第15讲 重难点专题拓展：二次函数综合之六种存在性问题（6知识点+6大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第15讲 重难点专题拓展：二次函数综合之六种存在性问题 （6知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况： （1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB． 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 知识点02：直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 知识点03：相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 知识点04：平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 知识点05：矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 知识点06：梯形存在性 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 【题型一：等腰三角形存在性】 【例1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2)是正方形，理由见解析； (3)、、、． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解； （2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 则点M的坐标为：， 当时，，即点， 则， 解得：（舍去）或， 则平移后的抛物线表达式为：； （2）解：四边形是正方形， 根据题意可得，，，， 记与交于点G，则， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：设，，， 可得，，， ①，，即， 解得，（舍去0）， ； ②，， 解得，， 或； ③，， 解得， ； 综上，点A的坐标是、、、． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键． 【变式1-1】（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则点在上，点D′代入的解析式，即可求解； （3）分情况讨论：当时，列出方程，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点B坐标是， 把代入，得， ∴点A坐标是， 将点A、B坐标代入，得， 解得． ∴抛物线的表达式是． （2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线， ∴， 作点D关于直线的对称点，交于点T，    ∵平分， ∴由轴对称的性质可得：， 过点D作x轴的平行线交于点H，连接， ∵，， ∴， 则， 则为等腰直角三角形， 由轴对称的性质可得：为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形，则点在上， 设点， 当，则， ∴， ∴， ∴点， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的表达， 将点代入上式得：， 解得：， 则点； （3）设点， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点，而， ∴，， ， 当时， 则， 解得：（舍去）或， 则抛物线的表达式为：； 当或时， 则或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即抛物线的表达式为：， 综上，抛物线的表达式为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键． 【变式1-2】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式1-3】（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 【答案】(1)，顶点坐标为：． (2)点E的坐标为； (3)直线的函数表达式为． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据成轴对称图形的特征进行求解、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）先求解抛物线与x轴交于，， 可得，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， 求解， 由翻折得， 再利用三角函数可得答案； （3）连接， 证明为等边三角形， 证明， 可得， 设与x轴相交于点K， 可得点K的坐标为．再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与x轴交于点B、． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴顶点坐标为：． （2）如图，令， 解得：，， ∵抛物线与x轴交于，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为， ， 由翻折得， 由勾股定理，得， ∴点F的坐标为，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）连接， ∵， ， 则为等边三角形， ∵，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， 设与x轴相交于点K， ∴． ∴点K的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握代入法求二次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定，轴对称的性质，代入法求一次函数解析式是解本题的关键． 【题型二：直角三角形存在性】 【例2】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点P的坐标是 (2)； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可； （2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可； 抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）由题意得：， ∴，抛物线的解析式为， ，顶点P的坐标是． （2）①设直线的解析式是， ∴， ∴， ∴直线的解析式是， 设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是， ∵点B平移后得到的点C在x轴上， ∴抛物线向上平移了3个单位， ∴，即， ∴此时抛物线的解析式是，即． ②抛物线，与y轴的交点是D（0，）， 如果，即轴不合题意， 如果， ∵，， ∴， ∴， ∴， 作轴，则， ∴， ∵， ， ∴， 解得（不合题意，舍去）或， ∴， 此时抛物线的解析式是，即． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 【变式2-2】（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式2-3】（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 (3)D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，由待定系数法求出解析式，根据点坐标表示线段长，或由线段长表示点坐标是解题关键． （1）根据待定系数法，把点和点代入函数解析式，即可求解； （2）根据抛物线函数解析式求出与轴交于点，顶点坐标，然后根据坐标系两点距离公式计算边长，由勾股定理的逆定理即可判定； （3）根据 先求出直线的解析式为，进而可得即．再由是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，进而用表示出、坐标，代入解析式求出值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为 （2） 是直角三角形，证明过程如下： 如图： ∵ ∴是抛物线与轴交点坐标为． 抛物线顶点坐标为 的长度：． 的长度：． 的长度：． 因此，是直角三角形，． （3）∵、 ∴，直线的解析式为 ∴， ∵抛物线的对称轴为，点是与对称轴的交点， ∴当时，，即． 是以为腰的等腰直角三角形，分两种情况讨论等腰直角三角形： 情况一：如图，（直角在M点）：，， ∴， ∴轴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设， 则：， 把，代入抛物线解析式得： ，解得 ， 对应． 情况二：如图，（直角在E点）：，， 过点作，同理可设： 则：， 把，代入抛物线解析式得：，解得 ，（不合题意舍去） 对应 ． 综上所述：点 的坐标为 或 ， 故答案为 D． 【题型三：相似三角形存在性】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求角的正弦值、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． ②存在 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ，   ，   ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； 第二种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①；② (3)存在，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该正方形的边长为； (3)存在，点坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合)、公式法解一元二次方程、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可； （）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可． 【详解】（1）解：将、、，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论： 当，即， 解得， 当，即， 解得， 作轴，垂足为， 当，，点坐标为； 当，，点坐标为； 综上所述：点坐标为或． 【题型四：平行四边形存在性】 【例4】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将点A，点B坐标，利用对称性可求抛物线的对称轴； （2）先求出直线解析式，可求点坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点坐标； （3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线解析式可得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：点，点， 直线解析式为， 当时，， 点， 点位于的中点， 点， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 联立方程组可得：， 解得：或（舍去）， 点，； （3）解：若为边， 以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， 点与点重合， ，， ，， ， ； 若为对角线， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 设点，则点， ， ， ， （舍去），， ； 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【变式4-1】已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、利用平行四边形的性质求解、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等： （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标； （2）先求出点A的坐标，设，，再分当为对角线时，当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点P的坐标为； （2）解：在中，当， 解得或， ∴， 设，， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 【变式4-2】（2022·上海·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为； （3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的对应的函数关系式为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴是直线， ∵轴，，即 ∴点D的坐标为； （3）解：①当，是等腰直角三角形时，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴． ∴． ∴点M的坐标为； ②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点E的坐标为或， ∵点E在抛物线上， ∴或 ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式4-3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 【题型五: 矩形、菱形、正方形存在性】 【例5-1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【答案】(1) (2)0或1 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、正方形性质理解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线与x轴相交于点C． ∴点， ∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）或， 综上所述，m的值为0或1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【例5-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)的值不变，且，理由见解析 (3)新抛物线的解析式为或． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）的值不变，且，先求得直线的解析式为，求得，，再用表示出，和的长，代入求解即可； （3）设平移后的解析式为，再设，，由四边形是菱形，则其对角线和相互平分，且，利用中点坐标公式和两点之间的距离公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点， ∴，又点的横坐标与纵坐标相等， ∴， ∴， 将代入得， 整理得， ∴或， 当时，，，此时和重合，不符合题意； ∴， ∵抛物线经过点， ∴，即， 解得， ∴，， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：的值不变，且，理由如下， 如图， ∵直线与与线段交于点（不与点、重合）， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设平移后的解析式为， ∵点在上，点在轴上， ∴设，， ∵四边形是菱形， ∴其对角线和相互平分，且， ∵，， ∴的中点为， 的中点为， ∴，， 解得， 将代入， 并整理得， ∴， 由两点之间的距离公式得， ， ∵， ∴， ∴，即， 当时，， 则， ∴， ∴； 当时， ， 则， ∴， ∴； 综上，新抛物线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 【例5-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式5-1】如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、正方形性质理解、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【变式5-2】（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点作于点，则，得到，即可求解； （3）由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和，列出方程组即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，则，即点， 由一次函数的表达式知，，即点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得：或，即点， 过点作于点， 由点、的坐标知，，， 则，     ∴， 则； （3）解：设点且，点， 由题意得，是菱形的对角线，则由中点坐标公式和得： ， 解得：， 则点的坐标为：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点问题、一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式5-2】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 【题型六：梯形的存在性】 【例6】已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1)y＝﹣x2+3x； (2)（0，4）； (3)（2，1）或（2，﹣1）． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、梯形、利用平行四边形的判定与性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标； （3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形． 【详解】（1）解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0）， ∴16a+12＝0， 解得a＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x； （2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3， ∴顶点D的坐标为（2，3）． ∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2， ∴B（4，2）． 设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入， 得 ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点A的坐标为（0，4）； （3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下： 设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3． 分两种情况： ①如图1所示， ∵DMBC， ∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝BC， ∴3﹣y＝2，解得y＝1， ∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形， 此时，∵OM＝ ，AD＝， ∴OM＝AD， 又∵AODM，AO≠DM， ∴四边形AOMD是等腰梯形； ②如图2所示，      ∵DMAO， ∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝AO， ∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1， ∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形， 此时，∵CM＝，BD＝， ∴CM＝BD， 又∵BCDM，BC≠DM， ∴四边形BCMD是等腰梯形． 综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点．点是轴上一点，且． (1)求点的坐标； (2)点是轴上一点，是上一点，且四边形是以为底的等腰梯形． ①求点的坐标： ②如果平面内存在一点，四边形是凸四边形，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为； (2)①点C的坐标为；②． 【知识点】高次方程和无理方程、反比例函数与几何综合 【分析】（1）先求得、两点的坐标，设点的坐标为，根据即，列式计算即可求解； （2）①设点D的坐标为，求得点C的坐标为，根据题意且，即，列式计算即可求解； ②设直线与直线和直线分别相交于点，当点E在线段（不包含）时，四边形是凸四边形，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则； 令，则，解得； ∴，， 设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：①设点D的坐标为，由题意得， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点C的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴且，即， ∴，即， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴， 点C的坐标为； ②设直线与直线和直线分别相交于点，如图， 当点E在线段（不包含）时，四边形是凸四边形， 同理，求得直线的解析式为， 当，，， ∴，， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次二次函数的综合，等腰梯形的性质，凸四边形的定义，高次方程的求解．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式6-2】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求角的正弦值 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先把抛物线的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标代入中可得抛物线的解析式为，据此可求出点P和点D的坐标，再表示出即可得到答案； ②可证明轴，即，则当四边形是直角梯形时，只有或，据此画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，， ∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； ②∵，， ∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 如图2-2所示，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式6-3】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 1．（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 【答案】(1)，直线 (2) (3)；、；的条件是错误的，理由见详解 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题等； （1）将点代入解析式，由对称轴公式，即可求解； （2）设，由，即可求解； （3）过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由，即可求解；能熟练利用待定系数法及二次函数性质、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 对称轴为直线； （2）解：如图， 当时，， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； （3）解：如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ； 答案的个数为个，没用的是、； 故答案为：；、； 的条件是错误的，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 2．（2024九年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①1；② 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的对称性求函数值、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）、代入即可得抛物线的解析式为； （2）①过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或（与重合，舍去），即可求出． 【详解】（1）解：、代入得：， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：①过作于，交轴于，如图：    当与重合时，，， 是等腰直角三角形， 和也是等腰直角三角形， ， ， 而抛物线的对称轴是轴， 到抛物线对称轴的距离是； ②过作于，如图：    设直线解析式为，将、代入得： ，解得， 直线为， 设，则， ， 当，时，， 将代入得： ， 解得或（与重合，舍去）， ，，， 当，时，， ，由可知， 此时、、重合，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标． 3．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 4．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A．B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t (1)求点A的坐标和抛物线的表达式; (2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标; (3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值． 【答案】(1) y=x-2x-3；(2) E(1，4)；(3)4 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】(1)依据抛物线的对称性可得到A、 B的坐标,利用抛物线的交点式可得到抛物线的解析式 (2)过点P作PF∥y轴,交x轴与点F,则△AEG∽△APF,从而可得到AF=6,然后可求得PF的长,从而可得到EG的长,故此可得到点E的坐标; (3)先证明∠ADO=∠CME,然后,再求得点C和点M的坐标,从而可得到tan∠ADO=1,于是可得到OD=AO=1,故此可得到AP的解析式,最后求得直线AP与抛物线的交点坐标即可 【详解】(1)∵AB=4,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1 ∴点A到对称轴的距离为2, ∴A(-1,0),B(3,0), ∴y=(x+1)(x-3)整理得:y=x-2x-3 (2)如下图所示:过点P作PF⊥z轴,垂足为F ∵EG∥PF,AE:EP=1:2 ∴ 又∵AG=2, ∴AF=6 ∴F(5,0) 当x=5时,y=12 ∴EG=4, ∴E(1，4) (3)∵CD∥EM ∴∠ADO=∠AEM. 又∵四边形CDEM是等腰梯形, ∴∠ADO=∠CME ∴y=x-2x-3 ∴C(0,-3),M(1,-4) ∴tan∠DAO=tan∠CME=1. ∴OA=OD=1. ∴直线AP的解析式为y=x+1. 把y=x+1代入y=x-2x-3得 x+1= x-2x-3 解得:x=4或x=-1(舍去) ∴点P的横坐标为4,即t=4. 【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线 5．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．    【答案】（1）；（2）；（3）0 【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质证明、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解； （2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解； （3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解． 【详解】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0）， 由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5， 连接BC，如下图， ∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，    ∵BC＝BC， ∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL）， 故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2， 设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝， 故点C的坐标为（0，）， 则抛物线的表达式为y＝x2+； （2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC， 由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝， 故直线CD的表达式为y＝x+②， 联立①②并解得，故点D的坐标为（，）， 如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF， 故DE＝yD＝， 则yF＝yC+DE＝， 故点F的坐标为（0，）； （3）∵点E是BO的中点，故点E（，0）， 由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③， 联立①③并解得，点D的坐标为（，）， 而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m）， ∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE， 即（﹣）2+（）2＝（）2+m2， 即9m2﹣36m＝0， 解得m＝4（舍去）或0， 故m＝0． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等． 6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）由的图像上存在不同的两点与，可得函数的对称轴为直线，由题意知，，则，计算求解即可； （2）由题意知，，由的图像经过原点，可得，即，可求，则，当时，，然后作答即可； （3）由（1）（2）可知，，，则，，可求，由的图像与轴的交点为点B，可求，由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；当为对角线时，则的中点为对称中心，则，当时，，此时不存在；当为边时，，，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键． 7．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： (3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）设顶点式，再代入原点坐标即可求解； （2）设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，构造，即可求解； （3）先求出直线的表达式为，设，则平移后的抛物线表达式为，与抛物线的联立求得，过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，可得，则，解得：，故，，由点的平移求得，再验证点在原抛物线上即可． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴设解析式为：， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结， ∵顶点为， ∴对称轴为直线，， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线的表达式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 设， ∴平移后的抛物线表达式为， 与抛物线的联立得：， 解得：， ∴， 过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H， ∴.， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵矩形，， ∴， ∴，， ∴， 将代入原抛物线解析式得：， ∴点Q在原抛物线上， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，函数图像的平移，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键在于构造相似三角形． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】(1)①；②点D的坐标为 (2) 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【详解】（1）解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （2）解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c 的图象与性质、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 12．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 13．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 重难点专题拓展：二次函数综合之六种存在性问题 （6知识点+6大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：等腰三角形存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况： （1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB． 但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 1、知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2） 2、解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 知识点02：直角三角形存在性 在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。 1、知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 知识点03：相似三角形的存在性 寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。 确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。 根据相似三角形的性质列方程求解： 导边处理：若已找到一组相等角，可根据 “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似” 这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。 导角处理：根据 “有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A = ∠D，则讨论∠B = ∠E 或∠B = ∠F 的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。 解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。 知识点04：平行四边形的存在性 1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类; 2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变 y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定) 3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解 常见设问:已知 A、B，求另外两点 C、D与A、B两点构成平行四边形 分类讨论: 当AB为边时，找AB平行且等于的 CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标; 当AB为对角线时，AB 的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解. 4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可 知识点05：矩形、菱形、正方形存在性 1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。 2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。 3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。 知识点06：梯形存在性 问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。 解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。 等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。 【题型一：等腰三角形存在性】 【例1】（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 【变式1-1】（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．    (1)求b、c的值； (2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标； (3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式． 【变式1-2】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式1-3】（2023·上海徐汇·二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、． (1)求抛物线的顶点M的坐标； (2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式． 【题型二：直角三角形存在性】 【例2】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧． 若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； 若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【变式2-3】（2025·上海闵行·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，联结交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)联结、，求证：是直角三角形； (3)点是线段上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，如果是以为腰的等腰直角三角形，点的坐标为________． A． B． C．    D．或 【题型三：相似三角形存在性】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【变式3-1】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【变式3-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-4】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形是正方形，求该正方形的边长； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型四：平行四边形存在性】 【例4】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，顶点为，对称轴分别交轴、于点、，点是射线上一动点，过点作的平行线交抛物线于点、（点位于对称轴的左侧），设点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于的中点时，求点M的坐标； (3)点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C、P、M、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【变式4-1】已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（2022·上海·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【变式4-3】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【题型五: 矩形、菱形、正方形存在性】 【例5-1】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【例5-2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点，且点的横坐标与纵坐标相等． (1)求该抛物线的表达式； (2)直线与抛物线交于点，与线段交于点（不与点、重合），那么的值是否随的变化而变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，试说明如何变化； (3)上下平移该抛物线，如果新抛物线上存在点，轴上存在点，使得四边形是菱形，求新抛物线的表达式． 【例5-3】（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【变式5-1】如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（2023·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点和点，与轴交于另一点．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)求的值； (3)点为抛物线上一点，点为平面内一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 【变式5-2】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【题型六：梯形的存在性】 【例6】已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点．点是轴上一点，且． (1)求点的坐标； (2)点是轴上一点，是上一点，且四边形是以为底的等腰梯形． ①求点的坐标： ②如果平面内存在一点，四边形是凸四边形，求的取值范围． 【变式6-2】（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【变式6-3】（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 1．（2025·上海普陀·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式和对称轴； (2)联结、，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标； (3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标． 小普和同学们对这道题展开讨论，首先确定了答案的个数为________，接着同学们各自解题，做出辅助线：过点P作对称轴的垂线，垂足为点H，作x轴的垂线，垂足为点G．你发现下列条件中，没用的是________（选择：A．抛物线解析式；B．点D坐标；C．；D．），最终计算出正确答案；同学们对这道题展开反思，发现D条件可能是错误的，你赞同吗？请说明理由． 2．（2024九年级下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过和．    (1)求这条抛物线的表达式； (2)已知点在第一象限，且在直线上，过作轴的垂线，垂足为点，在的左侧，以为斜边作等腰直角三角形， ①当点与点重合时，如图所示，求点到这条抛物线对称轴的距离； ②如果点在这条抛物线上，求点的坐标． 3．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 4．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+bx+c的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴交于A．B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是抛物线上位于第一象限的点,直线AP与y轴交于点D,与对称轴交于点E,设点P的横坐标为t (1)求点A的坐标和抛物线的表达式; (2)当AE:EP=1:2时,求点E的坐标; (3)记抛物线的顶点为M,与y轴的交点为C,当四边形CDEM是等腰梯形时,求t的值． 5．如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．    6．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2025·上海闵行·一模）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 8．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标： (3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由． 9．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 10．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； (2)若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 12．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 13．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$