1.1.2空间向量的数量积运算（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2空间向量 的数量积运算 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 2 3 4 01 回顾导入 1.1.2空间向量的数量积运算 和数量积的定义 回顾引入 回顾平面向量夹角和数量积的定义： 思考 类比平面向量的知识，空间向量的夹角和数量积又将如何定义呢？ 02 新课探究 1.1.2空间向量的数量积运算 学习新知 类比平面向量，如何得出空间向量夹角的概念？ 平面向量的夹角 空间向量的夹角 b a . O B α A b a . O B α A 探究1 和数量积的定义 牛刀小试 和数量积的定义 牛刀小试 学习新知 类比平面向量，如何得出空间向量数量积的定义？ 平面向量的数量积 空间向量的数量积 证明垂直关系 求线段长度 求夹角大小 探究2 和数量积的定义 牛刀小试 和数量积的定义 牛刀小试 学习新知 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，回顾什么是投影向量，你能把它推广到空间向量中吗？ 平面向量的投影 两个非零向量a，b， ＝a， ＝b，过A和B分别做 在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到 ，称上述变换为向量a向向量b的投影， 叫向量a在向量b上的投影向量. ＝|a|cos〈a，b〉 b a A B D C A1 B1 b a . O N M M1 探究3 学习新知 空间向量的投影 如图1.1-11(1)，在空间，向量 向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量 的投影，得到与 向量共线的向量 ， ，向量 称为向量 在向量上 的投影向量． (1) 图1.1-11 探究4 在空间，向量向向量投影有什么几何意义？ (2) 图1.1-11 类似地，可以将向量向直线投影 （图1.1-11(2))． 学习新知 如图1.1-11(3)，向量 向平面 投影，就是分别由向量 的起点 和终点 作平面 的垂线，垂足分别为 ， ，得到向量 ，向量 称为向量 在平面 上的投影向量．这时，向量 ， 的夹角就是向量 所在直线与平面 所成的角． 空间向量的投影 A B (3) 图1.1-11 探究5 在空间，向量向平面投影有什么几何意义？ 和数量积的定义 牛刀小试 学习新知 类比平面向量数量积运算的运算律，空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 空间向量的数量积满足如下的运算律： （交换律）； , ； （分配律）. 请同学们课后给出运算律的证明 探究6 学习新知 1.对于三个均不为0的数 ，若 ，则 ．对于向量 ， ， ，由 ，你能得到 吗？如果不能，请举出反例． 设 是非零向量，且 ，求证： O B C A 思考 学习新知 思考 2. 对于三个均不为0的数 ，若 ，则 (或 )．对于向量 ， ，若 ，能不能写成 （或 ）的形式？ 3. 对三个不为0的数 ,有 ,对于向量 , , , 成立吗？为什么? 2. 不能！因为没有定义向量的除法运算. 3. 不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c 和 a(b·c) 分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律. 和数量积的定义 牛刀小试 03 应用新知 1.1.2空间向量的数量积运算 应用新知 A B C D 应用新知 A B C D 应用新知 规律方法 (1)已知向量的模和夹角 利用 并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积 先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． 求数量积的两种情况及方法 应用新知 l m n g 分析 应用新知 l m n g 04 重要题型 1.1.2空间向量的数量积运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 题型一 空间向量数量积的运算 重要题型专练 方法总结 空间向量数量积运算的求解方法 利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算律进行计算. 利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. 利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算. 步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式; 利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; 代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 重要题型专练 题型二 利用数量积求异面直线所成的角 重要题型专练 方法总结 利用数量积求异面直线所成角 重要题型专练 题型三 利用数量积求线段长度 重要题型专练 方法总结 空间向量的模有两种方法 05 真题感知 1.1.2空间向量的数量积运算 和数量积的定义 真题感知 和数量积的定义 真题感知 和数量积的定义 真题感知 和数量积的定义 真题感知 和数量积的定义 真题感知 06 课堂笔记 1.1.2空间向量的数量积运算 和数量积的定义 课堂笔记 和数量积的定义 课堂笔记 07 小结与作业布置 1.1.2空间向量的数量积运算 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第10页习题第8，10题。 拓展作业：证明空间向量数量积的运算律。  作业答案 8. 用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）． 作业答案 作业答案 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：（多选）下列命题是真命题的是（     ） A．任何两个空间向量之间都有夹角 B．当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π C．若，则向量与一定垂直 D．两个非零向量，，与可能不相等 解析：对于A，只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，故A错误； 对于B，当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π，故B正确； 对于C，当，故C正确； 对于D，两个非零向量的夹角是唯一确定的，所以，故D错误； 练2：如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 解析：对于A，因为 ，且，所以，故A正确； 对于B，因为，且，所以，故B错误； 对于C，因为，且，所以，故C错误； 对于D，因为，且，所以，故D错误； 练3：已知，分别求下列条件下与的数量积. (1)与的夹角为； (2)与的夹角为； (3)； (4) . 解析：（1）； （2）； （3）当时，； （4）当时，或，则 练4：设，，，求与的夹角． 解析：由，得． 因为，所以． 练5： 已知向量，，，，，则在方向上的投影向量为 ，在方向上的投影向量为 ． 解析：由题意，与向量，同方向的单位向量分别为，． 根据投影向量的定义，得在方向上的投影向量为： ； 在方向上的投影向量为. 练6：下列说法错误的是（     ） A．设是两个空间向量，则一定共面 B．设是两个空间向量，则 C．设是三个空间向量，则一定不共面 D．设是三个空间向量，则 解析：对于A，因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，设是三个空间向量，则可能共面，故C错误； 对于D，空间向量数量积满足分配律，故，即D正确. 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，． 求：（1）； （2）的长（精确到0.1）． 解析：（1） ； （2） ，所以． 例2： 如图1.1-12，在平行六面体中，，， ，，． 求：（1）； （2）的长（精确到0.1）． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与 平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由， ，得到，那么就能解决此问题． 例3：如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，. 求证：． 证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线， ，上取非零向量，，，． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得． 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使． 因为直线与相交，所以向量，不平行． 所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以． 因为，，所以． 求：（1）；（2）；（3）． 例题1：如图，正方体的棱长为1，设，，， 解析：（1）； （2）； （3）． 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； 解析：四面体ABCD的所有棱长都等于a， ， E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点， 任意两条棱所在直线的夹角为， （1） ； （2）； 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； （3），则直线AC与直线AB所成角就是 直线FG与直线BA所成角， ； 例题2：如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点． 求：（1）； （2）； （3）； 例题3：如图，在正三棱柱中， A.60° B.90° C.105° D.75° 解析：设，则．，， ． ．与所成的角为90°．故选：B 若，则与所成角的大小为（ ） 例题4：如图，在平行六面体中，， ，，，．求： （1）； （2）的长； 解析：（1）； （2）， ，所以，即的长为； 一是平方法，即利用|a|2＝a·a，其实质是转化为数量积求解； 二是坐标法，即利用公式|a|＝. 1.（23-24高二上·北京房山·期中） 在棱长为2的正方体中，（     ） A． B． C．2 D．4 解析：在棱长为2的正方体中, 易知，，因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 2.（21-22高二上·甘肃陇南·期末） 已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（     ） A． B． C． D． 解析： ， ∵，，为两两互相垂直的单位向量，∴，，，，，， ∴，∵，∴，∴，解得， 故选：C. 3.（23-24高二上·四川成都·阶段练习） 已知空间向量的夹角为，则 ． 解析：空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 4.（2024高二·全国·专题练习） 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 解析：空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 5.（23-24高二下·甘肃·期末） 在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（     ） A． B． C． D．6 解析：空间因为， 所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 1．空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示： 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·| ||||；                   ④(λ)·= ； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 2．投影向量 （1）在空间，向量向向量投影： 如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影： 如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 解析：已知：平面，是平面的斜线，且， 平面于点，且．求证： 证明：如图，，且， ，， ，． 又，，， ，，． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 证明：设，，， 分别为，的中点， ， 又，分别是，的中点， ， ，∴四边形是平行四边形． 10.如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形． 又在和中， ，，， ，． ， 又，， ，，． 又，， ，∴四边形为矩形． $$