2.2基本不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

2.2基本不等式 题型1 基本不等式的理解 5 题型2 利用基本不等式比较大小 7 题型3 利用基本不等式求最值 9 考点1 直接法 9 考点2 配凑法---配式配系数，凑出定值 11 考点3 常数1代换法求最值 12 考点4 拆---裂项拆项 13 题型4 利用基本不等式证明不等关系 15 题型5 基本不等式在恒成立问题中的应用 18 题型6 基本不等式在实际问题中的应用 19 知识点一 引理：重要不等式 ,有,当且仅当时，等号成立. 注：(1)不等式中的，既可以是具体的某个实数，也可以是一个代数式. (2)“当且仅当”的含义：①当时取等号，即;②仅当时取等号，即. (3)等号能取到的条件是，若，不相等，则中的等号取不到. (4)重要不等式可变形为,,,等. 知识点二 基本不等式 1．基本不等式的内容 如果,,那么,当且仅当时，等号成立.把不等式称为基本不等式.其中，叫作正数，的算术平均数，叫作正数，的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注：(1)和成立的条件是不同的，前者要求，都是实数，而后者要求，都是正数. (2)基本不等式可变形为,等 2．基本不等式的证明 (1)几何法 如图,是圆的直径,点是上一点，,.过点作垂直于的弦，连接，.利用这个图形可以得出基本不等式的几何解释. 易证,则,即. 这个圆的半径为,显然，它大于或等于，即. 当且仅当点与圆心重合，即当时，等号成立. 因此，基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”. (2)代数法 (方法一)可以将基本不等式看作是重要不等式的推论.如果,,那么我们用,分别代替重要不等式中的，，得,当且仅当时，等号成立. 即,当且仅当时，等号成立. (方法二)当,时,,当且仅当,即时,等号成立. (方法三)当,时,要证,只要证,只要证,只要证. 显然，最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当,即时，等号成立. 注：基本不等式的常见变形及常用结论 ①基本不等式的常见变形：, ②基本不等式的常用结论 (,同号)，当且仅当时取等号；(,异号),当且仅当时取等号. ,当且仅当时取等号；,当且仅当时取等号. 知识点三 最值定理 已知，都是正数， (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值; (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 最值定理简记：和定积最大，积定和最小. 注：(1)利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. (2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换. 知识点三 基本不等式的变式与拓展 1．基本不等式链 当且仅当时等号成立.其中为，的调和平均值，为，的平方平均值.此不等式链又常以的形式出现. 其几何意义如图所示. 【温馨提醒】(1)该不等式链内涵丰富，在实际的运用中相对于基本不等式更为广泛，但它们都是在基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式证明. (2)一般来说，以下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态： ①；②；③； ④ 2．基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式 (,,均为正实数),当且仅当时，等号成立. (2)元基本不等式 (均为正实数)，当且仅当时，等号成立. 题型1 基本不等式的理解 1．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、基本不等式的内容及辨析 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 4．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的内容及辨析 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 题型2 利用基本不等式比较大小 5．若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 6．已知，则与的大小关系是 【答案】. 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小. 【详解】∵，∴，， ∴，当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键. 7．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 8．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 9．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 题型3 利用基本不等式求最值 考点1 直接法 10．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 11．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且满足，则的最大值是 . 【答案】3 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为，，且满足，得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值是3. 故答案为：3. 12．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 13．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式求解最值即可得到取值范围. 【详解】因为，， 当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围是. 故答案为： 考点2 配凑法---配式配系数，凑出定值 14．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由知，所以，当且仅当，即时取等号． 方法总结 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换等． 15．已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 16．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 【答案】6 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式即可求. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 考点3 常数1代换法求最值 17．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“1”的变形技巧，由基本不等式得最小值. 【详解】因为，且 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 18．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 19．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 考点4 拆---裂项拆项 20．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 21．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 22．求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）8. 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解； （2）因为，所以利用均值不等式即可求解. 【详解】解：（1）因为，又， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 故y的最大值为； （2）由题意，， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故y的最小值为8. 题型4 利用基本不等式证明不等关系 23．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明. 【详解】证明： ， ， ， 上面三式相加，得： ， 所以，. 【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题. 24．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，都是正数，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论； 【详解】，，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 25．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）若a，b，c均为正数，求证：. 【答案】证明见详解. 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】 将不等式左侧变形为，根据基本不等式可证明结论. 【详解】 ，当且仅当时等号成立. 26．（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 27．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】根据，化简，再利用基本不等式证明即可. 【详解】因为，，均为正实数，且， 所以由基本不等式得， ， 当且仅当时，等号成立. 28．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 题型5 基本不等式在恒成立问题中的应用 29．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】6 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 30．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故答案为：. 31．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 32．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 题型6 基本不等式在实际问题中的应用 33．用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则所用篱笆的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【详解】设矩形菜园的长为，则宽为，所用篱笆长为，其中．由题意得．又，所以，当且仅当时，等号成立． 34．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 35．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【知识点】分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】基本不等式的内容及辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 2．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 4．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 当且仅当时，取得最大值1. 故选：A 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 7．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断B，利用对勾函数的性质判断D. 【详解】对于A：令，，则，故A错误； 对于B：因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：令，则，故C错误； 对于D：因为，又对勾函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，故D错误. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A．的最小值是8 B．的最大值是8 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解. 【详解】由，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 又， ， 当且仅当，即时等号成立， 即，解得，故C正确，D错误； 故选：AC． 10．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【知识点】条件等式求最值、对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 11．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【答案】CD 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】举反例说明A错误，举反例说明B错误，根据重要不等式证明C，根据基本不等式证明D. 【详解】对于A，若，，， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，取可得，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确； 故选：CD． 三、填空题 12．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 【答案】16 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.依题意得，所以. 13．某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 【答案】10 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】设使用年时的年平均费用为万元，依题意得，当且仅当，即时，等号成立． 14．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【详解】由海伦公式可知，不妨设，则，则，当且仅当，即时，等号成立． 四、解答题 15．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式结合常数代换求最值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号； 所以，的最大值为. （2）因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，， ， 当且仅当，即时，等号成立． 由得 当，时，取得最小值． 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）利用“”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由可得：，又， 所以，当且仅当，即时成立， 结合可知：取等条件为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时成立. （3）因为，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合可知：取等条件为. 17．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、由基本不等式证明不等关系、分式不等式 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 18．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在上取一点，使得，，过点作交以为直径的半圆弧于，连结，作，垂足为 (1)请从下列不等式①、②、③中选出表示的序号并写出理由； ①；②；③． (2)证明选出的不等式． 【答案】(1)选择②，理由见解析； (2)证明见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用射影定理和圆的性质表示出边长，再选出不等式即可. （2）利用作差法证明不等式即可. 【详解】（1）选择②，理由如下：如图，连接， 因为是圆的直径，所以， 由射影定理得，即，故， 由直角三角形性质得， 在直角中，由射影定理得， 即，而需证，即证明即可. （2）下面证明：， 因为， 当且仅当时，等号成立，故成立. 19．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 【答案】(1) (2)该运动员在时，体力达到最低值，为 【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数模型的应用 【分析】（1）利用给定条件求解函数解析式即可. （2）结合上问结论用一次函数性质结合基本不等式分别求解最小值，再进行比较，得到最终结果即可. 【详解】（1）由题意写出速度关于时间的函数 代入与公式可得 即 （2）由一次函数性质得①稳定阶段中单调递减， 此过程中； ②调整阶段， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以调整阶段中体力最低值为， 由于， 因此该运动员在时，体力达到最低值，为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式 题型1 基本不等式的理解 4 题型2 利用基本不等式比较大小 5 题型3 利用基本不等式求最值 6 考点1 直接法 6 考点2 配凑法---配式配系数，凑出定值 6 考点3 常数1代换法求最值 7 考点4 拆---裂项拆项 7 题型4 利用基本不等式证明不等关系 7 题型5 基本不等式在恒成立问题中的应用 8 题型6 基本不等式在实际问题中的应用 8 知识点一 引理：重要不等式 ,有,当且仅当时，等号成立. 注：(1)不等式中的，既可以是具体的某个实数，也可以是一个代数式. (2)“当且仅当”的含义：①当时取等号，即;②仅当时取等号，即. (3)等号能取到的条件是，若，不相等，则中的等号取不到. (4)重要不等式可变形为,,,等. 知识点二 基本不等式 1．基本不等式的内容 如果,,那么,当且仅当时，等号成立.把不等式称为基本不等式.其中，叫作正数，的算术平均数，叫作正数，的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注：(1)和成立的条件是不同的，前者要求，都是实数，而后者要求，都是正数. (2)基本不等式可变形为,等 2．基本不等式的证明 (1)几何法 如图,是圆的直径,点是上一点，,.过点作垂直于的弦，连接，.利用这个图形可以得出基本不等式的几何解释. 易证,则,即. 这个圆的半径为,显然，它大于或等于，即. 当且仅当点与圆心重合，即当时，等号成立. 因此，基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”. (2)代数法 (方法一)可以将基本不等式看作是重要不等式的推论.如果,,那么我们用,分别代替重要不等式中的，，得,当且仅当时，等号成立. 即,当且仅当时，等号成立. (方法二)当,时,,当且仅当,即时,等号成立. (方法三)当,时,要证,只要证,只要证,只要证. 显然，最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当,即时，等号成立. 注：基本不等式的常见变形及常用结论 ①基本不等式的常见变形：, ②基本不等式的常用结论 (,同号)，当且仅当时取等号；(,异号),当且仅当时取等号. ,当且仅当时取等号；,当且仅当时取等号. 知识点三 最值定理 已知，都是正数， (1)如果积等于定值,那么当时,和有最小值; (2)如果和等于定值,那么当时,积有最大值. 最值定理简记：和定积最大，积定和最小. 注：(1)利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. (2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换. 知识点三 基本不等式的变式与拓展 1．基本不等式链 当且仅当时等号成立.其中为，的调和平均值，为，的平方平均值.此不等式链又常以的形式出现. 其几何意义如图所示. 【温馨提醒】(1)该不等式链内涵丰富，在实际的运用中相对于基本不等式更为广泛，但它们都是在基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式证明. (2)一般来说，以下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态： ①；②；③； ④ 2．基本不等式的拓展 (1)三元基本不等式 (,,均为正实数),当且仅当时，等号成立. (2)元基本不等式 (均为正实数)，当且仅当时，等号成立. 题型1 基本不等式的理解 1．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 2．（24-25高一上·上海·期末）若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 4．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用基本不等式比较大小 5．若，，则、、、中最大的一个是 ． 6．已知，则与的大小关系是 ． 7．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用基本不等式求最值 考点1 直接法 10．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 11．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知，，且满足，则的最大值是 . 12．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）的最小值为 . 13．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，那么的取值范围是 . 考点2 配凑法---配式配系数，凑出定值 14．函数的最小值为 ，此时x的值为 ． 15已知，则的最大值为 . 16．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 考点3 常数1代换法求最值 17．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，则的最小值为 . 18．（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 19．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 考点4 拆---裂项拆项 20．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 21．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 22．求解下列各题： （1）求的最大值； （2）求的最小值. 题型4 利用基本不等式证明不等关系 23．已知，求证：. 24．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，都是正数，求证：． 25．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）若a，b，c均为正数，求证：. 26．（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 27．（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习）已知，，均为正实数，且，求证：. 28．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 题型5 基本不等式在恒成立问题中的应用 29．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 30．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 31．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·湖南·开学考试）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型6 基本不等式在实际问题中的应用 33．用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则所用篱笆的长度最短为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·云南昆明·期中）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（    ） A．12 B． C． D．15 35．（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 7．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．当时， C．若，则 D．若，则的最小值为2 二、多选题 9．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知两个正实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A．的最小值是8 B．的最大值是8 C．的最小值是 D．的最大值是 10．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 11．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 三、填空题 12．若当且仅当时，取得最小值，则实数的值为 . 13．某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费用共9千元，汽车使用年的维修总费用为，，则这种汽车使用 年后报废最合算（提示：报废即为年平均使用费用最低）． 14．海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 16．（24-25高一上·广东肇庆·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，求的最小值并求出此时a，b的值. 17．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 18．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形中，在上取一点，使得，，过点作交以为直径的半圆弧于，连结，作，垂足为 (1)请从下列不等式①、②、③中选出表示的序号并写出理由； ①；②；③． (2)证明选出的不等式． 19．（24-25高一上·湖南株洲·期末）近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$