精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高一下学期教学质量监测（四）数学试题

高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，进而可求得. 【详解】因 故 故选：C． 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若，则,分与讨论，结合元素的互异性求出，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则. ①若，则，则，满足； ②若，则或. 时，，满足； 时，与元素的互异性相矛盾，故舍去. 综上所述，若，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 3. 在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得. 【详解】如图，由，所以， 由题意，则， 由. 故选：A． 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 5. 已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的奇偶性得出加减函数是非奇非偶函数判断A，B，再代入计算特殊值排除D. 【详解】函数，定义域为，是偶函数，是奇函数， 对于A，B，及为非奇非偶函数，与函数图象不符； 对于D，当时，，分母为0，不存在函数值，排除D， 故选:C． 6. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 7. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【详解】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D． 8. 已知正实数满足：，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】利用对数运算进行变形，然后构造函数，利用函数单调性求解即可. 【详解】，故，即，故， 且，即，设，则， 是增函数，故，所以， 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知一组样本数据：的平均值为10，则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数为10 C. 第70百分位数为10.5 D. 方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平均数、众数、百分位数、方差的计算公式逐个计算即可. 【详解】因为样本数据的平均数为10，，所以，故A正确； 由众数定义可知众数为10，故B正确； 因为，故第70分位数为第7个数据11，故C不正确； 因为，故D正确， 故选：ABD． 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 是的一个周期 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性和周期性的定义求解函数的奇偶性和周期，进而利用换元法求得值域判断A；由与均在上单调递减可判断B；举例说明判断C；由函数的周期性可判断D. 【详解】，， 所以，所以偶函数， 又，所以是函数的周期， 对于A，因为的一个周期为，令，当时， ，所以， 当时，， 所以，所以的值域为，故A不正确； 对于B，当，时， 函数与均在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以的图象不关于直线对称，故C不正确； 对于D，前面已证明正确. 故选：BD. 11. 如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，，是上异于、的一点，且、分别是点在、上的投影，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C. D. 当三棱锥的体积最大时，与底面所成的角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析出为的中点，不是的中点，可判断A选项；推导出平面，结合线面垂直的性质可判断B选项；推导出，结合勾股定理可判断C选项；利用锥体的体积公式，结合基本不等式可得出当三棱锥的体积最大时的长，根据线面角的定义可判断D选项. 【详解】 对于A选项，由题意得，因为，所以为的中点， 连接，由题意得，因为，所以不是的中点，故与不平行， 所以在平面内，直线与为相交直线，故与平面相交，A错误； 对于B选项，因为是上异于、的一点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，B正确； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 因为，所以 ， 因为为的中点，所以. 因为平面，平面，所以， 故，C正确； 对于D选项，由选项B得，. 因为，，、平面，所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时三棱锥的体积最大， 由，，，得， 由平面得，且为与底面所成的角， 所以，即与底面所成的角为，D正确. 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得． 故答案为：1. 13. 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用侧面展开图与原几何体的轴截面之间的数量关系求解即可. 【详解】如图所示， 设圆锥底面圆的半径为，高为2，母线长为， 由题意得，， 故，解得． 故答案为：. 14. 已知函数，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到函数关于点对称，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为或， 且满足， 即函数关于点对称， 所以， 则，当且仅当时，取得最小值． 故答案：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知内角的对边分别为，设． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简求解即可； （2）由余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得． 由余弦定理得． ，． 【小问2详解】 由于的面积为，， ， 由余弦定理得：， ． 16. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 【答案】（1）0.03 （2）410 （3）免费停车时长为不超过162.5分钟 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，列式计算求参，再得出频率即可； （2）根据已知得出频率继而得出车辆数即可； （3）应用频率分布直方图列方程计算频率即可求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中所有频率和为1， 设的频率为，可列等式为 ． 所以， 所以样本中停车时长在区间上的频率为0.03． 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知在区间上的频率为 ， 所以估计该天停车时长在区间上的车辆数为：． 【小问3详解】 设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间． 则满足， 所以，确定免费停车时长为不超过162.5分钟． 17. 已知函数的图象可由的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且． （1）若函数，试判断在上的单调性，并求其在此区间上的值域； （2）若函数与函数在上都单调，且具有相同的单调性，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增， （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知可求得，可求得，法一：的单调性可求得在区间上的值域；法二：设任意，可证得，进而可求得在区间上的值域； （2）由（1），根据函数性质列出关于增函数的不等式，求解即可. 【小问1详解】 的图象向下平移2个单位长度后得到的表达式为，再向左平移1个单位长度后得到且， 又因为，即且且，所以． 法一：故， 因为在上单调递减，故在上单调递增， 又，故在区间上的值域为． 法二：，设任意， ， 所以，即在上单调递增，又，故在区间上的值域为． 【小问2详解】 因为与函数在上都单调，且具有相同的单调性， 若两函数在区间上都是增函数，则在区间上恒成立， 可得，解得； 若两函数在区间上都是减函数，则在区间上恒成立， 可得，该不等式组无解； 综上所述，实数的取值范围为． 18. 如图，在四棱锥中，平面． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）通过证明平面可得结论． （2）作辅助线，找出二面角的平面角，根据边角关系可得结果. 【小问1详解】 平面，平面，． 又， 平面，平面， 在中，，，故平面． 平面，平面平面． 【小问2详解】 如图，取上一点，使得，连接，取上一点，使得，连接， 在中，，， 平面，平面， 平面，． 在中，，， ，， 平面，平面， 平面，， 是二面角的平面角，且二面角的平面角与互补． 在中， ，． 在中，，，故. 在直角中，， ，故二面角的余弦值为． 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，且． （1）若，求直四棱柱在点处的离散曲率； （2）已知直四棱柱在点处的离散曲率为， （i）若，求直线与平面的夹角的正弦值； （ii）若点为线段上一动点，设三棱锥的体积为，求函数的解析式，并根据此解析式求函数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）， 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的概念即可求解； （2）（i）由条件得到，再证面，得到即为与平面的所成角，即可求解，（ii）由条件得到，再结合，得到三棱锥体积，即可求解. 【小问1详解】 若，则，菱形为正方形， 则由题直四棱柱为正方体， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． 【小问2详解】 （i）直四棱柱在顶点处的离散曲率为， 则，即是等边三角形，设，所以， 又平面，在平面内，所以， 又为平面内两条相交直线，所以面， 所以即为与平面的所成角， 所以直线与平面的夹角的正弦值为； （ii）由题设，处的离散曲率， 故，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以直线平面，点在， 所以， ，直四棱柱高为1， 故三棱锥体积， 所以当时，函数取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足：，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知一组样本数据：的平均值为10，则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数为10 C. 第70百分位数10.5 D. 方差为 10. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 是的一个周期 11. 如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，，是上异于、的一点，且、分别是点在、上的投影，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. C D. 当三棱锥体积最大时，与底面所成的角为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则_____． 13. 已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为_____． 14. 已知函数，则的最小值是_____． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知内角的对边分别为，设． （1）求； （2）若的面积为，求的值． 16. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，并整理得到如图所示的频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为820，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及33%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 17. 已知函数的图象可由的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且． （1）若函数，试判断在上的单调性，并求其在此区间上的值域； （2）若函数与函数在上都单调，且具有相同的单调性，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，且． （1）若，求直四棱柱在点处的离散曲率； （2）已知直四棱柱在点处的离散曲率为， （i）若，求直线与平面的夹角的正弦值； （ii）若点为线段上一动点，设三棱锥的体积为，求函数的解析式，并根据此解析式求函数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $