期末情境提升训练--2024-2025学年五年级下册数学期末训练（人教版）

情境提升训练--2024-2025学年五年级下册数学期末训练（人教版） 一、填空题 1．在括号里填上合适的单位。（乐乐的数学日记） 我家房子的面积约是90( )。客厅里有一桶容积是18( )的纯净水，够我家喝上两星期的呢！我的身高只有1.4( )，睡在面积是3( )的床上。我的写字台不大，上面放着一个体积为1( )的笔盒，笔盒的旁边是一瓶容积为60( )的黑墨水。在写字台旁还有一台体积是34( )的电脑。 2．小欣用3个小正方体积木摆了一个立体图形放在桌子上（如图），小欣的弟弟给它添了一个同样的积木，但小欣从上面看图形不变，弟弟有( )种添加方法。 3．暑假期间，小阳一家参观故宫。他们入住的酒店房间号由三个数字组成，第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数；后面两个数字代表房间顺序，它们是既是奇数又是质数的最大两位数。”小阳一家的房间号是( )。 4．哥德巴赫猜想被称作数学皇冠上的明珠，这个猜想是这样的：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和，我国著名数学家陈景润在这个猜想的基础上取得重大突破。他证明了：任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如12＝2×5＋2，40＝3×11＋7，国际上称它为“陈氏定理”。请将下面的偶数表示成几个质数的乘加算式： 48＝( )×( )＋( ) 32＝( )×( )＋( ) 5．猜一猜潘老师日记本的八位数字密码。（A－H从左到右依次顺序）A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是8的最大因数；D是10以内最大质数；E是最小的质数；F是10以内最大的合数；G是最小的奇数的2倍；H是10以内最大的偶数。潘老师日记本的八位数字密码是( )。 6．孔明灯相传是由三国时期的诸葛亮发明的，于是后世就称这种灯笼为“孔明灯”。小凯用铁丝做了一个长9厘米，宽9厘米，高36厘米的长方体孔明灯框架。再将它的表面糊上安全阻燃纸（如图，底面不糊纸），小凯至少要准备( )厘米的铁丝，( )平方厘米的安全阻燃纸。 7．孔明灯是一种古老的手工艺，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除个底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要( )平方分米的安全阻燃纸，这个灯笼的体积是( )立方分米。（纸的厚度忽略不计）    8．北京时间2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道3名航天员状态良好，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。资料上的数中，质数有（    ），3的倍数有（    ），5的倍数有（    ），既是2的倍数也是5的倍数的数有（    ）个，偶数个数是奇数个数的。 9．中国结是一种中国特有的手工编织工艺品，它代表着团结、吉祥、平安，深受人们的喜爱。用一根4米长的红绳正好可以编织5个完全相同的中国结，每个中国结用了这根红绳的，每个中国结用了米的红绳。 10．古代埃及是世界上四大文明古国之一。古埃及人使用分数的方式非常有趣，古埃及人的分数，除外，再也没有分数的分子大于1，即其他所有的分数都是以1为分子，以总数为分母，即单位分数。如：他们根据“”，即用“”来表示。再如：用“”来表示。请你用古埃及人的方法表示下面的分数。 （1）；（填两个不同的整数） （2）因为，所以古埃及人用“”表示。（填三个小于12的整数） 11．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称( )次才能保证找到这个轻一些的粽子。 12．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……这样取下去，永远也取不尽。第五天取的长度是这根木棒的。 二、选择题 13．下列说法中错误的是（    ）。 A．古代数学名著《九章算术》中，就给出了立体图形的体积计算公式。 B．“求一个水桶能装多少升水”就是求这个水桶的容积。 C．把3米长的绳子平均分成4份，每份长米。 D．两个自然数的乘积一定是合数。 14．实验小学为了提高学生的实践能力，专门开辟了一片种植园作为劳动实践基地（如图）。五（1）班在该基地的“彩虹田”种了许多蔬菜和水果，“彩虹田”的面积占该基地总面积的，乐乐通过观察，确定（    ）号地是“彩虹田”。 A．① B．② C．③ D．④ 15．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅变法”的重要物证商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 16．蝎子、蛇、蜈蚣、壁虎、蟾蜍多在五月出没，古代民间认为五月端午射五毒，射到五毒就会无病无灾，强身健体。五一班也组织了端午小游戏，投沙包射中代表五毒的图片就算成功。最终共有奇数名同学挑战成功，其中，男生组成功15人，女生组可能成功（    ）人。 A．11 B．14 C．15 D．17 17．红光小学鼓号队有31人，暑假期间有一个紧急演出，李老师需要尽快通知到每个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每个同学接到电话后又打给其它同学，同时李老师也在不停的打，要通知全体队员至少需要_____分钟才能通知到所有人。（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 三、解答题 18．先通分再计算。最后一题计算，并画图表示计算过程。            19．估算在数学学习中有很大的用处，估算可以帮助我们快速、准确的解决一些不需要紧缺计算的问题。比如：在解决“＋的结果比1大吗？”这个问题时， 丽丽这样想： 比大，因为＋＝，比1大，所以＋也比1大。 东东这样想： 分子比分母的一半大，和都比大，因为＋＝1，所以＋肯定比1大。 你能明白他们的做法吗？请你选择合适的方法解决：＋比3大吗？写出你的思考过程。 20．流程图能简单明了地表达流程，其直观性优于文字描述，常用于编程或数学运算。 （1）在流程图中输入，最后输出的结果应该是____________________。 （2）在流程图中输入一个数后输出了，输入的数是多少？请写出你的思考过程。 21．对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公因数的差，定义为a☆b，即a☆b＝[a，b]－（a，b）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公因数是2，那么10☆14＝70－2＝68。 （1）求12☆21的值； （2）已知6☆x＝27，求x的值。 22．学校放学时，小夏直接走路回家，行程情况统计如下图所示。 到家后，小夏倒了一杯纯牛奶，先喝了整杯的，再开始做语文作业，用了小时完成；休息了一会儿，他发现牛奶凉了，就兑满了热水，又喝了半杯后，开始写数学作业，结果比完成语文作业少用了小时。然后，他就愉快地出去玩了。 （1）小夏回家途中的休息时间占路上总时间的几分之几？ （2）在这整个过程中，小夏一共喝了多少杯纯牛奶？ 23．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 24．先阅读下面的学习材料，再按要求做。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫这个合数的质因数。 如：6＝2×3，15＝3×5。 利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因数和最小公倍数。 如：6和15的公有质因数是3，6独有的质因数是2，15独有的质因数是5。 （6，15）＝3 [6，15]＝3×2×5＝30 （1）用分解质因数的方法求出12和30的最大公因数和最小公倍数。 12＝（    ） 30＝（    ） 12和30的公有质因数有（    ），12独有的质因数是（    ），30独有的质因数是（    ）。 （12，30）＝               [12，30]＝ （2）如果a、b公有的质因数是2和3，a独有的质因数是3，b独有的质因数是2和2，则a＝（    ），b＝（    ）。 （3）根据上面的内容，写一写利用分解质因数的形式求最大公因数和最小公倍数的方法。 25．阅读材料，解答问题。 2023年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为32微克/立方米，二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、26微克/立方米和61微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数为271天，重污染天数为8天。 2024年，北京市空气中细颗粒物（PM2.5）年均浓度为30.5微克/立方米，连续4年稳定达标；二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）和可吸入颗粒物（PM10）年均浓度分别为3微克/立方米、24微克/立方米和54微克/立方米。这一年，北京市空气优良天数比上一年增加19天，重污染天数比上一年减少6天。这是有监测记录以来，优良天数最多的一年。 经过多年的努力，北京市大气污染治理成效显著，空气中主要污染物浓度呈现长期整体下降趋势，“北京蓝”逐步成为常态。 ①请把统计图补充完整。 ②2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的多少倍？（结果保留两位小数） ③2014~2024年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？ ④根据阅读材料，请你提出一个数学问题。 第8页，共9页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 《情境提升训练--2024-2025学年五年级下册数学期末训练（人教版）》参考答案 1． 平方米/m2 升/L 米/m 平方米/m2 立方分米/dm3 毫升/mL 立方分米/dm3 【分析】根据生活经验以及对长度单位、面积单位、体积单位、容积单位和数据大小的认识，结合实际情况选择合适的单位即可。 【详解】我家房子的面积约是90平方米。客厅里有一桶容积是18升的纯净水；我的身高只有1.4米，睡在面积是3平方米的床上；我的写字台上面放着一个体积为1立方分米的笔盒，笔盒的旁边是一瓶容积为60毫升的黑墨水；在写字台旁有一台体积是34立方分米的电脑。 【点睛】本题主要考查根据情境选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．3 【分析】分析题目，给出的立体图形从上面看到的是3个正方形，排成一排，据此可知，把这个小正方体添加在给出的任意一个正方体上面，从上面看到的图形都是不变的，据此解答。 【详解】 根据分析可知，给这3个小正方体任意一个上面添加一个同样的积木，从上面看到的图形都不变，即弟弟有3种添加方法。 小欣用3个小正方体积木摆了一个立体图形放在桌子上（如图），小欣的弟弟给它添了一个同样的积木，但小欣从上面看图形不变，弟弟有3种添加方法。 3．297 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。 【详解】第一个数字代表楼层，它既是质数又是偶数，即2； 后面两个数字代表房间顺序，它们是既是奇数又是质数的最大两位数，即97； 则小阳一家的房间号是297。 4． 5 7 13 3 7 11 【分析】根据质数的定义，除了1和它本身外，不再有其它因数的数叫质数，据此找出48和32表示成几个质数的乘加算式。 【详解】48＝5×7＋13 32＝3×7＋11（答案不唯一） 【点睛】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。 5．50872928 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；2的倍数叫做偶数，不是2的倍数叫做奇数；一个数的最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身；最小的自然数是0；最小的奇数是1；据此解答。 【详解】A是5的最小倍数，是5； B是最小的自然数，是0； C是8的最大因数，是8； D是10以内最大质数，是7； E是最小的质数，是2； F是10以内最大的合数，是9； G是最小的奇数的2倍，是2； H是10以内最大的偶数，是8。 潘老师日记本的八位数字密码是：50872928。 【点睛】掌握因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数的定义以及自然数的认识是解题的关键。 6． 216 1377 【分析】根据长方体的棱长和＝（a＋b＋h）×4，即可计算出长方体的棱长和，也就是需要多少厘米的铁丝；除了底面外，它的其它面都要糊上安全阻燃纸，也就是要求上面、左面、右面、前面、后面的面积和，一共五个面，据此可得孔明灯的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。 【详解】（9＋9＋36）×4 ＝（18＋36）×4 ＝54×4 ＝216（厘米） 9×9＋9×36×2＋9×36×2 ＝81＋324×2＋324×2 ＝81＋648＋648 ＝729＋648 ＝1377（平方厘米） 小凯至少要准备216厘米的铁丝，1377平方厘米的安全阻燃纸。 7． 45 27 【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出：棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用36÷12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。 【详解】36÷12＝3（分米） 3×3×5＝45（平方分米） 3×3×3＝27（立方分米） 所以至少需要45平方分米的安全阻燃纸，这个灯笼的体积是27立方分米。 【点睛】在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 8．5，31，3，29； 30，9，3； 5，30，10，475； 2； 【分析】质数：除了1和它本身没有别的因数的数；3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；个位是0的数既是2的倍数又是5的倍数，偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数；求偶数个数是奇数个数的几分之几就是用偶数的个数除以奇数的个数，据此解答。 【详解】质数有：5，31，3，29； 3的倍数有：30，9，3； 5的倍数有：5，30，10，475； 既是2的倍数也是5的倍数的数有：30，10，有2个； 奇数：2023，5，9，31，3，29，475，有7个； 偶数：30，10，有2个； 2÷7＝；偶数个数是奇数个数的。 北京时间2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道3名航天员状态良好，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。资料上的数中，质数有5，31，3，29，3的倍数有30，9，3，5的倍数有5，30，10，475，既是2的倍数也是5的倍数的数有2个，偶数个数是奇数个数的。 9．； 【分析】把这根红绳的长度看作单位“1”，红绳正好可以编织5个完全相同的中国结，相当于平均分成5份，根据分数的意义可知，每份占红绳的；求每个中国结的长度，用总长度4米除以数量即可。 【详解】1÷5＝ 4÷5＝（米） 每个中国结用了这根红绳的，每个中国结用了米的红绳。 10．（1）4；24 （2）3；4；3；3；4；3 【分析】（1）根据题意，根据，即用“”来表示； （2）根据，即用“”表示。 【详解】（1）； （2）因为（分数的位置可以互换），所以古埃及人用“” 表示。 11．3 【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【详解】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 12． 【分析】把这根木棒的长度看作单位“1”，第一天取它的一半，即；第二天取剩下的一半，此时剩下，的一半是；第三天再取剩下的一半，此时剩下，的一半是……；据此找出规律，得出第五天取的长度是这根木棒的几分之几。 【详解】第一天取它的一半，即； 第二天取剩下的一半，此时剩下1－＝；的一半是； 第三天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 第四天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 第五天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 所以，第五天取的长度是这根木棒的。 13．D 【分析】A．我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。 B．一个容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积。求一个水桶能装多少升水，是求水桶能容纳的水的体积，就是这个水桶的容积。 C．全长3米，平均分成4份，求每份的长度用除法计算。 D．除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。举例说明即可。 【详解】A．古代数学名著《九章算术》中，就给出了立体图形的体积计算公式；选项说法正确； B．“求一个水桶能装多少升水”就是求这个水桶的容积。选项说法正确； C．3÷4＝（米），所以每份长米，，选项说法正确； D．1×2＝2，2是质数，故两个自然数的乘积一定是合数说法错误。 故答案为：D 14．A 【分析】把整个图形的面积看作单位“1”，把单位“1”平均分成16份，其中①占4份，②占1份，③占2份，④占2份，据此解答。 【详解】如图： 4÷16＝ 1÷16＝ 2÷16＝ 所以通过观察，确定①号地是“彩虹田”。 故答案为：A 15．A 【分析】由图可知，商鞅方升是一个长方体，根据长方体的体积＝abh，代入数据求出商鞅规定的“一升”，再根据1000立方厘米＝1升，转化为“升”为单位，即可解答。 【详解】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝0.20125（升） 0.20125升≈0.2升 商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 16．B 【分析】因为总共有奇数名同学挑战成功，而男生组成功 15 人，奇数＋偶数＝奇数，所以女生组成功的人数必须是偶数。逐一分析各选项： A、11是奇数，不符合。 B、14是偶数，符合。 C、15是奇数，不符合。 D、17是奇数，不符合。 据此解答。 【详解】根据题意，需要满足最后的结果为奇数。14＋15＝29（人），最终结果为奇数。 故答案为：B。 17．C 【分析】打电话通知队员时，每分钟通知1人，并且在下一分钟知道演出消息的人再分别通知1人，以此类推就是最快的通知方式。下一分钟知道消息的人数（包含老师）是这分钟的2倍。据此通过例举的方式，解题即可。 【详解】第一分钟通知到1个队员； 第二分钟最多可通知到1＋2＝3（个）队员； 第三分钟最多可通知到3＋4＝7（个）队员； 第四分钟最多可通知到7＋8＝15（个）队员； 第五分钟最多可通知到15＋16＝31（个）队员。 所以，要通知全体队员至少需要5分钟才能通知到所有人。 故答案为：C 18．；；；；；见详解 【分析】异分母分数的加减法，先通分，然后按照同分母分数的加减法进行计算。同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。据此解答。 【详解】 的计算过程如图所示： 【点睛】掌握异分母分数加减法的计算方法是解题的关键。 19．见详解 【分析】把带分数可以分成一个整数＋一个分数，即＝1＋；＝1＋，1＋1＝2，只要比较出＋的和与1比较大小，即可判断两个带分数的和与3的大小。 【详解】＝1＋；＝1＋； 1＋1＝2 和都比大，因为＋＝1，所以＋肯定大于1；2＋大于1的数大于3， 所以＋大于3。 20．（1） （2）；见详解 【分析】（1）根据题意，在流程途中输入，进入下一个流程×，算出结果，与比较大小，如小于，则÷，如大于，则÷，最后算出结果即可。 （2）根据题意，输出的最终的结果为，现在使用反推法往上推，如小于，则是×＝，如大于，则是×＝，现将2种结果比较大小，＝＜＝，＝＞，显然的计算结果是符合题意的，然后继续往上推，乘法变除法，即为÷＝×＝，据此计算即可。 【详解】（1）×＝ 比较大小＝＜＝，结果小于。 上一个结果是小于的，所以，执行÷＝×＝ 输出的结果为：。 （2）×＝，小于，符合； 如大于，则是×＝，，结果不符合。 所以是 ÷＝×＝，输入的数是。 【点睛】解答此题的关键是判断出第二步需要用哪个计算方法，需要和作比较。 21．（1）81 （2）x＝15 【分析】（1）用分解质因数的方法分别求出12和21的最小公倍数和最大公因数，再用最小公倍数减去最大公因数即可解答； （2）由于运算没有直接表达式，解这个方程我们设法逐步缩小探索范围：已知6☆x＝27，其中27是6和x最小公倍数与最大公因数的差，所以6与x的最小公倍数不小于（27＋1）且不大于（27＋6），即在28到33中找到6的倍数，再根据“两个数的最小公倍数与最大公因数的积等于这两个数的积”列方程求解出x。 【详解】（1）12＝2×2×3 21＝3×7 所以12和21的最小公倍数是2×2×3×7＝84，最大公因数是3。 所以12☆21＝84－3＝81。 （2）因为6与x的最小公倍数不小于27＋1＝28，不大于27＋6＝33，而28和33之间，只有30是6的倍数，可见6和x的最小公倍数是30，因此，它们的最大公因数是30－27＝3。 6x＝30×3 解：6x＝90 6x÷6＝90÷6 x＝15 所以x的值是15。 【点睛】解答本题的关键是：根据定义新运算，得出新的运算定义，再利用新的运算定义和运算方法，解答即可。第二题可以先确定范围，求出最小公倍数和最大公因数，然后根据“两个数的最小公倍数与最大公因数的积等于这两个数的积”列方程求出x的值。 22．（1） （2）杯 【分析】（1）用小夏休息时间除以路上总时间解答即可； （2）先喝了杯纯牛奶，还剩下纯牛奶，后面又喝了剩下的一半纯牛奶，再求出一共喝了多少杯的纯牛奶即可。 【详解】（1） 答：小夏回家途中的休息时间占路上总时间的。 （2）把整杯牛奶平均分成5份，喝了1份，还剩下4份，又喝了剩下的一半，也就是又喝了2份，则又喝了整杯牛奶的。 （杯） 答：小夏一共喝了杯纯牛奶。 【点睛】本题考查分数与除法的关系、约分，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。 23．（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 24．（1）（2）（3）见详解 【分析】（1）每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个台数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式；分解质因数后，两个数公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，两个数公有质因数和各自独有质因数的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 （2）用a和b的公有质因数与a独有的质因数，即可求出a；用a和b公有质因数b独有的质因数，即可求出b，据此解答。 （3）通过分解质因数，‌我们可以清晰地看到哪些质因数是两个数共有的，‌哪些是独有的，‌从而准确地计算出最大公因数和最小公倍数；据此解答。 【详解】（1）12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最大公因数是2×3＝6 12和30的最小公倍数是2×3×2×5＝60 12和30的公有质因数有2和3，12独有的质因数是2，30独有的质因数是5。 （12，30）＝2×3＝6 [12，30]＝2×3×2×5＝60 （2）2×3×3＝18 2×3×2×2＝24 所以如果a、b公有的质因数是2和3，a独有的质因数是3，b独有的质因数是2和2，则a＝18，b＝24。 （3）利用分解质因数的形式求最大公因数和最小公倍数的方法如下：‌ 求最大公因数：‌首先，‌将每个数分别进行质因数分解，‌找出它们共有的质因数；将这些共有的质因数相乘，‌得到的积就是这几个数的最大公因数。‌ 求最小公倍数：‌除了找出共有的质因数外，‌还需要考虑每个数独有的质因数；公有质因数和各自独有质因数的乘积，就是它们的最小公倍数。‌ 25．①见详解 ②1.13倍 ③见详解 ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一）10天 【分析】①用271＋19，求出优良的天数，将“优良”天数的折线补到290处，即可完成统计图。 ②用2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度÷2024年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度，即可解答。 ③观察统计图，说出2014~2024年北京市空气优良天数的变化，以及重污染天数的变化。（说法合理即可） ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？用2022年空气质量优良天数－2020年空气质量优良天数，即可解答（答案不唯一）。 【详解】①271＋19＝290（天） 如图： ②61÷54≈1.13 答：2023年北京市空气中可吸入颗粒物（PM10）年均浓度是2024年的1.13倍。 ③根据统计图可知，2014～2024年，北京市空气优良天数整体呈“逐渐增多”的趋势（从172天增加到290天），中间略有小幅波动； •而重污染天数整体呈“逐渐减少”的趋势（从47天下降到2天），同样有少量上下起伏。 ④北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了多少天？（问题不唯一） 286－276＝10（天） 答：北京市2022年空气质量优良天数比2020年上涨了10天。 答案第2页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$