2024-2025学年高二下学期期末数学模拟练习

2024～2025学年下学期期末模拟 高二数学 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A B D C A A ABD BCD BD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为，所以，解得，， 则，． 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.21 B. 0.29 C. 0.71 D. 0.79 【解析】B 由，得， 故． 3. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为. 4. 若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【解析】B 二项式展开式的通项为， 依题意，有正整数解，则是3的正整数倍， 所以的最小值为3. 5. 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】D ，， ，，， 是以1为首项，公差为2的等差数列， ，，， ， . 6. 若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【解析】C 设直线与曲线切于点，直线的斜率为4， 由导数的几何意义可知，，得，则， 所以直线，即， 所以直线与之间的距离为. 7. 已知是双曲线：的左焦点，直线过且与的一条渐近线平行，与交于点，若（为原点），则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【解析】A 不妨令直线平行于双曲线：的渐近线：，设， 则直线，由解得， 由，得，即，则， 解得，所以的离心率为. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( ) A. B. C. D. 【解析】A ， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 为方程的根，即﹒ 故，即为，解得﹒ 是函数的零点， 方程在上有解﹒ 即在上有解﹒ ， 在上有解﹒ 令， 则， 设， 则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒ 又， ﹒ ﹒故实数a的最小值是. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 【解析】ABD 对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； 对于B，随机变量服从几何分布，所以，其中， 即，故B正确； 对于C，根据正态分布参数的意义，越大表示随机变量的分布越分散， 则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故C错误； 对于D，取出两件中至少有一件正品的概率, 取出两件都是正品的概率，由条件概率的意义可知， 从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是， 故D正确. 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【解析】BCD 由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 点到平面距离的最小值为 D. 异面直线，所成角的取值范围是 【解析】BD 以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 得：， 对于A，若点P为的中点，则， 设平面的法向量为，，， 由，取，得， 设平面的法向量为，， 由，取，得， 显然不平行，即平面平面不成立，故A错误； 对于B，设，则，， 则，故，故B正确； 对于C，设，， 平面的一个法向量为， 则点P到平面距离为， ∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误； 对于D，设，， 设异面直线所成角为，则， 由，得，则， 则，又，则，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 【解析】若焦点在轴上，由椭圆定义得，解得，满足要求， 若焦点在轴上，，不合题意， 综上，. 13. 甲、乙、丙三名老师和A、B、C、D、E五名学生到三个不同的社团进行数学活动，每个社团必须有一名老师、至少安排一名学生，且A、B两名学生在同一社团，D、E两名学生不在同一社团，则不同的安排方法有________种. 【解析】先安排老师，甲、乙、丙三名老师到三个不同社团，安排方法有种； 再安排学生，学生的分组情况有3，1，1和2，2，1两种， 安排方法共有种，所以总的安排方法有种. 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【解析】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为且. （1）求； （2）求数列的前项的和. 【解析】（1）设公比为，由可得， 又，解得或， 由于为正项数列，所以，故； （2）由可得， ， 故 . 16. 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）记事件：会员男会员，：会员为女会员，事件：对服务质量满意， 则由题可知，，，， 所以； （2）由题设及（1）知：服从分布， ， ， 0 1 2 3 所以：. 17. 如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）三棱柱中，连接，由点在底面上的射影在上， 得平面平面，而平面平面， 平面，，则平面， 而平面，则， 由，得平行四边形菱形，则， 又平面， 因此平面，而平面，所以； （2）在菱形中，，则是正三角形， 取中点，连接， 则，而平面平面， 而平面平面，平面， 则平面，而平面，则， 过作于，连接， 由平面，得平面， 又平面， 因此，是二面角的平面角， 令，则，，， 在中，，， 在中，， 所以二面角的余弦值是. 18. 已知函数，，． （1）求曲线过点的切线方程； （2）求函数的最大值； （3）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）设：切点坐标为，，对函数求导得：， 所以切线斜率为：．又因为切线过点， 所以．解得， 所以切线方程为：． （2）令， 对函数求导得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为. （3）由题设得：存在，使得对任意， 都有成立，等价于， 对函数求导得：， ①当时，令,则， 所以函数在区间上单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为， 所以，符合题意． ②时，令，即，解得：， 当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意； ③当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意； ④当，即时，函数在上单调递增． 在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意； ⑤当，即时．函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得最大值，最大值为， 所以，即． 综上所述，实数的取值范围是：． 19. 已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点（不同于，），记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标（用表示）； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意，可得点在椭圆上，且椭圆的离心率， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设点，因为点在椭圆上，所以，即. 同理，设点，则，且， 又因为直线过原点，所以关于原点对称，所以点， 所以，可得， 联立方程组，整理得， 解得或， 用代替上述坐标中， 可得或，其中. （3）由（1）知，左焦点， 当直线斜率为零时，不妨设，， 则，，可得，， 存在，使成立； 当直线的斜率不为零时，设直线方程为，且，， 联立方程组，整理得， 可得，所以，， 则， ， 因为，， 所以，所以， 又因为， 所以当时，最小，最小值为3， 综上，存在，使恒成立，此时的最小值为3. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年下学期期末模拟 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一、二、三册. 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.21 B. 0.29 C. 0.71 D. 0.79 3. 若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 4. 若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 5. 设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 10 7. 已知是双曲线：的左焦点，直线过且与的一条渐近线平行，与交于点，若（为原点），则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( ) A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 点到平面距离的最小值为 D. 异面直线，所成角的取值范围是 第II卷（选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于______. 13. 甲、乙、丙三名老师和A、B、C、D、E五名学生到三个不同的社团进行数学活动，每个社团必须有一名老师、至少安排一名学生，且A、B两名学生在同一社团，D、E两名学生不在同一社团，则不同的安排方法有________种. 14. 若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知正项等比数列的前项和为且. （1）求； （2）求数列的前项的和. 16. 会员足够多的某知名咖啡店，男会员占60％，女会员占40％．现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为． （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为，求的分布列和数学期望． 17. 如图，三棱柱中，，点在底面上的射影在上． （1）求证：； （2）当时，求二面角的余弦值． 18. 已知函数，，． （1）求曲线过点的切线方程； （2）求函数的最大值； （3）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点（不同于，），记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标（用表示）； （3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. ( 第 1 页 共 15 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$