精品解析：四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期6月自主测试数学试卷

高2024级高一下期自主测试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. C. D. 7. 向量与在上投影向量均为，，当最大时，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 16 8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（ ） A. 翻折过程中，存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数（，）的部分图象如图所示，图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在单调递减 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ） A. 平面DEF B. C. 球O的表面积为 D. 点F到平面DEM的距离为 11. 如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（ ） A. B. C. D. 的最小值为2. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：直线平面； （2）求二面角的大小． 16. 函数，其中向量，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，，，，求的值. 17. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 18. 如图，在正方体中，，是的中点. （1）求三棱锥体积； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由. 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2024级高一下期自主测试 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（是虚数单位）对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到复数在复平面内对应的点为，结合三角函数符号，即可求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为， 因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 的值等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得结果． 【详解】因为， 故选：C． 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得. 【详解】因为，所以，， 由得，， 则有，解得或， 因为，所以，即. 故选：C 5. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 6. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形．其中为正八边形的中心，若，点为正八边形边上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正八边形的结构特征，结合向量数量积的几何意义及线性运算逐项分析判断. 【详解】在正八边形中，线段被点平分，， ，在中，， 对于A，当点在线段上时，在上的投影向量的模最大，而， 因此的最大值为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，在中，， ，C错误； 对于D，，因此，D错误. 故选：A 7. 向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ） A. B. 6 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解. 【详解】设，，所以， 因为，所以，所以可设，， 与的夹角为， 若，， 则知，， 即，，， 则当最大时，最大，即最小，即此时， 当且仅当时成立. 故选：C 8. 如图所示，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得到，设，点分别为棱的中点，为线段上的动点，下列说法错误的是（ ） A. 在翻折过程中，存在某个位置使得 B. 若，则与平面所成角的正切值为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当时，的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可判断A，连接，证明平面，则即为与平面所成角的平面角，即可判断B，根据三棱锥体积公式，找底面面积和点到平面距离，当面面垂直时最大，算出体积最大值，判断C.把与沿展开到同一平面，用余弦定理算（即最小值），判断是否符合给定值,.判断D. 【详解】对于A，当平面与平面垂直时， ，平面与平面的交线为，平面, 平面，又平面， ，，故A正确； 对于B，连接， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为为的中点， 所以， 又平面， 所以平面， 则即为与平面所成角的平面角， 在中，，则， ， 所以， 即与平面所成角的正切值为，故B正确；    对于C，三棱锥的体积（为点到平面的距离）.  .  当平面平面时，最大，的最大值为，此时，所以三棱锥体积的最大值为，选项C正确.   对于D，当时，因为为的中点， 所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以， 所以， 如图将沿旋转，使其与在同一平面内， 则当三点共线时，最小， 即的最小值为， 在中，， 则， 所以， 所以的最小值为，故D错误.    故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数（，）的部分图象如图所示，图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在单调递减 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点M、N关于点C对称求出点坐标，结合图象求出可判断A；由求出，根据求出得到，再根据正弦函数的单调性可判断B；由可判断C；根据图象平移求出，再由奇偶性定义可判断D. 【详解】对于A，因为点M、N关于点C对称，所以，即， 可得，所以，故A错误； 对于B，，得，所以， 由得，因为， 所以，则，当时，， 因为在上单调递减，所以函数在单调递减，故B正确； 对于C，由，故C错误； 对于D，函数的图象向右平移后，得到函数， 因为，定义域关于原点对称，， 所以为奇函数，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点均在球O的球面上，，D，E，F，M分别为BC，AC，，的中点，且，则（ ） A. 平面DEF B. C. 球O的表面积为 D. 点F到平面DEM的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线性关系可得，结合平行公理、线面平行的判定定理即可判断A；取AB的中点N，由线面垂直判定定理可得平面MNCF，结合线线平行判断与的位置关系即可得判断B；结合正三棱柱的外接球的几何性质列方程求解球得半径，从而得面积即可判断C；结合三棱锥等体积法转化求解点F到平面DEM的距离即可. 【详解】如图， 因为D，E分别为BC，AC的中点，所以， 又，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，A正确； 取AB的中点N，连接MN， 则，连接CN，则， 又，CN，平面MNCF，所以平面MNCF， 因为平面MNCF，所以， 又，所以，B正确； 设，则，，， 因为，所以，即，解得， 所以，易得△ABC外接圆的半径为， 设正三棱柱外接球的半径为R，则， 所以其外接球的表面积为，C错误； 因为，，，DE，平面DEF，所以平面DEF， 由上可得，，，，， 所以，， 设点F到平面DEM的距离为h，由，得，所以， 即点F到平面DEM的距离为，D错误. 故选：AB. 11. 如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，，过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则（ ） A. B. C. D. 的最小值为2. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则计算可判断A，B，C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A，B，C，因，依题意，代入， 得，因为三点共线，且三点共线， 所以，得，所以A对，B错； 由可得， 故， 故C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， 由， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】 由平方关系求出，用两角和的正弦公式求得，再得，然后可得． 【详解】∵，∴， ， ∴， ∴， ． 故答案为：3． 【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得，这就要确定的范围．以确定余弦值的正负． 14. 折扇（图1）是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣.图2中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上（包括端点）运动，其中，分别是，的中点，则的范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合正弦函数的性质求出范围. 【详解】以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ， 因此 ， 而，则，， 所以的范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）求证：直线平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质及判定得出，由等腰三角形三线合一得出，即可证明； （2）由二面角定义分析出平面角即可求解． 【小问1详解】 因为四边形为正方形，所以， 又因为底面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，E为线段的中点，所以， 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 由正方形得，， 因为底面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 在中，，所以． 16. 函数，其中向量，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，，，，求的值. 【答案】（1）最大值1，最小值. （2） 【解析】 【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得数在区间上的最大值和最小值. （2）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角差的余弦公式求得的值. 【小问1详解】 ， ，，， 所以在区间上的最大值1，最小值. 【小问2详解】 ，， ，，， 由 17. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 【答案】（1）平方米 （2）方案一更优，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）结合题意图形，可得活动区域面积关于的表达式，然后利用三角函数恒等变换知识可得答案； （2）如图，设，由题意及图形可得活动区域面积关于的表达式，利用三角函数恒等变换知识算出面积，比较即可得答案. 【小问1详解】 由题可得， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ，又注意到. 则，则， 当且仅当时，活动区域面积最大为平方米； 【小问2详解】 如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G，则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分， 可得，设，则， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ， 又注意到.则， 则， 当且仅当时，活动区域面积最大为； 注意到，则，， 则选择方案1更好. 18. 如图，在正方体中，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得平面平面，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，为中点 【解析】 【分析】（1）用等体积法，将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，再按照锥体的体积公式计算即可； （2）取的中点为，证明，所以（或其补角）就是异面直线与的夹角，在中计算即可； （3）先假设在棱上存在中点，取的中点，证明得到，，再根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理，去证明平面平面，即可说明假设成立. 【小问1详解】 ， ， 三棱锥的体积为； 【小问2详解】 取的中点为，连接， 是的中点.，且 又是正方形，， 是平行四边形，， （或其补角）就是异面直线与夹角. 在中，， ， 异面直线与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设在棱上存在点，且为的中点， 取的中点，连接， 是正方体， ， 是平行四边形， 同理可证也是平行四边形， ，， 平面，平面， 平面. 又， 是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， 假设成立，在棱上存在中点，使得平面平面. 19. 三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点P满足条件时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为． （1）求证：； （2）若，是否存在常数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． （3）若，试判断的形状． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，； （3）正三角形. 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式推理得证. （2）利用余弦定理，结合（1）的结论及二倍角的正弦公式求解. （3）由（1）（2）的结论可得，再利用余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式及基本不等式推理判断即可得解. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 存在实数使等式成立．理由如下： 由（1）得，在中，由余弦定理得： ，， 三式相加整理得 ，所以时，存在实数使. 【小问3详解】 当时，由（1）得， 由（2）得，， 在中，由余弦定理得， 于是 ，当且仅当且时取等号， 由，得，则，， 即当且仅当且时取等号，亦即当且仅当为等边三角形时取等号， 因此，当且仅当为等边三角形时取等号， 而，所以为等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$