精品解析：江苏省江阴市2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年第二学年期中考试试卷 八年级数学 考试试卷：100分钟 试卷满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． C． 该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，注意：分式的实质是分母中含有字母． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A：，分母为常数3，不含字母，是整式． 选项B：，分母为常数5，不含字母，是整式． 选项C：，分母为字母，符合分式定义． 选项D：，分母为常数2，不含字母，是整式． 综上，只有选项C是分式． 故选：C 3. 校园里有一处假山，该校数学兴趣小组同学想知道假山脚A、B两点之间的距离，但线段的长度不便于直接测量，该小组想了个办法，示意图如图，先在假山旁无遮挡地面上确定点O，分别确定，的中点C，D，最后用卷尺量出，则A，B间距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，先根据点C，D分别是，的中点，得是的中位线，则，即可作答． 【详解】解：∵点C，D分别是，的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故选：D 4. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查2025年3月23日无锡马拉松参赛选手的报名成绩 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查和全面调查，抽样调查适用于总体数量大、全面调查困难或具有破坏性的情况，而全面调查适用于范围小、精确度要求高的对象，据此求解即可． 【详解】解：选项A：调查某校七年级一班学生的课余运动情况．班级人数有限，适合全面调查，无需抽样． 选项B：调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯．班级人数较少，全面调查更直接，无需抽样． 选项C：调查某种面包的合格率．面包生产量大，全面检测耗时且可能破坏产品，适合通过抽样推断整体合格率． 选项D：调查马拉松参赛选手的报名成绩．报名成绩由主办方完整记录，可直接全面调查，无需抽样． 综上，只有选项C符合抽样调查的适用条件． 故选：C． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B. 买彩票中奖 C. 守株待兔 D. 天崩地裂 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、根据热力学原理，当两个温度不同的物体接触时，热量必然从高温物体传向低温物体，直到温度相同，此过程是必然事件，本选项符合题意； B、买彩票中奖是随机事件，结果不确定，属于可能发生也可能不发生的情况，是随机事件，本选项不符合题意； C、“守株待兔”比喻不主动努力而侥幸获得成功，属于极小概率事件，并非必然事件，本选项不符合题意； D、“天崩地裂”形容自然灾害，属于偶发事件，并非必然事件，本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，点、、在正方形对角线上，四边，，均为矩形，它们的周长分别记为：、、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质，分别表示出、、，进而即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边，，均为矩形， ∴=AH+AI+HF+HI=AH+AI+HB+ID=AB+AD=2a， =EJ+EK+KC+CJ=BJ+DK+CJ+CK=BC+CD=2a， =GM+GL+CL+CM=DM+BL+CL+CM=BC+CD=2a， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，掌握正方形的对角线平分一组对角，是解题的关键． 7. 分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 变为原来的3倍 C. 变为原来的9倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案． 【详解】解：， ∴分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值变为原来的3倍， 故选：B． 8. 《红星照耀中国》是八年级语文必读书，某同学购置的一本共页，计划三周读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读页才能按时读完．假设该同学读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，建立分式方程即可． 【详解】解：设该同学读前一半时，平均每天读页， ∵前一半页数为页， ∴前一半阅读时间为天， ∵后一半平均每天要多读页才能按时读完， ∴即阅读速度为页/天， ∴后一半时间为天， ∵计划三周读完，即天， ∴， 故选：B． 9. 已知x2－4xy＋4y2＝0，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵x2-4xy+4y2=0， ∴（x-2y）2=0， ∴x=2y， ∴. 故选B． 10. 如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点；解题关键是构造旋转全等模型，得出是等边三角形． 将绕点逆时针旋转到如图所示位置，证明是等边三角形，从而求出，进而可得，由此得出是等边三角形，过点作，垂足为，求出，，从而可得点坐标为． 【详解】解：将绕点逆时针旋转到如图所示位置，旋转角为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵五边形的五条边相等，即：， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点坐标为， ∴， 过点作，垂足为， ∴，， ∴点坐标为， 故选D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当_____，分式的值为零． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分子为零即可求解． 【详解】依题意可得， 解得x=2 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查分式的值为零，解题的关键是熟知分式的值为零时的条件：分子为零，分母不为零． 12. 在平行四边形中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质得到，则，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ______ ． 【答案】6cm 【解析】 【分析】由平行四边形对边相等，根据周长可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长是30cm，即2（AB＋BC）＝30， 又AB＝BC， 解之可得AB＝6cm，BC＝9cm． 故答案为6cm． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题关键． 14. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到，计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，若，，则矩形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解矩形的性质，线段垂直平分线，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 设与交于点，连接，，根据线段垂直平分线的定义得，，进而证明和全等得，由此可得四边形是菱形，则，继而得，然后根据勾股定理求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：设与交于点，连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴矩形的周长为：， 故答案为：． 17. 在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①如图1所示，点F落在线段上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：①如图所示，点F落在线段上， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得 ∴四边形为正方形， 在中， ②如图所示，点F落在射线上， ∵， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 由①可知四边形为正方形， ∴． 在中， 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明四边形为正方形是解决问题的关键． 18. 伯渎桥堍的春晚舞台上有四位演员A、B、C、D如图呈正方形站位表演，在的延长线上有一个光源P射出一条等分正方形面积的光线交线段于点Q，若点P到点B的距离和正方形的边长都是整数，且，则正方形面积的最小值为 __________________． 【答案】81 【解析】 【分析】设,,由正方形的性质推出,由三角形的面积公式得到,由点P到点B的距离和正方形的边长都是整数，即可求出长的最小值，从而得到正方形面积的最小值．本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 【详解】解：连接，交于一点，即为点，如图所示： ∵， ∴设,, 则， 即， ∵在的延长线上有一个光源P射出一条等分正方形面积的光线交线段于点Q， ∴，过正方形的中心，即点O， ∵，， ∴， ∴， 则梯形的面积， ∴的面积的面积梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵点P到点B的距离和正方形的边长都是整数， ∴当时，则最小值，即长最小， 此时的面积最小， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 故答案为：81 三．解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据除以一个数等于乘上这个数的倒数，则原式，再进行化简，即可作答． （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴ 检验：当时，， ∴原方程的解为 【小问2详解】 解：． ， ， ， ， ， ∴， 检验：当时，， ∴原方程无解． 21. 化简：，并当时求该式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运用除法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ； 把代入，得． 22. 操作题：如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为、，，则旋转中心坐标为 ． （3）D在格点上，以A，B，C，D为顶点作平行四边形，则点D的坐标是 ． 【答案】（1） 如图：即为所求： （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点O对称的点，然后顺次连接即可画得； （2）分别作出点A、B、C绕某点逆时针旋转后的对应点，、，，再分别连接、、，分别作出它们的垂直平分线，其交点即为旋转中心； （3）在图形中找出相应的点D，然后结合图形写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 故旋转中心的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图： 故点D的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了作图−中心对称、旋转变换，平行四边形的判定，准确找到旋转中心是解题的关键． 23. 2025无锡马拉松吸引了四十多万名优秀选手报名参赛．赛后，有220000名选手并未立即离开无锡，记者在街头随机采访了部分选手，他们纷纷表示要在无锡游览几日．记者对大家的游览首选地进行了调查，有以下五个：A．惠山古镇；B．鼋头渚；C．灵山大佛；D．清名桥历史文化街区；E．央视影视基地．我校数学研究小组同学学生对记者的调查数据进行了统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机调查了 名选手； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）试估计全部选手中首选游览“清名桥历史文化街区”的人数． 【答案】（1）①400， ②补全条形统计图： ③ （2）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）①根据B的人数和所占的百分比，求出调查的总人数； ②用总人数减去其它景点的人数求出A、C的人数，从而补全统条形统计图； ③用乘C类所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数乘D所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：①（名）， 此次调查一共随机调查了400名选手 ②依题意，的人数为（名）， C的人数为（名）， ③ ∴扇形统计图中圆心角度， 故答案为： 【小问2详解】 解：依题意，（人）， 答：估计全部选手中首选游览“清名桥历史文化街区”的人数为人． 24. 如图，平行四边形，分别为、上的点，满足，分别连接，． （1）试说明四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，即可作答． （2）先根据四边形是矩形，得，运用勾股定理得，结合平行四边形的面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴四边形的面积． 25. 阳春三月，放风筝的好时节．有一种风筝只需要用两根互相垂直的竹条就能扎成，外观看去形成一个对角线互相垂直的四边形． （1）如图，有两个共顶点的正方形和正方形，顺次连接顶点．那么四边形的对角线互相垂直吗？请说明理由． （2）从数学的视角研究对角线互相垂直的四边形（如图），试写出两个它具有但其他四边形不具有的性质，并任选一个进行证明． 【答案】（1） ；理由如下： 设与相交于点，与相交于点，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的对角线互相垂直； （2） ，四边形的面积， 对角线互相垂直的四边形的两组对边的平方和相等；对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半（答案不唯一）. 已知：在四边形中，，如图所示： 求证：，四边形ABCD的面积， 证明：∵， ∴，，，都是直角三角形， 由勾股定理得：，，， ∴ ，， ∴， 即对角线互相垂直的四边形的两组对边的平方和相等； ∵， ∴，， ∴， 即四边形的面积． 即对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半． 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，垂线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （）设与相交于点，与相交于点，根据正方形性质得，，，进而得，由此可依据“”判定和全等，则，然后再根据三角形内角和定理可得出 ，继而即可得出答案； （）对角线互相垂直的四边形的两组对边的平方和相等；对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半（答案不唯一）；根据，由勾股定理得，，，据此即可得出，再根据三角形的面积公式得，，则，由此可得出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． （1）如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； （2）如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） （3）在上一问的图形中，若已知，，，请求出当最短时，的长． 【答案】（1）； （2） 如图，由（）知：， ∴， 作法：作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形； （3）的长为． 【解析】 【分析】（）连接，根据矩形的性质得到，，，求得，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到结论； （）由（）知：，根据题意作出图形即可； （）当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于， 在中， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即当的长最短时，的长为． 【点睛】本题主要考查新定义——四边形的内接菱形，基本作图——线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，垂线段最短，平行四边形、菱形和矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学年期中考试试卷 八年级数学 考试试卷：100分钟 试卷满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 校园里有一处假山，该校数学兴趣小组同学想知道假山脚A、B两点之间的距离，但线段的长度不便于直接测量，该小组想了个办法，示意图如图，先在假山旁无遮挡地面上确定点O，分别确定，的中点C，D，最后用卷尺量出，则A，B间距离是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合抽样调查的是（ ） A. 调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况 B. 调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯 C. 调查某种面包的合格率 D. 调查2025年3月23日无锡马拉松参赛选手的报名成绩 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 两个不同温度的物体靠在一起，发生热传递 B. 买彩票中奖 C. 守株待兔 D. 天崩地裂 6. 如图，点、、在正方形对角线上，四边，，均为矩形，它们的周长分别记为：、、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 变为原来的3倍 C. 变为原来的9倍 D. 不变 8. 《红星照耀中国》是八年级语文必读书，某同学购置的一本共页，计划三周读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读页才能按时读完．假设该同学读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知x2－4xy＋4y2＝0，则分式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 当_____，分式的值为零． 12. 在平行四边形中，，则______． 13. 平行四边形ABCD的周长为30 cm，AB：BC=2：3，则AB= ______ ． 14. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 15. 如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 16. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，若，，则矩形的周长为______． 17. 在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为________． 18. 伯渎桥堍的春晚舞台上有四位演员A、B、C、D如图呈正方形站位表演，在的延长线上有一个光源P射出一条等分正方形面积的光线交线段于点Q，若点P到点B的距离和正方形的边长都是整数，且，则正方形面积的最小值为 __________________． 三．解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 化简：，并当时求该式的值． 22. 操作题：如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）作出关于坐标原点O成中心对称的； （2）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为、，，则旋转中心坐标为 ． （3）D在格点上，以A，B，C，D为顶点作平行四边形，则点D的坐标是 ． 23. 2025无锡马拉松吸引了四十多万名优秀选手报名参赛．赛后，有220000名选手并未立即离开无锡，记者在街头随机采访了部分选手，他们纷纷表示要在无锡游览几日．记者对大家的游览首选地进行了调查，有以下五个：A．惠山古镇；B．鼋头渚；C．灵山大佛；D．清名桥历史文化街区；E．央视影视基地．我校数学研究小组同学学生对记者的调查数据进行了统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机调查了 名选手； ②补全条形统计图； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）试估计全部选手中首选游览“清名桥历史文化街区”的人数． 24. 如图，平行四边形，分别为、上的点，满足，分别连接，． （1）试说明四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，，，求四边形的面积． 25. 阳春三月，放风筝的好时节．有一种风筝只需要用两根互相垂直的竹条就能扎成，外观看去形成一个对角线互相垂直的四边形． （1）如图，有两个共顶点的正方形和正方形，顺次连接顶点．那么四边形的对角线互相垂直吗？请说明理由． （2）从数学的视角研究对角线互相垂直的四边形（如图），试写出两个它具有但其他四边形不具有的性质，并任选一个进行证明． 26. 如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． （1）如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； （2）如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） （3）在上一问的图形中，若已知，，，请求出当最短时，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $