精品解析：江苏省马坝高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期高二年级第二次质量检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用并集运算法则即可求得结果. 【详解】根据集合，， 可得. 故选：B 2. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可写出答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 所以命题的否定为：，. 故选：. 3. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解； 【详解】由题意，，，则， 得分在区间内的学生大约有． 故选：C． 4. 德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 5. 甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互斥事件定义，条件概率公式，全概率公式，独立事件定义逐项求解判断即可. 【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 6. 已知函数满足，，则（ ） A. 0 B. C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，并计算得，再利用周期性计算即得. 【详解】由，得，由，得， 于是，即，因此，即函数的周期为2， 由，得，由，得， 从而，又，则， 所以. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 7. 函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量范围，利用基本不等式计算可得当时的最小值是2. 【详解】因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时函数在上的最小值是2. 故选：C 8. 若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（ ）． A. 72 B. 120 C. 144 D. 288 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法，列式求解作答. 【详解】依题意，先排除A、B、C外的另3件艺术品，有种方法， 再把A和B视为一个整体，与C插入4个间隙中，有种方法，而A和B间的排列有种方法， 由分步乘法计数原理得：， 所以不同的排列方法数为144. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案. 【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集， 则所有符合条件的集合A为,,. 选项BD均不符合要求，排除. 故选：AC 10. 已知，若只有最大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，得到，可判定A错误；分别令和，可得判定B、C正确，再由，可判定D正确. 【详解】因为只有最大，根据二项展开式的性质，可得，所以A错误； 则 令，可得，所以B正确； 令，可得， 因为，所以，所以C正确； 因为，所以D正确． 故选：BCD. 11. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基底定义可知A错误；举特例判断B；根据向量与立体几何中的垂直与平行的关系可证得CD正确. 【详解】对于A，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，A错误； 对于B，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，B错误； 对于C，，，或，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂与对数运算的运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 13. 若随机变量，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质即可求解. 【详解】由题意知，，，所以， ， 故答案为： 14. 已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】按照十位上的数字情况分类，结合排列问题列式计算作答. 【详解】依题意，无重复数字的三位“凹数”，十位数字只能为之一， 个位和百位上的数字为从比对应十位数字大的数字中任取两个进行排列， 所以没有重复数字的三位“凹数”的个数为： . 故答案为：240 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）若时，求、； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，则， 所以，则. 【小问2详解】 因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 16. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）150 （2）48 （3）120 （4） 【解析】 【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班； （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列； （3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形. 【小问1详解】 将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． 【小问2详解】 先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． 【小问3详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． 【小问4详解】 先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响． （1）求四局比赛结束的概率； （2）记比赛结束时甲胜的局数为X，求X的分布列与期望； （3）在第一局甲负条件下，试判断乙赢得比赛的概率是否超过 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3）不超过 【解析】 【分析】（1）四局比赛结束分为两类：一类是甲第四局胜，前三局中两胜一负，另一类是乙第四局胜，前三局中两胜一负，分别求解计算即可. （2）依题意知所有的可能取值为0，1，2，3，分别求出各自对应的概率可得分布列及期望. （3）依题意知，第一局乙胜，则乙赢得比赛分为三类：第一类是第二局、第三局乙胜；第二类是第四局乙胜，第二、三局中一胜一负；第三类是第五局乙胜，第二、三、四局中一胜两负，分别求解计算即可. 【小问1详解】 四局比赛结束，甲胜的概率， 乙胜的概率， 所以四局比赛结束的概率为． 【小问2详解】 所有的可能取值为0，1，2，3． ；； ； ． 的分布列为 0 1 2 3 故． 【小问3详解】 在第一局甲负的条件下，乙胜的概率，所以在第一局甲负的条件下，乙赢得比赛的概率不超过． 19. 已知，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集与方程之间的关系可知，、是一元二次方程的两个实数根，利用韦达定理求出、的值，即可得出函数的解析式； （2）解不等式组，分析可知，该不等式的整数解为、，可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由题意可知，对任意，不等式很成立，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在后面两种情况下，结合二次函数基本性质可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，不等式的解集是， 所以、是一元二次方程的两个实数根， 由韦达定理可得，解得，所以. 【小问2详解】 解：不等式组，即， 解得， 因为原不等式组的正整数解仅有个，可得该正整数解为、， 可得到，解得，则实数取值范围是. 【小问3详解】 解：因为对任意，不等式恒成立，所以， 当时，恒成立； 当时，二次函数的对称轴方程为， 当时，函数在上单调递减， 所以只需满足，解得； 当时，函数在上单调递增， 所以只需满足，解得. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期高二年级第二次质量检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某高中对高三年级的1000名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩（满分150分）近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有（参考数据：若，则，）（ ） A. 324人 B. 90人 C. 130人 D. 45人 4. 德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法正确的是（ ） A. A，B是对立事件 B. 事件B，D相互独立 C. D. 6 已知函数满足，，则（ ） A. 0 B. C. 2023 D. 2024 7. 函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若某展览馆要把6件艺术品在展位上摆放成一排，要求其中的艺术品A和B必须相邻，且都不能与C相邻，则这样不同的排列方法数为（ ）． A. 72 B. 120 C. 144 D. 288 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下满足的集合A有（ ） A. B. C. D. 10 已知，若只有最大，则（ ） A. B. C D. 11. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D. 两个不重合的平面的法向量分别是，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求值：_________. 13. 若随机变量，，则________． 14. 已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为________．（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，. （1）若时，求、； （2）若，求的取值范围. 16. 寒假有来自不同大学3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． （1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同分配方案？ （2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ （3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ （4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 甲、乙两人进行象棋比赛，采用五局三胜制，无平局，已知每局比赛甲获胜的概率为，且甲、乙每局比赛的结果互不影响． （1）求四局比赛结束的概率； （2）记比赛结束时甲胜的局数为X，求X的分布列与期望； （3）在第一局甲负的条件下，试判断乙赢得比赛的概率是否超过 19. 已知，不等式的解集是. （1）求的解析式； （2）不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$