2024-2025学年沪科版数学七年级下册期末考试测试卷

2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷 【沪科版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（2025年上海市静安区中考数学二模试卷）如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 3．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 4．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·周测） 如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）若关于x的一元一次不等式（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 8．（3分）关于x，y的方程组满足不等式x﹣y＜5，则m的范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＜﹣9 C．m＞1 D．m＜1 9．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10．（3分）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 12．（3分）（24-25七年级·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 13．（3分）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重 　　 kg． 14．（3分）（24-25七年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ． 15．（3分）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是______． 16．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 19．（8分）（24-25七年级·四川成都·期中）（1）因式分解：； （2）解不等式组：． 20．（8分）（24-25七年级·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 任务： (1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______． (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (3)请你直接写出正确的结果． (4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议． 21．（10分）（24-25七年级·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 22．（10分）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　 　 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（　　 ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； 【知识迁移】 （4）手工课上，小麒将一张正方形纸片沿对角线AC，BD剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形EFGH是正方形，连接NP，PQ，QM，MN，通过探索，小麒发现四边形PQMN也是正方形，如图3．设FP＝a，EF＝b．若图3中空白部分面积为168，AG＝19，求EP的长． 23．（12分）（24-25七年级·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 24．（12分）【问题提出】 如图，已知，直线分别交，于点，，平分交于点． （1）如图1，若，则的度数是_____． 【问题探究】 （2）作平分，交于点． ①如图2，过点作，交直线于点，求证：； ②如图3，点是延长线上的一点，连接，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由． 2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，整式加法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．根据同类项的加法，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 2．（3分）（2025年上海市静安区中考数学二模试卷）如图，数轴上的点A、、、、分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴、无理数的估算等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键． 先估算出无理数的范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即表示数的点应落在上． 故选B． 3．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 4．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·周测） 如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：B． 5．（3分）（2025·山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（3分）若关于x的一元一次不等式（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1， ∴a﹣3＜0， 解得a＜3， ∴a的值可以为2， 故选：A． 7．（3分）（24-25七年级·山东济南·期中）若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为正数，且， ∴，解得：且， ∴满足条件的正整数的值为1，3； 故选D． 8．（3分）关于x，y的方程组满足不等式x﹣y＜5，则m的范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＜﹣9 C．m＞1 D．m＜1 【答案】A 【解答】解：， ①﹣②得：3x﹣3y＝6﹣m， ∴x﹣y， ∵x﹣y＜5， ∴， 解得：m＞﹣9， 故选：A． 9．（3分）（24-25七年级·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的整数解共有6个，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是得出关于m的不等式组．求出不等式组的解集，根据整数解共有个，的范围即可． 【详解】解：解不等式得：，解不等式的解集是， 不等式组的解集为． 关于的不等式组的整数解共有个， ∴． 故选：A． 10．（3分）（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）关于的不等式的解集都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 解得． 由题意可知， 解得． 故答案为： 12．（3分）（24-25七年级·安徽宣城·期中）如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次方程，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 由数轴知， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（3分）体质指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的标准：，其中w为体重（单位：kg），h为身高（单位：m），成年人的BMI正常范围是18.5﹣23.9kg/m2．有一位成年人体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2，属于超重范围．若想要BMI值不超过22kg/m2，他至少应减重 　　 kg． 【答案】12 【解答】解：∵体重为78kg，根据公式计算得出他的BMI值为26kg/m2， ∴26， ∴h2＝3， 设这位成年人的体重为x kg， ∵他的体重为值不超过22kg/m2， ∴22， ∴， ∴x≤66． ∴想要BMI值不超过22kg/m2，他的体重最多不超过66kg， ∴他至少应减重78﹣66＝12（kg）． 故答案为：12． 14．（3分）（24-25七年级·湖南怀化·期中）如果，则 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式的加减运算、二元一次方程组的知识；熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质是解答本题的关键．根据分式加减运算可得，再建立二元一次方程组，求得A与B的值，即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 即． ∴， 解得： ∴的值为4，的值为． 故答案为4，． 15．（3分）若不等式组有2个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解答】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 故答案为：． 16．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ． 【答案】96 【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键． 过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵ 平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．（6分）（24-25七年级·江苏盐城·期末）已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． （1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°． （2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？ （3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒． 【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30 【分析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数． （2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可； （3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间． 【详解】解：（1）∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∵∠AOC=α＝30°， ∴∠EOC=90°-30°=60°， ∠AOD=180°-30°=150°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°； 故答案为：60，75； （2）当，． 设当射线与射线重合时至少需要t秒， 可得，解得：； 答：当射线与射线重合时至少需要秒； （3）设射线转动的时间为t秒， 由题意得：或或或， 解得：或12或21或30． 答：射线转动的时间为3或12或21或30秒． 【点睛】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论． 19．（8分）（24-25七年级·四川成都·期中）（1）因式分解：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先化简，再利用公式法解答； （2）根据一元一次不等式组的解法即可求出答案，即先求出每一个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到整个不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 由①得，， 由②得，， 则不等式组的解集为：． 20．（8分）（24-25七年级·山西晋城·阶段练习）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 任务： (1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______． (2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (3)请你直接写出正确的结果． (4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变） (2)五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (3) (4)答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等 【分析】（1）根据分式的基本性质，熟练通分解答即可． （2）从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底． （3）根据运算直接解答即可． （4）从知识理解，运用等方面给出合理的建议即可． 本题考查了分式的性质，通分，熟练掌握通分是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第三步是通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）． （2）解：从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底． 故答案为：五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号． （3）解：原式， 因此最后的答案是． （4）解：答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等． 21．（10分）（24-25七年级·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② =． ∵， ∴， ． ∴ ． ∴ ． 同理，可得 ． ∴ ． ∴方案C的最终过滤效果最好． 22．（10分）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　 　 ，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想（　　 ） A．数形结合 B．分类讨论 C．类比推理 D．转化 利用上述公式解决问题： 【直接应用】（2）若xy＝4，x+y＝6，则x2+y2＝　 　 ； 【类比应用】（3）若（x﹣2024）2+（2025﹣x）2＝2026，求（x﹣2024）（2025﹣x）的值； 【知识迁移】 （4）手工课上，小麒将一张正方形纸片沿对角线AC，BD剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形EFGH是正方形，连接NP，PQ，QM，MN，通过探索，小麒发现四边形PQMN也是正方形，如图3．设FP＝a，EF＝b．若图3中空白部分面积为168，AG＝19，求EP的长． 【解答】解：（1）根据题意可知，图①中大正方形的面积用“边长的平方”表示为：（a+b）2， 用“各部分面积之和”表示为：a2+2ab+b2， (1分） 利用数形结合的数学思想验证了公式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；A； (2分） （2）根据题意可知，（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36， 即x2+y2+8＝36， ∴x2+y2＝28， 故答案为：28； (5分） （3）设x﹣2024＝m，2025﹣x＝n， 则m+n＝1，m2+n2＝2026，（x﹣2024）（2025﹣x）＝mn， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝1， 即2026+2mn＝1， ， ∴； (7分） （4）空白部分面积为168， ∴， 即ab＝84， ∵AG＝19， ∴b+a＝19， ∴EP2＝（a﹣b）2 ＝[（a+b）2﹣4ab] ＝192﹣4×84 ＝361﹣336 ＝25． (10分） 23．（12分）（24-25七年级·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 24．（12分）【问题提出】 如图，已知，直线分别交，于点，，平分交于点． （1）如图1，若，则的度数是_____． 【问题探究】 （2）作平分，交于点． ①如图2，过点作，交直线于点，求证：； ②如图3，点是延长线上的一点，连接，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）解：，， ， 平分， ， ∵ ， 故答案为：．（4分） （2）①证明：平分， ， ∵ ∴ ∴（8分） ②平分， ， 平分， ， ， ， ， ∵ 设，设，， ∴ ∵ ∴ 即， ∴ 又∵，即 代入得， ∴ 即.（14分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$