规律）。       描述法：（元素有共同特征）。   4. 常用数集符号    （自然数集，含0）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集）。   5.集合概念的逻辑图      集合概念    ├─元素：研究对象（用小写字母a,b,c表示）    ├─集合：元素组成的整体（用大写字母A,B,C表示）    ├─元素特性：确定性、互异性、无序性    └─集合相等：元素完全相同（与顺序无关）   6.表示方法对比表   方法 适用场景 示例 注意事项 列举法 元素有限或有规律 元素不重复、无序 描述法 元素有共同特征（尤其无限集） 明确元素代表符号与共同特征 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 导学案 1.了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，掌握集合的表示方法（列举法、描述法）。 2.经历集合概念的形成过程，体会从具体到抽象的数学抽象思想，感受类比思想在概念学习中的作用。 3.在运用集合语言解决问题的过程中，发展逻辑推理能力，培养数学抽象素养与数学应用意识。 重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系。 难点：对集合中元素确定性、互异性的理解，描述法表示集合时元素特征的准确提炼。 一、自主学习——温故知新 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 思考　我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？ 答案　不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准． 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 1.初中知识回顾     初中接触过的集合：自然数集、有理数集、方程的解集（如的解）、圆（平面内到定点距离等于定长的点的集合）。     集合的直观理解：由确定的对象组成的整体，如“班级里所有同学”。 2.集合元素特性的深入理解   互异性应用：如集合中，需满足，即且（源自文档中“集合元素互不相同”）。   无序性拓展：若集合，，则，强调“元素相同即集合相等”（教材中例1的延伸）。   3.常用数集符号的对比记忆 数集名称 符号 包含元素示例 自然数集 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 【学法指导】  自研课本《1.1集合的概念》教材内容，思考以下问题：     问题1：分析下列例子的共同特征，总结集合的含义。    （1）1~10之间的所有偶数；（2）立德中学高一全体学生；（3）所有正方形。     提示：每个例子都是由“确定的对象”组成的“整体”，这些对象称为元素，整体称为集合。     问题2：集合元素的特性有哪些？   确定性：元素必须是确定的（如“较小的数”不能构成集合，因元素不确定）。   互异性：集合中元素互不相同（如应写成）。   无序性：集合与元素顺序无关（如和是同一集合）。    问题3：元素与集合的关系如何表示？常用数集的符号是什么？    若是集合的元素，记为；否则记为。   常用数集：自然数集，正整数集或，整数集，有理数集，实数集。   【自研自探】 第二环节 合作探究 小组讨论下列问题，形成结论后展示交流：   1. 集合的表示方法       列举法：将元素一一列举，用花括号括起，如“四大洋”组成的集合：。  列举法的注意事项    元素规律表达：当元素较多时，若有明显规律可用省略号，如“小于100的自然数”可表示为，但需确保规律明确（教材例1的拓展）。    空集的特殊性：不含任何元素的集合记为，如“方程的实数根”组成的集合为（教学设计中提到空集概念）。    描述法：用元素共同特征表示，形式为，如“不等式的解集”：。   描述法的标准格式       格式分解：中，         ：元素代表符号；         ：元素范围（可省略时需上下文明确）；         ：元素共同特征（如“”表示偶数）。       例题补充：用描述法表示“函数的图像上的点”，应为（强调点集的表示，源自文档中“点集”示例）。   2. 典型例题解析      例1：用列举法表示集合。      解：元素为1,2,3,4，故集合为。      例2：用描述法表示“所有奇数”的集合。      解：奇数可表示为（），故集合为。   3. 易错点辨析       集合与是否相等？提示：相等，因前者元素唯一为。       用描述法时能否省略的范围？提示：若上下文明确（如），可省略，如默认。   “属于”关系与集合表示的混淆：         错误示例：（正确），但（错误，前者是元素与集合的关系，后者是集合相等，需明确“”与“”的区别） 描述法中范围省略的条件： 若集合“，默认；若，需写成（教材中约定的补充说明）。   4. 元素特性的应用       例题：已知集合，，若，求a,b的值。        解析：由集合相等与互异性，得或，        解得，（排除，因不满足互异性）。   5. 集合表示法的综合应用       题目：用两种方法表示“大于3且小于10的整数”。        答案：列举法，描述法。   6. 跨学科联系       实际问题：“立德中学高一（1）班所有身高超过1.7m的学生”能否构成集合？若能，用描述法表示。     解：能，是立德中学高一（1）班学生且身高超过1.7m（源自教学设计中的实例）。    1.  判断下列对象能否构成集合，并说明理由       （1）大于3且小于10的偶数；（2）某班跑得快的同学。      解：（1）能，元素确定为4,6,8；（2）不能，“跑得快”标准不确定。   2. 用符号“”或“”填空       ____；____；____；____。      答案：，，，。   3. 用适当方法表示下列集合     （1）方程的实数根；（2）大于5的所有整数。      解：（1）列举法：；（2）描述法：。   4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3∉Z；④－∉N，其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B. 5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　B 解析　集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意． 6．下列说法中：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________． 答案　②④ 解析　因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确． 1. （2024·模拟）下列各组对象能构成集合的是（ ）      A.某班身高超过1.8m的学生      B.所有漂亮的花      C.很大的数      D.接近0的实数      答案：A（元素确定性）。   2. （2023·改编）集合用列举法表示为________。      解：解不等式得，故集合为。   3.方程组的所有解组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】先根据元素应为有序数对的形式排除A,B；再判断不是方程的解来排除D,从而得到结果 【详解】方程组的解组成的集合中元素应是有序数对的形式,排除A,B；而D中不是方程组的解,排除D 故选C 【点睛】本题考查方程组的解得集合,其中元素应为有序数对形式 4.（24-25高一·全国·课后作业）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断是否为同一集合 【解析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可. 【详解】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合； B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合； C选项中，集合P中有一个元素是点，集合 Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合； D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合. 故选：ABD. 5.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 答案　B 解析　若a＝2，则6－2＝4∈A； 若a＝4，则6－4＝2∈A； 若a＝6，则6－6＝0∉A，故选B. 1.  集合的概念      元素：研究对象；集合：元素组成的整体。      特性：确定性、互异性、无序性。   2. 元素与集合的关系       属于：；不属于：。   3. 集合的表示       列举法：（元素有限或有规律）。       描述法：（元素有共同特征）。   4. 常用数集符号    （自然数集，含0）、（正整数集）、（整数集）、（有理数集）、（实数集）。   5.集合概念的逻辑图      集合概念    ├─元素：研究对象（用小写字母a,b,c表示）    ├─集合：元素组成的整体（用大写字母A,B,C表示）    ├─元素特性：确定性、互异性、无序性    └─集合相等：元素完全相同（与顺序无关）   6.表示方法对比表   方法 适用场景 示例 注意事项 列举法 元素有限或有规律 元素不重复、无序 描述法 元素有共同特征（尤其无限集） 明确元素代表符号与共同特征 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$