第六章平面向量练习题-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量 一、单选题 1. 已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于(　　) A. B. C. D. 2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 3．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则(　　) A． B．2 C． D． 4. 已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则 的最小值为(　　) A．不存在最小值 B． C．4 D． 二、多选题 5. 给出下列命题，其中正确的选项有(　　) A. 已知，，则 B. 若非零向量满足，则 C. 若 G是△的重心，则点 G满足条件 D. 若△是等边三角形，则 6. 已知平面向量，，都是单位向量，且，则的值可能为(　　) A. 0 B. 1 C. D. 2 7．下列说法中错误的是(　　) A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件 B．若都是非零向量，且，则 C．若单位向量满足，则 D．若为三角形外心，且，则为三角形的垂心 三、填空题 8.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为_______用坐标表示 9. 如图，中点是线段BC上两个动点，且，则的最小值为__________. 10. 如下图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD 上运动，则的最小值为__________. (第9题图) (第10题图) 四、解答题 11. 在△中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点 求BC； 求的值． 12．如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且. (1)若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示； (2)求的取值范围. 平面向量参考答案 1、 单选题 1.已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于(    ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由，得， 所以，则向量，夹角的大小为 故选： 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】设， 则，，， 令， 即， 即，解得. 故选 3．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 4．已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（    ） A．不存在最小值 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 2、 多选题 5.给出下列命题，其中正确的选项有(    ) A. 已知，，则 B. 若非零向量满足，则 C. 若 G是△的重心，则点 G满足条件 D. 若△是等边三角形，则 【答案】BC  【解析】已知，，则，故A错误； ，两边都平方可得：，则，即，故B正确； 如图： 已知G是的重心，则G是的三边中线的交点，设D为BC的中点， ， 又，，故C正确； 若是等边三角形，则，故D错误； 所以本题选 6.已知平面向量，，都是单位向量，且，则的值可能为.(    ) A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】ABD  【分析】本题主要考查向量的运算，以及与不等式的综合．考查了转化思想，整体思想，不等式的运算，向量的夹角，以及逻辑推理能力和数学运算能力．属于中档题． 本题先根据题干已知条件计算出，再根据向量的运算法则计算得到，，然后根据根据两向量夹角的取值范围为， 进行不等式的推导运算可得其取值范围，然后结合选项即可得到答案． 解：由题意，可知：²²²，则， 所以 ，， ，，，， ，， ， ，1，2均在取值范围内，属于可能的值. 故选： 7．下列说法中错误的是（    ） A．若都是非零向量，则“”是“与共线”的充要条件 B．若都是非零向量，且，则 C．若单位向量满足，则 D．若为三角形外心，且，则为三角形的垂心 【答案】AC 【分析】对于A，只需通过举反例说明由“与共线”推不出“”即可；对于B，将等式两边平方，化简即得；对于C，通过题设移项后平方分别求出和即得；对于D，由题设分解向量推得，即得点为边的中点，推出即得. 【详解】于A项，由与共线，可取，则， 因，故，故A项错误； 对于B项，由两边平方，展开得， 化简得：，即，故B项正确； 对于C项，由可得：， 两边平方，， 因是单位向量，则，解得， 又由可得：， 两边平方，， 因是单位向量，则，解得， 则，故C项错误；    对于D项，如图，因， 故由可得：， 故得点为边的中点，即三角形的外心为的中点， 即，故得，即为三角形的垂心，故D项正确. 故选：AC. 3、 填空题 8.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为_______用坐标表示 【答案】 【解析】向量在向量上的投影向量是 9.如图，中点是线段BC上两个动点，且，则的最小值为__________. 【答案】8  【分析】本题考查了向量的共线定理的应用与基本不等式常见题型应用，属于中档题. 设，，由B，D，E，C共线可得，再利用乘“1”法求解最值.由向量共线定理推论得到是解题关键，化“1”法求解最值是基本不等式求最值常用方法. 解：设，， 因为B、C、D三点共线，所以， 因为B、C、E三点共线，所以 ， 则， 点D，E是线段BC上两个动点，， ， 当时，等号成立.则的最小值为 故答案为： 10.如下图，在矩形ABCD中，，，，M为BC的中点，若点P在线段BD上运动，则的最小值为__________. 【答案】  【分析】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，考查向量共线的充要条件，考查二次函数的单调性，考查数学运算的核心素养，属于中档题． 设，其中，则，展开计算即可. 解：因为点 P 在线段 BD 上运动，设，其中， ， ， ， 所以 ， 结合二次函数的图象及性质可得，当时，取得最小值 故答案为：  4、 解答题 11.在△中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点 求BC； 求的值． 【解析】因为，，， 所以由余弦定理得， ； ， ， ， ， 则 ，   12．如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且.    (1)若，是边的中点，是边靠近的四等分点，用向量表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解即可. （2）首先设，，得到，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）如图所示：    ， ； （2）因为， 设，，则， 所以 ， ∵，故的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$