2.3二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 题型2 三个“二次”之间的关系及应用 7 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 8 题型4 一元二次不等式“恒成立”问题 9 考点1 在R上恒成立求参数 9 考点2 在给定区间内恒成立求参数 10 题型5 一元二次方程根的分布 10 知识点一 一元二次不等式的相关概念 1．一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.例如，,,都是一元二次不等式. 注：①“只含有一个未知数”，并不是说不等式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母哪一个是“未知数”，哪一些是“参数”就可以. ②“最高次数是”，仅限于“未知数”，若是其他参数，则次数不受限制. ③一元二次不等式一定为整式不等式.例如是分式不等式，而不是一元二次不等式. 2．一元二次不等式的一般形式 一般形式:或,其中,,均为常数, 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的的值叫作一元二次不等式的解，所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集.例如，是不等式的解，该不等式的解集为. 知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 以一元二次不等式与为例来说明三者之间的关系(若，可以转化为的情况). 从函数的观点来看，一元二次不等式的解集就是二次函数的图像在轴上方部分的点的横坐标的集合；一元二次不等式的解集就是二次函数的图像在轴下方部分的点的横坐标的集合. 从方程的观点来看，一元二次方程的根(有两个不相等实数根的情况下)是相应二次函数的图像与轴交点的横坐标(相应一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习))，一元二次不等式的解集就是大于大根或小于小根的实数的集合；的解集就是大于小根且小于大根的实数的集合. 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程的根〔相应一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习)〕就可以解一元二次不等式，具体如下表： 的图像 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注：①上面的图表是解一元二次不等式的依据之一. ②，具有三重身份：相应的一元二次方程的实数根；相应的一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习)；相应的一元二次不等式解集集合的端点. 知识点三 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 ⑴判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则根据不等式的性质将二次项系数化为正值. ⑵求根：计算判别式，求出相应方程的实数根. ⑶标根：将所求得的实数根标在数轴上(注意两个实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时)，并画出开口向上的抛物线. ⑷写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义写出解集. 注：求解一元二次不等式的思维方式如下： ①若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化成几个代数式的乘积形式，则可以直接由符号及不等号方向得到不等式的解集. ②若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值完全平方式始终大于或等于，不等式的解集易得. ③若上述两种方法均不能解决，则应采用判别式法求一元二次不等式的解集. 2．用框图表示一元二次不等式的求解过程 我们以求解可化成形式的不等式为例，用如图的框图表示其求解过程. 拓展点1 含有参数的一元二次不等式的解法 1．含参数的一元二次不等式的解法： ⑴将二次项系数转化为正数； ⑵判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，那么可省去此步)； ⑶根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异实根，为了写出解集还要分析两根的大小. 根据上面的步骤可能产生的讨论形式： ①二次项若含有参数，应讨论参数是等于、小于还是大于，然后将不等式转化为二次项系数为正的不等式； ②判断方程根的个数； ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 2．含参数的一元二次不等式的讨论顺序： ⑴二次项系数；⑵判别式；⑶若有实根，两实根的大小顺序. 注：①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏. ②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为时，也是其中一类，不要随便丢掉. ③弄清分类原因，合理地对参数进行分类. ④并不是所有含参数的问题都需分类讨论，视具体情况而定. 拓展点2 恒成立问题 1．在实数集上恒成立问题 (1)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (2)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (3)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (4)一元二次不等式对任意恒成立的条件是. 注：当未说明不等式为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或. 2．在某取值范围上恒成立问题 设 (1)当时,在上恒成立； (2)当时,在上恒成立； (3)在上恒成立,其中是的解集. 拓展点3 分式不等式及其解法 1．分式不等式的定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式或(其中,为关于的整式且不为). 2．分式不等式的解法 解分式不等式的思路——转化为整式不等式. 化分式不等式为标准形式的方法：移项、通分，右边化为，左边化为的形式. 将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式 与，或，同解；与同解 与，或同解；与同解 与同解 与同解 特别提示： (1)形如的分式不等式可同解变形为0，故可转化为 (2)解型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取，而分母不能取. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 2．解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 题型2 三个“二次”之间的关系及应用 3．(多选)（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 4．(多选)（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 6．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．(多选)（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 8．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 11．若，解关于的不等式. 12．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 13．已知，解关于的不等式： (1)； (2). 题型4 一元二次不等式“恒成立”问题 考点1 在R上恒成立求参数 14．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 15．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 17．(多选)（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．已知全集，，则 B．若不等式的解集是或，则的值分别是 C．不等式恒成立的条件是 D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 18．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 考点2 在给定区间内恒成立求参数 20．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·山东临沂·期末）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（1）若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （4）已知函数，当时恒有，求实数的取值范围； （5）已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围． 24．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集； (3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 题型5 一元二次方程根的分布 25．（23-24高一上�湖北黄冈�期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 26．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·四川南充·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 4．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．    D．   6．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 三、填空题 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 17．（24-25高一下·河南·开学考试）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 19．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 题型2 三个“二次”之间的关系及应用 11 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 14 题型4 一元二次不等式“恒成立”问题 18 考点1 在R上恒成立求参数 18 考点2 在给定区间内恒成立求参数 21 题型5 一元二次方程根的分布 26 知识点一 一元二次不等式的相关概念 1．一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.例如，,,都是一元二次不等式. 注：①“只含有一个未知数”，并不是说不等式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母哪一个是“未知数”，哪一些是“参数”就可以. ②“最高次数是”，仅限于“未知数”，若是其他参数，则次数不受限制. ③一元二次不等式一定为整式不等式.例如是分式不等式，而不是一元二次不等式. 2．一元二次不等式的一般形式 一般形式:或,其中,,均为常数, 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的的值叫作一元二次不等式的解，所有的解所组成的集合叫作一元二次不等式的解集.例如，是不等式的解，该不等式的解集为. 知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 以一元二次不等式与为例来说明三者之间的关系(若，可以转化为的情况). 从函数的观点来看，一元二次不等式的解集就是二次函数的图像在轴上方部分的点的横坐标的集合；一元二次不等式的解集就是二次函数的图像在轴下方部分的点的横坐标的集合. 从方程的观点来看，一元二次方程的根(有两个不相等实数根的情况下)是相应二次函数的图像与轴交点的横坐标(相应一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习))，一元二次不等式的解集就是大于大根或小于小根的实数的集合；的解集就是大于小根且小于大根的实数的集合. 因此，利用二次函数的图像和一元二次方程的根〔相应一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习)〕就可以解一元二次不等式，具体如下表： 的图像 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注：①上面的图表是解一元二次不等式的依据之一. ②，具有三重身份：相应的一元二次方程的实数根；相应的一元二次函数的零点(零点的概念后面会学习)；相应的一元二次不等式解集集合的端点. 知识点三 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 ⑴判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则根据不等式的性质将二次项系数化为正值. ⑵求根：计算判别式，求出相应方程的实数根. ⑶标根：将所求得的实数根标在数轴上(注意两个实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时)，并画出开口向上的抛物线. ⑷写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义写出解集. 注：求解一元二次不等式的思维方式如下： ①若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化成几个代数式的乘积形式，则可以直接由符号及不等号方向得到不等式的解集. ②若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值完全平方式始终大于或等于，不等式的解集易得. ③若上述两种方法均不能解决，则应采用判别式法求一元二次不等式的解集. 2．用框图表示一元二次不等式的求解过程 我们以求解可化成形式的不等式为例，用如图的框图表示其求解过程. 拓展点1 含有参数的一元二次不等式的解法 1．含参数的一元二次不等式的解法： ⑴将二次项系数转化为正数； ⑵判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，那么可省去此步)； ⑶根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异实根，为了写出解集还要分析两根的大小. 根据上面的步骤可能产生的讨论形式： ①二次项若含有参数，应讨论参数是等于、小于还是大于，然后将不等式转化为二次项系数为正的不等式； ②判断方程根的个数； ③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 2．含参数的一元二次不等式的讨论顺序： ⑴二次项系数；⑵判别式；⑶若有实根，两实根的大小顺序. 注：①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏. ②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为时，也是其中一类，不要随便丢掉. ③弄清分类原因，合理地对参数进行分类. ④并不是所有含参数的问题都需分类讨论，视具体情况而定. 拓展点2 恒成立问题 1．在实数集上恒成立问题 (1)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (2)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (3)一元二次不等式对任意恒成立的条件是； (4)一元二次不等式对任意恒成立的条件是. 注：当未说明不等式为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或. 2．在某取值范围上恒成立问题 设 (1)当时,在上恒成立； (2)当时,在上恒成立； (3)在上恒成立,其中是的解集. 拓展点3 分式不等式及其解法 1．分式不等式的定义 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式或(其中,为关于的整式且不为). 2．分式不等式的解法 解分式不等式的思路——转化为整式不等式. 化分式不等式为标准形式的方法：移项、通分，右边化为，左边化为的形式. 将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式 与，或，同解；与同解 与，或同解；与同解 与同解 与同解 特别提示： (1)形如的分式不等式可同解变形为0，故可转化为 (2)解型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取，而分母不能取. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 1．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)R 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法求解 【详解】（1）因为， 所以方程有两个不等实根，. 又二次函数的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. （2）因为， 所以方程有两个不等实根，. 又二次函数的图象开口向下， 所以原不等式的解集为. （3）原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. （4）原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. （5）原不等式可化为， 因为，所以方程无实根， 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为. （6）原不等式可化为， 因为，所以方程无实根， 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为. 2．解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1)或(2)或(3)(4) (5)或(6)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 方法总结  1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 核心笔记1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． 2．分式不等式的解法 （1）； （2）且． 3．解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论． （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根； （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，． 4．三个“二次”之间的关系 （1）一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定的系数． 5．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上恒成立的问题． 设，则恒成立，；恒成立，；恒成立，；恒成立，． 若未说明不等式是否为一元二次不等式，则先讨论的情况． 题型2 三个“二次”之间的关系及应用 3．(多选)（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 4．(多选)（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 【答案】AB 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系一一判定选项即可. 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 故选：AB 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 6．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由不等式的解集是R，则， 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 7．(多选)（23-24高一上�安徽阜阳�期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【知识点】基本不等式求和的最小值、由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 题型3 含参数的一元二次不等式的解法 8．（2025高一上·河北保定·专题练习）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 9．关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】首先分类讨论解不等式，再结合子集概念求解即可. 【详解】当时，的解集为，，符合条件. 当时，即，不等式的解集为， 所以， 所以. 当时，即，不等式的解集为， 所以， 所以. 综上：. 故选：D 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 11．若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解. 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 12．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 13．已知，解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题意，分，，，，五种情况讨论求解即可； （2）根据判别式的符号，分，，三种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：当时，，解得， 当时，由，得， 由，得，或   当时，，则由，得， 当时，，由，得或， 当时，由，得，   当时，，由，得或， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. （2）， 当时，， 方程的两个根分别为或， 则由，得， 当时，，原不等式化为，得， 当时，，不等式无解， 综上， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 题型4 一元二次不等式“恒成立”问题 考点1 在R上恒成立求参数 14．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得：， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 15．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 16．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可. 【详解】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 17．(多选)（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．已知全集，，则 B．若不等式的解集是或，则的值分别是 C．不等式恒成立的条件是 D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、补集的概念及运算 【分析】由不等式和补集的运算可得A正确；由一元二次不等式的解可得B正确；利用二次函数的性质，令判别式小于零可得C正确；举反例令可得D错误. 【详解】对于A：已知全集，或， 则，故A正确； 对于B：由已知得，， ，，故B正确； 对于C：不等式恒成立，则，解得，故C正确； 对于D：若不等式对一切恒成立 当时，不等式即为恒成立，故满足，故D错误； 故选：ABC 18．(多选)在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意列出不等式，然后根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可. 【详解】不等式对任意实数恒成立， 所以，即在R上恒成立， ， 解得，所以ACD选项符合，B选项不符合， 故选：ACD. 19．（24-25高一下·四川泸州·开学考试）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 考点2 在给定区间内恒成立求参数 20．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 21．（24-25高一上·山东临沂·期末）“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】根据题意，若在上恒成立， 所以，在上恒成立， 由“对勾函数”可知，函数在上单调递增， 所以，当时，，可得， 所以，在上恒成立“的充要条件是”“， 因为， 因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 22．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据不等式恒成立以及基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】已知，，， 当且仅当且时取等号，即，时取等号， 所以， 由恒成立可得， 即， 解得. 故实数的取值范围为. 故选：C. 23．（1）若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （4）已知函数，当时恒有，求实数的取值范围； （5）已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）；（5）. 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】（1）分类讨论时， 情况，列不等式组求解即可. （2）原不等式化简可得恒成立，由，即可得出结果. （3）设,满足，求解即可得出结果. （4）由时,设，转化为或，求解即可. （5）设， 是关于的一次函数，且单调递增，只需，求解即可. 【详解】（1）当时，不等式化为，不符合题意； 当时，要使对任意的实数恒成立， 则，解得； （2）由得恒成立， 则，解得； （3）设，依题意可知，解得； （4）由时恒有得，设， 依题意可知或， 解得或， 综上所述，； （5），设， ，所以是关于的一次函数， 依题意时恒成立，只需， 解得. 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 24．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为． (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集； (3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由的两根为-1和2，代入方程即可求解； （2）结合（1）通过和，两类情况讨论即可； （3）通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：的两根为-1和2， 所以， 解得：. （2）由（1）知：可化为： ， 即： 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 当时， （i） ，即时，的解集为：； （ii） ，即时，的解集为：； （iii） ，即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数m的取值范围 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令， 可得， 易知，对称轴为：，所以当时，， 所以. 所以实数m的取值范围为. 题型5 一元二次方程根的分布 25．（23-24高一上�湖北黄冈�期中）设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据交集结果求集合或参数 【分析】设，，分类讨论的整数的情况，求出参数的范围. 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 26．关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】令，设的两个根为，结合二次函数的图象与性质，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：令，设的两个根为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：若方程的一个根大于，一个根小于， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （3）解：若方程一个根在内，另一个根在内， 则满足，解得， 所以实数的取值范围为. （4）解：若方程的一个根小于，一个根大于， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 2．（24-25高一上·四川南充·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】解一元二次不等式求的解集，再由充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知二次函数，下列结论正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．图像的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最小值3 【答案】C 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、二次函数的图象分析与判断、求二次函数的值域或最值 【分析】求得二次函数图像的开口方向判断选项A；求得二次函数图像的对称轴判断选项B；求得二次函数当时的单调性判断选项C；求得3为函数最大值否定选项D. 【详解】选项A：二次函数开口向下.判断错误； 选项B：二次函数图像的对称轴为直线.判断错误； 选项C：二次函数当时，随的增大而减小.判断正确； 选项D：当时，函数有最大值3，该函数无最小值.判断错误. 故选：C 4．（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】移项通分后转化一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式即为即，故， 故， 故选：D. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中a，b，c为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定的解集，用表示，代入并解不等式即可. 【详解】不等式的解集为， 则，且是方程的两根， 则，即， 不等式可化为，即， 解得或， 故不等式的解集是或. 故选：D. 7．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式的解集求出a，利用不等式恒成立得出关于m的不等式组，求出m的范围． 【详解】由题意得：一元二次方程的两根分别为2，3， 由根与系数的关系，可得， 则不等式， 即对于任意的恒成立， 等价于，或， 解得，或， 则实数的取值范围为. 故选：B 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知命题，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式，只需是或的真子集，得到答案. 【详解】或， 要求命题p成立的一个充分不必要条件，只需满足或的真子集即可， 其中和满足要求，其他选项不满足. 故选：AC 10．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 14．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【知识点】高次不等式 【分析】将所求不等式变形为，利用“穿针引线”法可得出原不等式的解集. 【详解】由可得，即， 如下图所示： 由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 16．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果. （2）讨论的范围，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 17．（24-25高一下·河南·开学考试）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据全称命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数 【分析】（1）由题意上不等式恒成立，即，即可求参数范围； （2）若为真命题，有在上能成立，即求出参数范围，再由和中有且只有一个为真命题确定参数范围. 【详解】（1）由题意，上不等式恒成立，即， 由一次函数的区间单调性知，，故， 所以，可得. （2）若为真命题，则在上能成立，即， 由二次函数的性质知，，故， 要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或. 18．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)，当时，取得最小值 (2)或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）先根据平行得出比例关系计算得，再应用基本不等式计算即可； （2）应用已知列不等式再求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 19．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】(1)2和 (2)8 (3) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解． 【详解】（1）令，则或， 故的不动点为2和． （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8． （3）由题知：，所以， 由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得， 所以的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$