考点01集合 讲义——2026届高三数学一轮复习

考点01  集合 考法一 离散元素集合的运算 【十年真题*精选】 真题1-1（2025·全国一卷·高考真题） 1．设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 真题1-2（2025·全国二卷·高考真题） 2．已知集合则（   ） A． B． C． D． 真题1-3（2025·天津·高考真题） 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1（2025·河北邯郸·模拟预测） 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 模拟1-2（2024·四川绵阳·模拟预测） 5．已知集合，，，则为（    ） A． B． C． D． 模拟1-3（2024·北京通州·二模） 6．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 考法二 与不等式相关集合的运算 【十年真题*精选】 真题2-1（2025·北京·高考真题） 7．集合，则（   ） A． B． C． D． 真题2-2（2024·北京·高考真题） 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 真题2-3（2025·上海·高考真题） 9．已知全集，集合，则 ． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1（2024·陕西西安·模拟预测） 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 模拟2-2（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测） 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 模拟2-3（2025·贵州黔南·模拟预测） 12．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 考法三 元素与集合、集合与集合的关系 【十年真题*精选】 真题3-1（2022·全国·乙卷高考真题） 13．设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 真题3-2（2021年全国乙卷·高考真题） 14．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1（2024上·四川·高三校联考期末） 15．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 模拟3-2（2024·湖南长沙·统考一模） 16．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 模拟3-3（2024·河南郑州·二模） 17．已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 考法四 根据集合的包含关系求参数 【十年真题*精选】 真题4-1（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题） 18．设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 真题4-2（2020全国新Ⅰ卷·高考真题） 19．已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1（2025高三·全国·专题练习） 20．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 模拟4-2（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测） 21．已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 模拟4-3（2025·山西·三模） 22．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考法五 元素、集合个数问题 【十年真题*精选】 真题5-1（2020·全国高考真题（理）） 23．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 真题5-2（2020·全国·高考真题（文）） 24．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1（2024上·河南·高三校联考期末） 25．已知集合，，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 模拟5-2（2025·江西·三模） 26．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 模拟5-3（2025·辽宁·模拟预测） 27．已知复数，若集合，则的子集个数是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 考法六 利用集合的运算求参数 【十年真题*精选】 真题6-1（2021·江苏·高考真题） 28．已知集合，，若，则的值是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 真题6-2（2020·全国高考真题（理）） 29．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1（2024上·山东青岛·高三统考期末） 30．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模拟6-2（2025·陕西咸阳·模拟预测） 31．已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模拟6-3[山东潍坊2024期中] 32．已知集合，则满足的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 考法七 集合的应用问题 【十年真题*精选】 真题7-1（2020年新高考全国卷Ⅰ数学试题） 33．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ） A．62% B．56% C．46% D．42% 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1[四川雅安2024零诊] 34．设表示有限集合A中元素的个数.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模拟7-2. 35．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 模拟7-3. 36．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（    ） A．20人 B．17人 C．15人 D．12人 考法八 集合中的“新定义”问题 【十年真题*精选】 真题8-1（2020·浙江·统考高考真题） 37．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 真题8-2（2025·上海·高考真题（节选）） 38．已知函数的定义域为．对于正实数，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求的取值范围； 【三年模拟*荟萃】 模拟8-1（2025·湖北黄冈·模拟预测） 39．对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 模拟8-2（2024上·河南南阳·统考期末） 40．已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 模拟8-3（2024·辽宁·模拟预测） 41．若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 【考点预测*展望】 （根据集合运算求参数） 42．设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． （根据集合包含关系求参数） 43．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （抽象集合运算问题） 44．已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． （新颖的集合运算问题） 45．设A为数集的元子集，且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系．求的最大值． （集合的实际应用问题） 46．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 3．D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．C 【分析】求出集合，然后由交集运算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 5．C 【分析】根据并集和交集的定义直接运算即可求解. 【详解】由题得， 所以， 故选：C. 6．B 【分析】先求，再求即可. 【详解】由题意知，，则. 故选：B. 7．D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 8．C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 9．## 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 10．B 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 11．D 【分析】先解一元二次不等式求出集合，再求两集合的交集即可. 【详解】解不等式可得，即； 又，因此． 故选：D 12．C 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】因为集合， 则. 故选：C. 13．A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 14．C 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，，故， 因此，. 故选：C. 15．C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 16．C 【分析】化简集合，结合集合的子集概念即可得解. 【详解】由题意集合，，所以. 故选：C. 17．B 【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可. 【详解】由，，可得或 则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 18．B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 19．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 20．C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 21．A 【分析】求出集合，利用，求出的值即可. 【详解】结合题意：因为，结合复合函数的单调性可知:在单调递增， 所以，所以， 因为，所以. 故选:A. 22．A 【分析】根据，由此列出满足题意的不等式组，求解出m的取值范围. 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 23．C 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，中的元素满足，且， 由，得， 所以满足的有， 故中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 24．B 【分析】采用列举法列举出中元素的即可. 【详解】由题意，，故中元素的个数为3. 故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 25．B 【分析】先求出，结合的元素个数分析求解. 【详解】由题意可得，故的真子集的个数为． 故选：B． 26．C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 27．C 【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数的方程组求解，得到集合的元素；方法二：直接利用求根公式解方程得到集合的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根的个数.最后根式集合的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案. 【详解】方法一：由，复数， ，即， ，解得， 所以， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法二：，所以由求根公式得， 所以集合，含有两个元素，所以A的子集有个； 方法三：因为，∴有且仅有2个虚数根， 所以含有两个元素，所以A的子集有个. 故选：C. 28．B 【分析】根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可. 【详解】因为，若，经验证不满足题意； 若，经验证满足题意. 所以. 故选：B. 29．B 【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 【详解】求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 30．C 【分析】先求出集合，再由并集列出不等式即可解. 【详解】由已知，， 因为， 所以，即. 故选：C 31．D 【分析】先求出集合，再由列不等式可求得结果. 【详解】因为，，， 所以，或，解得，或. 故选：D. 32．B 【分析】由，得，则可得或，求出后，再根据集合中的元素具有互异性判断即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以或， 当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去， 当时，得或， 当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 综上，， 所以满足的实数的个数为1， 故选：B 33．C 【分析】由容斥原理即可得解.. 【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为. 故选：C. 34．C 【分析】根据和题干条件得到，从而得到答案. 【详解】因为， 又， 所以，故， 故则是的充要条件. 故选：C 35．A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 36．B 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 37．A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 38．(1)不是中的元素，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦函数的性质可直接得出答案. （2）方法一：首先判断分段函数的单调性，然后确定自变量的范围，最后列出关于的表达式即可求得的范围；方法二：作出函数的图象，然后确定函数图象与直线的两个交点的范围，而此时是两个交点的距离，从而求得其范围. 【详解】（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数图象有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得，. 39．ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 40．C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 41．960 【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解. 【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，    则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法， 剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法； 所以“有序子集列”共有个. 故答案为：960. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将集合问题转化为元素分配问题，先排重叠部分，再排剩余元素即可. 42．B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 43．C 【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解，注意集合元素的互异性． 【详解】根据题意得到， 由，得，解得且． 故实数的取值范围是. 故选：C. 44．CD 【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：可知，故A错误； 对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误； 对于选项C：可知为的真子集，故C正确； 对于选项D：因为为的真子集，且， 所以，故D正确； 故选：CD. 45．506 【分析】的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集，注意到1012的2倍是2024，于是集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系，从而可得结论. 【详解】由A中的任意两个数不互素可知存在素数P，A中的每个数均被P整除， 故在数集的元子集中使得任意两个数不互素的最大的子集是偶数子集． 共有1012个元素，而其中有的元素满足整除关系，注意到1012的2倍是2024． 于是，集合中，任意两个数既不互素又不存在整除关系， 此时A中有506个元素．若从中任取一数，则它与A中的某个数存在整除关系． 因此，506是的最大值． 46．ABD 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 集合（考点闯关晋级练） （2025北京高考真题） 1．集合，则（   ） A． B． C． D． （2025·河南·模拟预测） 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． （2023全国新Ⅰ卷高考真题） 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （2023·全国·统考高考真题） 4．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． （2024年全国甲卷·高考真题） 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． （2024年全国甲卷高考真题） 6．若集合，，则（    ） A． B． C． D． （2024·全国新Ⅰ卷高考真题） 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D． （2024·北京·高考真题） 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （2025·甘肃定西·模拟预测） 9．已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 （2025·辽宁·模拟预测） 10．已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2024·北京西城·三模） 11．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． （2024·山西太原·模拟预测） 12．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． （2025·江西·三模） 13．已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 （2024·河北衡水·模拟预测） 14．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． （2025·四川绵阳·模拟预测） 15．集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 （2025·山东临沂·三模） 16．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （2024·陕西安康·模拟预测） 17．已知集合，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．设集合，，若，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． （2024上·河南南阳·高三统考期末） 19．已知集合，，且，则实数n的值为（     ） A．0 B．1 C．0或 D． （2024·江苏扬州·模拟预测） 20．已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 （2025·河北秦皇岛·三模） 21．已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（    ） A．360个 B．640个 C．960个 D．1920个 （2025·河南·二模） 22．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2024·福建福州·模拟预测） 23．设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． （2024·福建三明·三模） 24．记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 . （2024·广东茂名·模拟预测） 25．已知集合，其中且，，若对任意的，都有，则称集合A具有性质． (1)集合具有性质，求m的最小值； (2)已知A具有性质，求证：； (3)已知A具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2．D 【分析】求出集合M，再根据并集概念计算. 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 3．C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 4．A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 5．D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 6．C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 7．A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 8．C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 9．D 【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案. 【详解】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 10．D 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得：， 因为 所以． 故选：D． 11．A 【分析】先解不等式求集合，再求并集即可. 【详解】由得到，故， 又，所以. 故选：A. 12．A 【分析】由，得到，再根据集合的运算得解. 【详解】易知，，由得，则， 所以，， 故选：A． 13．C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 14．C 【分析】化简集合，再根据集合的运算求解. 【详解】由或，得.又， 所以. 故选：C. 15．A 【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求. 【详解】因为， 所以则的子集有个， 故选：A. 16．A 【分析】化简集合A，B，根据交集概念求解即可. 【详解】，即，解得， 集合，又， 所以. 故选：A 17．B 【分析】先化简集合M，再根据集合交集运算和并集运算的定义即可得出的值，从而得解. 【详解】因为，，； 所以，又，所以，即， 所以， 故选：B. 18．ABD 【分析】解方程，分情况讨论集合与元素的关系. 【详解】因为， 所以或或， 所以或或， 故选：ABD． 19．C 【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解. 【详解】由题意，所以，而，即， 所以或，解得或满足题意. 故选：C. 20．C 【分析】联立与，看方程组的解的个数即可得解. 【详解】联立与，解得或， 所以，即中元素的个数为2. 故选：C. 21．C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列计数问题列式计算. 【详解】由，得从全集中选择3个元素分别作为中的元素，不同方法种数是， 余下的两个元素中的每一个元素只能是属于中的一个或都不属于这3个集合， 因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法， 所以所有的有序子集列有个. 故选：C 22．D 【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即，解得或， 所以或，因为且， 若时，若时，不符合题意，所以， 则或，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 23． 0 1012 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值. 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 24． 21 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 25．(1)20 (2)证明见解析 (3)8，理由见解析 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，，而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【详解】（1）不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为20；经检验符合题意. （2）由题设，，且， 所以，， 所以，得证. （3）由（2）知：， 同（2）证明得且． 故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，解得，矛盾； 当，则， 即. 经计算集合， 综上，集合A中元素个数的最大值为8． 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： 第一问，根据性质定义列不等式组求参数范围； 第二问，根据定义得为关键，并用累加法计算即可； 第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$