期末阶段复习解答压轴题专题训练-2024-2025学年苏科版七年级数学下册

期末阶段复习解答压轴题专题训练2024-2025学年苏科版七年级数学下册 1．（1）观察发现：材料：解方程组， 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为 _______________________； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）若，求的值； （4）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值__________________________________． 2．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解： ， ， ，， ，． (1)问题：若，求的值； (2)应用：已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是什么形状的三角形？ (3)拓展：求代数式的最小值． 3．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（如图2）以及完全平方公式：（如图3）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． (1)观察图4请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，则的值． 4．【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设， 所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则____________； （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，点D是边上的一点，在边上取一点C，使得，设．分别以为边在的外部作正方形、正方形，连结，若的面积为40，求正方形和正方形的面积和． 5．阅读材料： 定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为， 例如：，那么称2是100的劳格数，记为． 填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______； 直接写出______； 探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程 若a、b、m、n均为正数，且，， 根据劳格数的定义：，______， ∵ ∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n， ∴______，即， 请你把数学研究小组探究过程补全 拓展：根据上面的推理，你认为：______． 6．乘法公式的探究及应用．    【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________； 【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题： ①若，，求的值； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 7．【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差与完全平方公式就利用了数形结合的方法． 【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图，若将图1中的阴影部分四个全等的小正方形移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，请回答下列问题： （1）请写出图中所表示的数学等式______ ； 【解决问题】 （2）利用（1）中得到的结论，计算：若，求的值； 【拓展应用】 （3）将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子无盖，若长方体盒子的底面积为，表面积为，试求这个长方体的高． 8．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________图2________；（用字母a，b表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题 （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点C是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 9．阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与， 解：，∵，∴ (1)，求x的值 (2)[类比解答]比较，的大小． (3)[拓展拔高]比较，，的大小． 10．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． 上述操作能验证的公式是  　 ． 【类比探究】把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中B，C，G三点在同一直线上．若，求阴影部分的面积． 【拓展应用】根据前面的经验探究：若x满足，求的值． 11．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：，图2：： 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． (3)拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积．（用S，m表示）． 12．将四个长为，宽为的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 观察与发现： （1）请你观察图2直接写出之间的一个等量关系式； 运用与探究： （2）根据（1）的结论，解决下列问题：，求的值； 实践与拓展： （3）将两个正方形如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积． 13．【问题提出】当某一个多项式的平方用多项式表示时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 ，此时，，，发现： ，此时，，时，发现：； ，此时，，时，发现：______； 【问题解决】 当时，猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 若某个多项式的平方等于多项式加上一个含字母y的单项式，直接写出所有满足条件的单项式． 14．教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为___________． 【拓展应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则___________．． （2）若满足，求的值． 【学以致用】 （3）两块完全一样的直角三角板如图③放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）；（2）；（3）；（4）1；2；3 【分析】（1）（2）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可； （3）将所求式子变形，整体代入计算即可； （4）将方程组两式相加，得到，再根据，列出关于m的不等式，解之取正整数解即可． 【详解】解：（1）整理得：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以； （2）整理得：， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以； （3）∵， ∴ ； （4）， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． 2．(1)4 (2)等边三角形 (3)5 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质等知识． （1）将原式配方得，求出x，y的值，进而求解； （2）将原式配方得，求出，，的值进而求解； （3）利用配方法得，再根据非负数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴， ， ，， ， ； （2）解：， ． ，，， ， 是等边三角形； （3）解：， 又，， 代数式的最小值为5． 3．(1) (2) (3)1 【分析】本题考查了完全平方式的几何背景，以及完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征及变形是解题的关键． （1）利用等面积法求解即可． （2）由完全平方公式变形为：，代入数值求出结果即可． （3）利用，整体思想求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵ ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：1． 4．（1）328 ；（2）16 ；（3）164 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． （1）设，，从而可得，，根据求出结果； （2）设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； （3）根据已知可知，根据的面积为40，可得，设，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】解：（1）设，， 则，， ， ，                       （2）设，， 则， ∵， ， ， ， ， 解得：， ；                       （3）由题意得：． ∴． ∵的面积为40， ∴， ∴， 设， ∴， ，                             ∴ 答：正方形和正方形的面积和为164． 5．1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【分析】根据新定义法则进行运算即可． 【详解】解：∵如果，那么称a为n的劳格数，记为， ∴，那么称3是1000的劳格数，记为． ∴在算式中，1000相当于定义中的n，所以3；﹣8； ∵， ∴， ∵，， ∴＝pq， ∴这个算式中，pq相当于定义中的a， 相当于定义中的n， ∴＝＋， 即， 设，， ∴，， ∵， ∴＝a－b＝－， 即－． 故答案为：1000，3；﹣8；b，a＋b，，a＋b；－． 【点睛】此题考查了新定义问题，用到了幂的相关运算，解题的关键是理解新定义及其运算法则． 6．（1）；（2）①3；②9996；（3） 【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案； （2）①由（1）可知，进而代入相对于的值即可求解； ②将变形为，再应用平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式将每个括号变形，即可求出答案． 【详解】解：（1）大的正方形边长为，面积为，小正方形边长为，面积为， ∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积， ∴图1阴影部分面积， 图2阴影部分面积， ∵图1的阴影部分与图2面积相等， ∴， 故答案为：； （2）①∵，， 即：， ∴； ② ； （3） ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，灵活运用平方差公式是解题的关键． 7．（1）； （2）26； （3）这个长方体的高为 【分析】本题考查了完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：图中所表示的数学等式：， 故答案为：； 设，， ， ， ， ， 的值为26； 长方体盒子的表面积为， ， ， 长方体盒子的底面积为， ， ， 这个长方体的高， 这个长方体的高为 8．问题呈现：；．或；数学思考：（1）；（2）；拓展运用： 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1:；图2:； 故答案为：；； 数学思考： （1），， ， 的值为25； （2）设，， ， ， ， ， 的值为4050； 拓展运用：的面积， 理由：设，， ， ， ， ， 的面积 ． 9．(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可； （2）转化为同底数幂，比较指数即可； （3）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：， 即：， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴， 即：； （3）， ∵， ∴； ∴． 10．教材重现：；类比探究：120；拓展应用：31 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特点是解答此题的关键． 类比探究：表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； 教材重现：根据，得到，利用完全平方公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； 拓展应用：设，则，利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：教材重现：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； 类比探究： 如图3， ∵， ∴ ； 拓展应用： 设，则， ∴ ． 11．(1)的值为40； (2)的值为4050； (3)的面积为． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 的值为40； （2）解：设，， ， ， ， ， 的值为4050； （3）解：的面积， 理由：设，， ， ， ， ， 的面积 ． 12．（1）；（2）1；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； （2）解：∵， ∴； （3）解：设两个正方形边长分别为， ∴，． ∴． ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 13．问题探究：；问题解决：猜想，见解析；拓展运用：单项式为或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，完全平方式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据题意即可得到； （2）根据完全平方公式可得，则，，，据此可得结论； （3）分和为两平方项和为一次项，为平方项，两种情况根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：问题探究：由题意得：； 问题解决：猜想，理由如下： ∵， ∴， ，，， ； 拓展运用：当和为两平方项时，则一次项为； 当为一次项，为平方项时，则另一个平方项为； 综上所述，符合题意的单项式为或． 14．类比探究：；拓展应用：（1）；（2）；学以致用：（3）． 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． 类比探究：需通过观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． 拓展应用：(1)根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． 拓展应用：(2)把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． 学以致用：(3)设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：类比探究： 大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为， ， ∴阴影面积 ． 拓展应用： (1)由，，， ∴ ． (2)设，，则， ． ， ∴ ． 学以致用：(3)设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴，，， ． ∴一块直角三角板面积 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$