1.2集合间的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.2集合间的基本关系 题型1 集合间关系的判断 4 考点1 列举法 4 考点2 利用元素的特征判断 5 考点3 数形结合法 5 题型2 确定集合的子集、真子集 5 题型3 集合相等与空集 6 题型4 由集合间关系求参数 7 考点1 由有限集之间的关系求参数 7 考点2 由无限集之间的关系求参数 8 基础过关自测 8 知识点一 图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 图. 注：①表示集合的 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. ②用图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点二 子集 1．子集的概念 文字语言：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. 符号语言：对任意元素，必有,则记作(或),读作“包含于”(或“包含”). 图形语言： 注：①集合是集合的子集的含义：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由能推出 .例如， ,则. ②如果集合中存在不属于集合的元素，那么集合不含于集合，记作,读作“不含于”.例如,,，集合中的元素不属于集合，说明集合不是集合的子集，即集合不含于集合. ③在子集的定义中，不能将集合理解为由集合中的部分元素所组成的集合.若，则集合中含有集合中的所有元素，但此时我们也说集合是集合的子集.若，则集合中不含集合中的任何元素，此时我们也说集合是集合的子集. 2．子集的性质 ⑴任何一个集合是它本身的子集，即； ⑵对于集合,,,如果,且,那么(传递性). 知识点三 集合相等 1．集合相等的概念 文字语言：一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 也就是说，若,且,则 符号语言：对任意,且任意,则 图形语言： 2．集合相等的性质 (1)满足且； (2)两个集合中的元素完全相同 知识点四 真子集 1．真子集的概念 文字语言：如果集合是集合的子集，且在集合中至少存在一个元素不是集合的元素,我们称集合是集合的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素,且,则(或),读作“真包含于”(或“真包含”) 图形语言： 2．真子集的性质 (1)对于集合,,若,且,则 (2)传递性:对于集合,,,如果,且,那么 知识点五 空集 1．空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为.例如，集合,由于方程在实数范围内无解，因此上述集合中没有元素，可用空集表示，即. 2．空集的性质 (1)空集只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何集合的子集，即； (3)空集是任何非空集合的真子集，即若,则,反之也成立. 注：①空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解题过程中容易被忽视，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. ②,,的关系: 是由实数组成的单元素集(常将只有一个元素的集合称为单元素集)，所以 ,但,. 拓展点1 判断集合与集合关系的方法 判断两个集合间的关系的常用方法有列举法、集合元素特征法、数形结合法. 1．列举法 对于元素都可以逐一列举出来的两个集合，判断它们之间的关系时常常采用列举法，即将两个集合分别用列举法表示，通过观察元素之间的关系作出判断. 2．集合元素特征法 首先确定集合的元素是什么，弄清构成集合的元素的特征，再利用集合元素的特征判断两个集合间的关系. 一般地,设,. ①若由能推出,则; ②若由能推出,则; ③若,可以互相推出,则; ④若由推不出,且由推不出,则,间无包含关系. 3．数形结合法 对于用不等式表示的数集，可在数轴上表示出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍. 拓展点2 子集的个数 若有限非空集合中有个元素，则 (1)集合的子集个数为； (2)集合的真子集的个数为 (3)集合的非空子集的个数为； (4)集合的非空真子集的个数为 (5)若集合有个元素,集合有个元素,且,则符合条件的集合有个. 题型1 集合间关系的判断 考点1 列举法 1．已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 考点2 利用元素的特征判断 3．已知集合，，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 考点3 数形结合法 5．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 题型2 确定集合的子集、真子集 7．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 11．（多选）（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 12．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 13．已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 题型3 集合相等与空集 14．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 16．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 17．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 18．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型4 由集合间关系求参数 考点1 由有限集之间的关系求参数 21．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 22．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 24．已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 26．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 27．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点2 由无限集之间的关系求参数 28．已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 29．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 6．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．设a，b是实数，集合，，且，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 11．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 三、填空题 12．已知集合，且，则 . 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 14．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 四、解答题 15．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 16．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 19．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 题型1 集合间关系的判断 4 考点1 列举法 4 考点2 利用元素的特征判断 5 考点3 数形结合法 6 题型2 确定集合的子集、真子集 7 题型3 集合相等与空集 10 题型4 由集合间关系求参数 13 考点1 由有限集之间的关系求参数 13 考点2 由无限集之间的关系求参数 17 基础过关自测 18 知识点一 图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 图. 注：①表示集合的 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. ②用图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点二 子集 1．子集的概念 文字语言：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集. 符号语言：对任意元素，必有,则记作(或),读作“包含于”(或“包含”). 图形语言： 注：①集合是集合的子集的含义：集合中的任何一个元素都是集合中的元素，即由能推出 .例如， ,则. ②如果集合中存在不属于集合的元素，那么集合不含于集合，记作,读作“不含于”.例如,,，集合中的元素不属于集合，说明集合不是集合的子集，即集合不含于集合. ③在子集的定义中，不能将集合理解为由集合中的部分元素所组成的集合.若，则集合中含有集合中的所有元素，但此时我们也说集合是集合的子集.若，则集合中不含集合中的任何元素，此时我们也说集合是集合的子集. 2．子集的性质 ⑴任何一个集合是它本身的子集，即； ⑵对于集合,,,如果,且,那么(传递性). 知识点三 集合相等 1．集合相等的概念 文字语言：一般地，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 也就是说，若,且,则 符号语言：对任意,且任意,则 图形语言： 2．集合相等的性质 (1)满足且； (2)两个集合中的元素完全相同 知识点四 真子集 1．真子集的概念 文字语言：如果集合是集合的子集，且在集合中至少存在一个元素不是集合的元素,我们称集合是集合的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素,且,则(或),读作“真包含于”(或“真包含”) 图形语言： 2．真子集的性质 (1)对于集合,,若,且,则 (2)传递性:对于集合,,,如果,且,那么 知识点五 空集 1．空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫作空集，记为.例如，集合,由于方程在实数范围内无解，因此上述集合中没有元素，可用空集表示，即. 2．空集的性质 (1)空集只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何集合的子集，即； (3)空集是任何非空集合的真子集，即若,则,反之也成立. 注：①空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解题过程中容易被忽视，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. ②,,的关系: 是由实数组成的单元素集(常将只有一个元素的集合称为单元素集)，所以 ,但,. 拓展点1 判断集合与集合关系的方法 判断两个集合间的关系的常用方法有列举法、集合元素特征法、数形结合法. 1．列举法 对于元素都可以逐一列举出来的两个集合，判断它们之间的关系时常常采用列举法，即将两个集合分别用列举法表示，通过观察元素之间的关系作出判断. 2．集合元素特征法 首先确定集合的元素是什么，弄清构成集合的元素的特征，再利用集合元素的特征判断两个集合间的关系. 一般地,设,. ①若由能推出,则; ②若由能推出,则; ③若,可以互相推出,则; ④若由推不出,且由推不出,则,间无包含关系. 3．数形结合法 对于用不等式表示的数集，可在数轴上表示出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍. 拓展点2 子集的个数 若有限非空集合中有个元素，则 (1)集合的子集个数为； (2)集合的真子集的个数为 (3)集合的非空子集的个数为； (4)集合的非空真子集的个数为 (5)若集合有个元素,集合有个元素,且,则符合条件的集合有个. 题型1 集合间关系的判断 考点1 列举法 1．已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先求出集合，再结合集合间包含关系的定义判断 【详解】解：集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以． 故选：B． 考点2 利用元素的特征判断 3．已知集合，，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 4．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 考点3 数形结合法 5．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 6．指出下列各组集合之间的关系： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】 是的真子集 是的真子集 是的真子集 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的表示方法，求得集合或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】（1）由集合和，所以是的真子集． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）由集合与集合都表示正奇数组成的集合，但，所以，且，所以是的真子集． （4）由集合和，所以是的真子集． 故答案为：是的真子集；；是的真子集；是的真子集． 题型2 确定集合的子集、真子集 7．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据集合子集的定义，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 8．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，，，则集合C的子集有（   ） A．64个 B．63个 C．16个 D．15个 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据题意，求得集合，结合集合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，，且， 因为，，可得集合，所以集合的子集有个. 故选：C. 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 11．（多选）（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 12．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用 【分析】分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【详解】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 13．已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【详解】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B 题型3 集合相等与空集 14．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 15．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【知识点】列举法表示集合、判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 16．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 17．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 18．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 19．（24-25高一上·天津·阶段练习）以下关系①；②；③；④；⑤中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是集合的元素，所以，故①正确； 对于②：因为是集合的元素，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为，两个集合的元素全不相同，所以与之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为，两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，则，故⑤对； 综上所述：正确的个数为3. 故选：C. 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】空集的性质及应用 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型4 由集合间关系求参数 考点1 由有限集之间的关系求参数 21．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 22．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 23．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 24．已知集合，，若A，B关系如图所示，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】解出集合，再根据求出的取值范围. 【详解】由题意可知，根据图示可知，所以的取值范围是. 故选：D 25．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可根据子集关系求解. 【详解】因为集合，， 所以：当时，，满足，因此为所求； 当时，，由得或，解得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 26．已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 27．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【知识点】求集合的子集（真子集）、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 考点2 由无限集之间的关系求参数 28．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若A为空集，求实数a的取值范围； 【答案】； 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据给定条件，利用空集的意义列式作答； 【详解】因是空集，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 29．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 30．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可. 【详解】显然，，①③正确； ，②正确 在中，当时， 即有 因此，④正确 正确命题的个数是 故选：D 3．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 4．若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求集合的子集（真子集）、子集的概念 【分析】根据题意，转化为方程只有一个解，分和，两种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，结合有且仅有2个子集， 即方程组只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，，满足条件； 当时，，解得或， 综上，实数的最小值为． 故选：A. 5．（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 6．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A 7．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 8．设a，b是实数，集合，，且，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、公式法解绝对值不等式 【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合， 或 又，所以或 即或，即 所以的取值范围为 故选：D 二、多选题 9．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】根据条件得到，从而得到选项A正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B，C和D逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】易知方程无解，所以，所以选项A正确， 因为，所以选项B错误， 因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确， 又空集是任何集合的子集，所以选项D正确， 故选：ACD. 10．下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合是否相等、空集的性质及应用 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，对集合是否为空集进行分类讨论，再对参数利用元素与集合间的关系进行分类计算即可. 【详解】将整理可得， 由可得，当时，可知，此时满足题意； 当时，可知，则易知，； 又，所以是方程的根； 即，所以，解得或； 经检验符合题意； 综上可知，或或. 故选：ABD 三、填空题 12．已知集合，且，则 . 【答案】0或 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 14．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 四、解答题 15．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 16．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 19．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$