精品解析：河南省南阳市第一中学校2025届高三第三次模拟考试数学试题

南阳市一中2025年春期高三年级第三次模拟考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 由，得， 则， 则. 故选：C. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用的性质化简，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的概念即可得解. 【详解】因为，所以， 由， ，其虚部为. 故选：A. 3. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角. 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以.  因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则.  设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以.  则与夹角的大小是. 故选：C. 4. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正态分布的对称性确定的值，再根据二项展开式的特点求常数项. 【详解】因为，所以， 所以. 所以二项式的展开式中，常数项为：. 故选：D 5. 已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理. 【详解】因为，所以当时，有， 因为在区间内恰有一个极值， 结合函数图象，得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 6. 设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线定理结合余弦定理计算离心率即可. 【详解】由题设，由角平分线定理可得， 则，. 在中，由余弦定理得； 在中，由余弦定理得. 由得.解得. 则，即， 所以双曲线的离心率为. 故选:B. 7. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值. 【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，， 故两切线方程为，， 即，， 与存在公切线，所以有解，消去后得：， 令，， 易得在上单调递增，且时，；时，， 故在区间上递减，在上递增． 所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为． 故选：B． 8. 某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据编辑新序列的概念，推导数列的递推公式，由递推公式结合知道的项，可求的值. 【详解】因为， 设，则， 因为的所有项都是3，所以，设， 所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以. 由，； 由，； 由； 由. 又，所以. 所以. 故选：C 二、多选题：本题共5小题，共30分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；将与矩形沿翻折到一个平面内，可知所求最小值为，利用余弦定理可求得B错误；利用体积桥可求得三棱锥的体积为定值，知C正确；利用体积桥可求得点到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知D正确. 【详解】对于A，在中，，即是边长为的等边三角形， 的最小值为的高，，A正确； 对于B，将与矩形沿翻折到一个平面内，如图所示， 则最小值为； 又，，， 在中，由余弦定理得：， ，即，B错误； 对于C，平面，平面，； 四边形为正方形，， 又，平面，平面； ， 即三棱锥的体积不变，C正确； 对于D，设点到平面的距离为， ，，即，解得：， 以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆， 交线长为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及复合函数的导数求法、奇偶性定义判断A；由题设有，得，令求参数得判断B；利用奇偶性、对称性判断C、D. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以， 则，即，故A正确； 因为是奇函数，所以，即， 所以，则，令，所以， 所以，即图象关于直线对称， 则，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，若恒成立，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行变形得，构造函数，原不等式等价于，利用导数研究的单调性，进而可得自变量之间的关系，再利用导数研究恒成立问题即可. 【详解】恒成立，即，即， 即， 令，则恒成立，所以单调递增， ， 令，则， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即．则的最小值是． 故答案为： 13. 已知的内角，，C的对边分别为且，，，且，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理、基本不等式化简已知条件，由此求得的取值范围. 【详解】在中，易知，结合正弦定理和已知得，即，所以，则．又显然，故的取值范围是． 故答案为： 14. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列共有_______种．（结果用数字表示） 【答案】32 【解析】 【分析】先解不等式得出在与之间，然后分类讨论即可. 【详解】解不等式对恒成立得出在与之间， 其排列方式只能为：“小大小大小”或“大小大小大”的方式，这里的“大”与“小”指相比两旁的数大或小. 当排列方式为“小大小大小”时，如：35142，13254，…， ①当1、2、3在小，4、5在大的位置时，排列方式有种； ②当1、2、4在小，3、5在大的位置时，必须4、5在一边，1、2、3在另一边，排列方式有种，合计16种； 当排列方式为“大小大小大”时，同理也有16种，合计有不同的排列方式32种. 故答案为：32. 四、解答题 15. 已知正项数列中，，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案； （2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，得， 因，所以，则， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 方法一： 由（1）知 方法二： 由（1）知 设，则可得， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以的前n项和， 设 所以的前n项和 所以． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，分别求出及，即可写出切线方程； （2）计算出，令，解得或，分类讨论的范围，得出的单调性，由在区间上的最小值为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． 【小问2详解】 ，令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】（1），说明见解析， （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ， 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2. （1）求双曲线的方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②试探究：是否为定值？并说明理由. 【答案】（1） （2）①3；②为定值4，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，得到，且，联立方程组，求得的值，即可求解； （2）①设，求得，结合，即可求解； ②由（1）得直线的方程为，联立方程组，得到，结合弦长公式，求得和，进而化简得到为定值. 【小问1详解】 解：设，因为与的周长之差为， 所以，即， 又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以， 联立方程组，解得，所以， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：①由（1）知，双曲线的方程为， 设，则，可得， 则. ② 为定值. 理由如下： 由（1）得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为位于双曲线的左､右两支，所以，即， 可得， 又因为，所以直线的方程为， 根据双曲线的对称性，同理可得， 所以，故为定值. 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳市一中2025年春期高三年级第三次模拟考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 24 5. 已知函数在区间内恰有一个极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设双曲线的右顶点为，，分别在两条渐近线上，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为.若序列的所有项都是3，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 二、多选题：本题共5小题，共30分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长 10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，，若恒成立，则的最小值是______． 13. 已知的内角，，C的对边分别为且，，，且，若，则的取值范围是__________． 14. 设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列共有_______种．（结果用数字表示） 四、解答题 15. 已知正项数列中，，满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知数列满足求数列的前项和． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； （2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中， 相关系数. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 如图，双曲线的左､右焦点，分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2. （1）求双曲线的方程； （2）若直线交双曲线的右支于两点. ①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； ②试探究：否为定值？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$