专题1.5 平面上的距离（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题1.5 平面上的距离（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求平面两点间的距离】 2 【题型2 点到直线的距离问题】 3 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 4 【题型4 与距离有关的最值问题】 5 【题型5 直线关于点的对称问题】 9 【题型6 求点关于直线的对称点】 11 【题型7 直线关于直线的对称问题】 12 【题型8 光线反射问题】 14 【题型9 将军饮马问题】 17 知识点1 平面上的距离 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【解题思路】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设，则， 即， 所以. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【解题思路】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可． 【解答过程】由题意得，，解得， 所以，所以， 故选：B． 【变式1-3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【解答过程】直线过定点， 直线 ， 则，可得过定点， 所以. 故选：A. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线方程化为一般方程，然后直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】直线化为一般式方程为， 所以所求距离为. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【解答过程】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出点的坐标，然后根据点到直线的距离公式列式，将选项代入验证即可. 【解答过程】设到直线距离为的点的坐标为， 则由点到直线的距离公式得，解得或. 选项中符合条件的点为. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解. 【解答过程】根据题意，， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为. 故选：C. 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【解答过程】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为， 故选：C. 【变式3-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据两线平行的判定列方程求参数a，再由平行线的距离公式求. 【解答过程】由题设，可得，则直线为， 所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线平行求出的值，利用两平行直线间的距离公式可得结果. 【解答过程】∵，∴，解得， ∵直线可化为， ∴与之间的距离为. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【解题思路】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【解答过程】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【解答过程】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点． (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？ 【解题思路】（1）参变分离，令参数系数为0即可； （2）当时，点到直线的距离最大,用两点间距离公式计算即可. 【解答过程】（1）证明：将直线的方程整理得， 由，解得，所以直线恒过点． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率，所以，解得． 【变式4-3】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【解答过程】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 知识点2 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【解答过程】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【解答过程】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【解答过程】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【解题思路】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【解答过程】设的对称点坐标为， 则对称点与已知点连线的中点为， 由题意可得，解得． 所以对称点坐标为． 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【解答过程】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【解题思路】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【解答过程】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解答过程】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上， ， 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【解答过程】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解答过程】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A. 【题型8 光线反射问题】 【例8】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【解题思路】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解答过程】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 【变式8-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【解答过程】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 【题型9 将军饮马问题】 【例9】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【解答过程】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【解题思路】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【解题思路】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A． 【变式9-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【解题思路】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【解答过程】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 平面上的距离（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 求平面两点间的距离】 2 【题型2 点到直线的距离问题】 2 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 2 【题型4 与距离有关的最值问题】 3 【题型5 直线关于点的对称问题】 5 【题型6 求点关于直线的对称点】 6 【题型7 直线关于直线的对称问题】 6 【题型8 光线反射问题】 7 【题型9 将军饮马问题】 8 知识点1 平面上的距离 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【变式1-2】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【变式1-3】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）到直线的距离为的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（24-25高二上·吉林四平·阶段练习）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）两条平行直线和间的距离为，则a，d分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）若直线与平行，则与之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点． (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？ 【变式4-3】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 知识点2 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式5-1】（24-25高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 光线反射问题】 【例8】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【变式8-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【题型9 将军饮马问题】 【例9】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【变式9-2】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式9-3】（24-25高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $