1.1.2空间向量的数量积运算（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 3．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知非零向量，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：求空间向量数量积 1．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（    ）． A．7 B． C．28 D．11 2．若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 3．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 5．设正方体的棱长为a，与相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 题型三：求空间向量的投影 1．已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 . 2．已知，在方向上的投影为，则 ． 题型四：利用数量积求线长度、夹角 1．已知空间向量，，，，，则 ． 2．已知空间向量，，设，，与垂直，，，则 ． 3．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 4．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 5．已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ）． A． B． C． D．2 6．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 题型五：利用数量积证垂直（求参） 1．已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 2．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ， ，⊥，则实数k的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 3．已知，且，则实数等于 . 题型一：基底法求空间向量数量积 1．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 2．如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 3．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 题型二：空间向量数量积的应用 1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 3．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 4．在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点． （1）求EF，所成角的余弦值； （2）求FH的长． 5．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 6．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为 1．已知点P为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ． 2．已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 题型一：空间向量数量积的概念辨析 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 2．设、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ） A．、一定共面 B．、、一定不共面 C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 3．设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 4．（多选）已知非零向量，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由向量数量积的定义和运算律依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，无意义，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由向量数量积运算律可知，D正确. 故选：AD. 题型二：求空间向量数量积 1．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（    ）． A．7 B． C．28 D．11 【答案】C 【分析】由向量，，是一组单位向量，且两两垂直，得且，然后利用向量的数量积的运算性质求解 【详解】向量，，是一组单位向量，且两两垂直， 所以且． 因为，， 所以． 故选：C． 2．若，，为空间中两两夹角为的单位向量，，，则 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义以及数量积的运算性质直接计算即可. 【详解】由题意得，，， 则. 故答案为： 3．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义即可求解. 【详解】，. 故选：B 4．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 5．设正方体的棱长为a，与相交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把看成基底，所求向量用基底表示来计算数量积. 【详解】选项A：，所以选项A错误； 选项B：， 所以选项B错误； 选项C：，所以选项C正确； 选项D：，所以选项D错误. 故选：C. 题型三：求空间向量的投影 1．已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解. 【详解】设与的夹角，则， 所以在上的投影向量为， 故答案为：. 2．已知，在方向上的投影为，则 ． 【答案】 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 题型四：利用数量积求线长度、夹角 1．已知空间向量，，，，，则 ． 【答案】 【分析】直接由计算可得出. 【详解】∵，∴． 故答案为：. 2．已知空间向量，，设，，与垂直，，，则 ． 【答案】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出，，，根据即可得出结果. 【详解】∵，∴，化简得， 又∵， ， ， ∴，∴． 故答案为：. 3．已知，且与垂直，则与的夹角为（   ） A．60° B．30° C．135° D．45° 【答案】D 【分析】由向量垂直及数量积的运算律求得，根据向量的夹角公式求夹角的大小. 【详解】由题设， 所以，而， 所以. 故选：D 4．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】, 故 故选 5．已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（    ）． A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解. 【详解】   过点，分别向作垂线，垂足分别为，， 则可得，，，，． 由于， 所以 ， 所以． 故选:A． 6．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用向量表示出，然后平方计算出结果. 【详解】解：在平行六面体中，因为，所以 ． 所以． 故选：D. 题型五：利用数量积证垂直（求参） 1．已知空间中四点A，B，E，C，若，则 .（填“”“ //”或“”） 【答案】 【分析】由已知可得，再判断垂直关系. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 2．已知a，b是异面直线，，分别为取自直线a，b上的单位向量，且 ， ，⊥，则实数k的值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥，则＝＝1， 0，运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理解关于k的方程，即可得到. 【详解】，分别为取自直线a，b上的单位向量，且⊥， 则＝＝1， 0， 0， 即为， 解得. 故选：B. 3．已知，且，则实数等于 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律及向量垂直的表示列方程求参数即可. 【详解】， 又，则 故答案为： 题型一：基底法求空间向量数量积 1．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 因为， . 故选：C. 2．如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 3．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 题型二：空间向量数量积的应用 1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 【答案】A 【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可． 【详解】因为，，， 所以 故选：A． 2．已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则 ． 【答案】 【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示：    因为为的重心，则， 可得，则， 所以， ，故. 故答案为：. 3．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故 ， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 4．在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点． （1）求EF，所成角的余弦值； （2）求FH的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设于是可得，，根据，，最后结合空间向量的夹角公式和数量积运算即可求得； （2）根据，再由空间向量模的运算和数量积的运算即可得到答案. 【详解】如图， 设则，. 因为， ， 所以， ，则， ，则， 所以，所以所成角的余弦值为. （2）因为， 所以，即FH的长为. 5．（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误. 故选：CD 6．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确. 故选：AB 1．已知点P为棱长等于1的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为 ． 【答案】0 【分析】由题意确定P在以A为球心的正方体内部的球面上，根据数量积运算律得出，进而确定A、P、E三点共线时，取最小值，由此求得的最小值，即得答案. 【详解】取线段的中点E，则，， 因为，所以P在以A为球心的正方体内部的球面上， 所以，， 当A、P、E三点共线时，取最小值， 此时，此时， 所以，所以与的夹角为，则夹角余弦值为0， 故答案为：0 2．已知空间向量两两夹角均为，且.若向量满足，则的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可. 【详解】 取一三棱锥，， 且，，所以， ， 设， 因为，所以，即， 所以在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 又由同理可知在以为直径的球上，球半径为，设球心为， 球心距，所以两球相交，即点与点可以重合， 又， 所以. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$