第八章立体几何综合练习题-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何综合问题 一、单选题 1．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于(　　) A． B． C． D．无法确定 2．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题： ①异面直线与直线所成角的大小为定值； ②二面角的大小为定值； ③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为； ④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行． 其中真命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列结论中正确的有(　　) ①平面； ②平面； ③直线与所成角的余弦值为； ④平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为(　　) A． B． C． D． 二、多选题 5．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为(　　) A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 6．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是(　　) A．，M，O三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．直线和直线是共面直线 7．在四面体中，，，二面角的大小为，在侧面诸边及内部有一动点，满足点到直线的距离等于点到平面的距离，则(　　) A．点到直线的距离等于点到直线的距离 B．点的轨迹为一段圆弧 C． D．点的轨迹长为 三、填空题 8．已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为，，则的值为 ． 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是 (把所有正确结论序号都填上). ①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B1D1//平面EFG； ③四面体ACB1D1的体积等于a3； ④BD1⊥平面ACB1； ⑤二面角D1－AC－D平面角的正切值为. 10．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为 . 四、解答题 11．如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 12．如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. (1)求证：； (2)求异面直线与BE的距离； (3)求平面与平面所成锐二面角的余 弦值. 立体几何综合问题 一、单选题 1．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理确定截面的形状，再利用三角形相似的性质求截面的周长. 【详解】设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，， 故四边形为平行四边形， 所以，. 因为， 所以，， 所以四边形的周长为. 故选：A. 2．如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题： ①异面直线与直线所成角的大小为定值； ②二面角的大小为定值； ③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为； ④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行． 其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误. 【详解】解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面, 故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确； 对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确； 对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小. 由题可知，,, ， 则，， 故,又， 故的最小值为，故③正确. 对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理, 故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为， 则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误. 故选：C. 3．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则下列结论中正确的有（    ） （1）平面； （2）平面； （3）直线与所成角的余弦值为； （4）平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对A，取的中点，连接，证明平面，即平面，可判断A；对B，若平面，则，结合，可判断B；对C， 根据，故判断C；对D，连接，分别求出两部分的体积即可判断D. 【详解】 对A，取的中点，连接，则，即，，，四点共面，即为， 因为，平面，平面，所以平面，即平面，故A正确； 对B：由，若平面．则必有，即四边形为平行四边形，则，因为，，所以矛盾，故B错误； 对C：与所成角，即与所成角，即与所成角，由底面得．则，故C正确； 对D：连接，由A知截面就是平面，下半部分分为四棱锥和三棱锥. ，， 由底面得，又，，平面，所以平面，即平面. 所以，即下半部分体积为. 所以上半部分体积与下半部分体积之比为，故D正确． 因此正确的结论有3个. 故选：C． 4．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，当平面平面时，此时的体积取得最大值，且为的外心，过点作平面的垂线，设存在点点，使得，利用球的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，三棱锥的底面的面积为定值，当平面平面时，此时点到底面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值， 因为四边形为菱形，且，连接交与点， 可得，所以为的外心， 过点作平面的垂线，可得上点到三点的距离相等， 设存在点点，使得，即点为三棱锥的外接球的球心， 设，可得， 即，解得， 所以外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解. 二、多选题 5．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（    ） A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．到面的距离为 D．作平面，垂足为，则为的重心 【答案】BD 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，可得为直线与平面所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得平面，即得为二面角的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项. 【详解】解：因为，，两两互相垂直，，平面， 故为直线与平面所成的角，又，所以， 故直线与平面所成的角为，故A错误； 取中点为，连接， 因为，，，两两互相垂直，所以， 因为，所以平面，故为二面角的平面角， 则，故二面角的正切值为，故B项正确； 因为，所以，设到面的距离为， 则，解得，故C项错误； 因为，故为等边三角形， 因为平面，则点为点在平面上的投影，又， 即点到顶点的距离相等，即点到顶点的距离相等， 故为的重心，故D项正确. 故选：BD. 6．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．，M，O三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角的为 D．直线和直线是共面直线 【答案】ABC 【分析】根据正方体的特性，依次分析各项正误. 【详解】由正方体的特性可知，为正方体的体对角线，平面，平面平面于，又交平面于点，故点在上，故A项正确； 由正方体的特性可知，平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故B项正确； 设正方体的边长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，C项正确； 直线与直线为异面直线，故D项错误. 故选：ABC. 7．在四面体中，，，二面角的大小为，在侧面诸边及内部有一动点，满足点到直线的距离等于点到平面的距离，则（    ） A．点到直线的距离等于点到直线的距离 B．点的轨迹为一段圆弧 C． D．点的轨迹长为 【答案】CD 【分析】过点作的垂线，垂足为，作平面的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接．可得，所以，即可判断A、B的正误； 在中，根据余弦定理，求得AC长度，即可判断C的正误；根据余弦定理求得，进而可得各个边长，即可求得，即可得答案. 【详解】因为，所以，， 过点作的垂线，垂足为，作平面的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，连接． 因为二面角的大小为，所以，所以， 因为，所以，所以点的轨迹是一端点为点，一端点在上的线段， 所以A、选项不正确． 在中，因为，所以，所以C选项正确． 在中， 当点在上时，． 易得，所以，， 所以， 所以点的轨迹长为，所以D选项正确． 故选：CD 【点睛】解题的关键是熟练掌握二面角、点到线和点到面的距离等知识，并灵活应用，考查空间立体感，推理证明的能力，属中档题. 三、填空题 8．已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为，由题意画出圆锥轴截面图，进而可得、圆锥高，即可得解. 【详解】设圆锥底面半径为，圆锥的内切球半径为， 由题意知，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，球的大圆为该正三角形的内切圆，如图， ，圆锥高， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及其内切圆相关问题的求解，属于基础题. 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，则下列结论中，正确结论的序号是 (把所有正确结论序号都填上). ①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B1D1//平面EFG；③四面体ACB1D1的体积等于a3；④BD1⊥平面ACB1；⑤二面角D1－AC－D平面角的正切值为. 【答案】①④ 【分析】根据平面的基本性质，可判定①正确；根据线面位置关系，可判定②不正确；根据正方体的体积减去四个三棱锥的体积，可判定③不正确；根据线面垂直的判定定理，可判定④正确；根据二面角的平面角的求法，可判定⑤不正确. 【详解】如图所示，延长分别与的延长线交于点，连接交于， 设与的延长线交于点，连接交于，交于， 连接，则截面六边形为正六边形，故①正确； 由与相交，所以和平面相交，所以②不正确； 四面体的体积等于正方体的体积减去四个三棱锥的体积， 即，所以③不正确； 因为，且与相交，所以平面，故④正确； 又由平面，所以二面角的平面角为， 所以，所以⑤不正确. 故选：①④. 【点睛】解答此类问题常见的误区： 1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误； 2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解； 3、对面面平行性质定理理解不深导致错解. 10．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，，，则三棱锥的外接球体积为 . 【答案】 【分析】先由题中条件，作出示意图，在中，用余弦定理求得，用勾股定理证得为直角三角形，再由平面平面，为等边三角形，证得平面，得到三棱锥的外接球的球心必在直线上，再由，求得外接球半径，得到外接球体积. 【详解】解析：作出图形如图所示， 在中，由余弦定理，， 解得，或（，舍）， 又由，，则，故为直角三角形， 设的中点为，因为为等边三角形，故，又平面平面， 故平面， 又为直角三角形，点为斜边的中点， 则球心必在直线上，易知， 故在之间，设，则， 即，解得，故所求球半径，球的体积为. 故答案为： . 【点睛】本题考查了面面垂直的性质，三棱锥的外接球半径的求法，属于中档题. 四、解答题 11．如图1，菱形中，，，于E，将沿翻折到，使，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点F，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法及棱锥的体积公式计算即可. （2）设线段的中点为，线段的中点为，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明平面，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题可知在菱形中，，，， 故， 所以在四棱锥中，， 又，所以平面，且， 连接，因为则, 所以. 故棱锥的体积为. （2）解：设线段的中点为，线段的中点为，连接， 因为点为的中点，点为的中点， 所以， 又由（1）得，， 所以， 所以四边形为平行四边形，故, 又平面，平面， 所以平面，此时点为的中点， 故. 12．如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示. (1)求证：； (2)求异面直线与BE的距离； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在图1中，连接CE，证明，，可证平面，即可得证； （2）过作的垂线OM，交于M，则OM即异面直线与BE的距离，求出即可的解； （3）在图2中延长BE，CD，设，连接AG，则是平面与平面的交线，由面面垂直得性质可得平面，即可得，作，垂足为H，连接CH，证得，则即为平面与平面所成锐二面角的平面角，从而可得出答案. 【详解】（1）证明：在图1中，连接CE，易求. ∴四边形ABCE为菱形.连接AC交BE于点O，则. ∴在图2中，，.又于O， ∴平面. 又平面，∴； （2）解：由勾股定理可得，∴. 过作的垂线OM，交于M， 则OM即异面直线与BE的距离， ； （3）解：在图2中延长BE，CD，设，连接AG. ∵平面，平面. 又平面，平面. ∴是平面与平面的交线， ∵平面平面BCDE，，平面平面， ∴平面，又平面，∴， 作，垂足为H，连接CH， 又，∴平面OCH，又平面OCH，∴. ∴即为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由（1）知，，为等边三角形， ∴，∵，∴，解得. 在中，，∴. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值. 试卷第14页，共17页 试卷第13页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$