专题1.5 全称量词与存在量词（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题1.5 全称量词与存在量词（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 2 【题型3 根据命题的真假求参数】 3 【题型4 全称量词命题的否定】 4 【题型5 存在量词命题的否定】 4 【题型6 命题否定的真假判断】 5 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 6 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 7 知识点1 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【变式1-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）将改写成全称命题，下列说法正确的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式2-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【变式2-3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）命题“所有六边形的内角和都是”的否定为（   ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 【变式4-3】（24-25高一上·云南文山·期中）设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·海南·阶段练习）若命题，使，则为（   ） A．，使 B．， C．，使 D．， 【变式5-3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，，则（    ） A．为真命题，且的否定是“，” B．为真命题，且的否定是“，” C．为假命题，且的否定是“，” D．为假命题，且的否定是“，” 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【变式6-1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 【变式6-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【变式7-2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式7-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【变式8-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【变式8-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【变式8-3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 全称量词与存在量词（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 2 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 3 【题型3 根据命题的真假求参数】 4 【题型4 全称量词命题的否定】 6 【题型5 存在量词命题的否定】 7 【题型6 命题否定的真假判断】 8 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 11 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 13 知识点1 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断】 【例1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【解题思路】根据全称量词的特征即可求解. 【解答过程】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【解题思路】根据存在量词命题的概念即可判断. 【解答过程】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）将改写成全称命题，下列说法正确的是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 【解题思路】由全称命题的结构即可求解. 【解答过程】解：将改写成全称命题为：，都有． 故选：A． 【变式1-3】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【解题思路】根据存在量词命题的定义求解即可. 【解答过程】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【例2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD. 【解答过程】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【解答过程】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 【变式2-3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【解题思路】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【解答过程】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 【题型3 根据命题的真假求参数】 【例3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【解答过程】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用判别式列不等式，从而求得的取值范围. 【解答过程】由于命题“，使”是假命题， 所以， 解得. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案． 【解答过程】由，得， ，， 则当时，取最小值2，所以， 命题，则，即， 若命题均为假命题，则且，即， ∴实数的取值范围为． 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【解答过程】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【题型4 全称量词命题的否定】 【例4】（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【解答过程】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知命题，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案. 【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题的否定为，. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）命题“所有六边形的内角和都是”的否定为（   ） A．存在一个六边形，它的内角和是 B．存在一个六边形，它的内角和不是 C．所有不是六边形的多边内角和都不是 D．所有六边形的内角和都不是 【解题思路】根据全称量词命题的否定的知识：“改量词，否结论”即可确定正确选项. 【解答过程】“所有六边形的内角和都是720°”的否定为“存在一个六边形，它的内角和不是”. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·云南文山·期中）设命题，则为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由全称命题的否定为特称命题可得答案； 【解答过程】由全称命题的否定为特称命题可得为. 故选：B. 【题型5 存在量词命题的否定】 【例5】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【解答过程】的否定为. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断. 【解答过程】命题“”的否定是“”. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·海南·阶段练习）若命题，使，则为（   ） A．，使 B．， C．，使 D．， 【解题思路】利用带量词的命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】因为命题，使，所以为“，”. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，，则（    ） A．为真命题，且的否定是“，” B．为真命题，且的否定是“，” C．为假命题，且的否定是“，” D．为假命题，且的否定是“，” 【解题思路】举例可判断为真命题，进而根据存在量词命题的否定求解即可. 【解答过程】当时，，所以为真命题， 根据存在量词命题的否定， 命题的否定是“，”. 故选：A. 知识点3 命题的否定与原命题的真假 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【题型6 命题否定的真假判断】 【例6】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【解题思路】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假； （2）写出原命题的否定，通过取特殊值，即可判断真假； （3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假； （4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假. 【解答过程】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题． （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为“，都有”， 因为当时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． 【变式6-1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【解题思路】（1）根据特称量词命题的否定为全量词命题写出其否定，再判断其真假； （2）（3）根据全称量词命题的否定为特称量词命题写出其否定，再判断其真假； 【解答过程】（1）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为当 ，，即命题，，为假命题； （2）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为恒成立，所以不存在使得， 故命题，，为假命题； （3）命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题； 因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题. 【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）写出这些命题的否定，并判断其否定命题的真假： (1)与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为； (3)存在一个实数，使. 【解题思路】（1）（2）由全称命题的否定为特称命题即可写出其否定，并直接判断真假； （3）由特称命题的否定为全称命题即可写出其否定，并直接判断真假. 【解答过程】（1），假命题. （2）存在一个三角形的三个内角不都为，真命题. （3），，假命题. 【变式6-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假． 【解答过程】（1）全称命题的否定是特称命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题； （2）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题； （3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形， 即任意直角三角形都是等腰三角形，例如边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命题的否定是假命题； （4）全称命题的否定是特称命题， 的否定是：， 由于，因此，不可能为，因此原命题的否定为假命题； （5）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，由平方的定义知只有或时才有，因此原命题的否定是假命题． 【题型7 根据命题否定的真假求参数】 【例7】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮北·期中）已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 【变式7-2】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意得是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【解答过程】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则， 因为命题是命题的充分不必要条件，所以⫋或 则有，所以实数的取值范围是. 【变式7-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内. (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围. 【解题思路】（1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围； （2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由解得， 所以，解得， 因为命题是真命题，则命题是假命题， 所以或. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，命题是真命题，即， 若为真命题，即关于的方程有实数根， 因此，解得， 则为假命题时，. 当真假时，则，解得； 当假真时，则，解得. 综上，和中恰有一个是真命题时，的取值范围为. 【题型8 全称量词、存在量词问题与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 【变式8-1】（24-25高一上·重庆·期中）已知命题，当命题为假命题时，实数的取值集合为. (1)求集合； (2)设非空集合，若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）写出，再由，即可求出集合； （2）由子集的包含关系列不等式组，即可求出实数的取值范围. 【解答过程】（1）解：为真， 所以，所以，即集合 （2）因为集合非空，所以 因为，所以 所以. 所以实数的取值范围为. 【变式8-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． （2）①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 【变式8-3】（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$