2025年高二下学期数学期末押题卷（三）-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019）

2025年高二下学期数学期末押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 2．2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 3．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 4．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C．或 D． 5．已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 6．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（    ） A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件 C． D． 7．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B． C． D． 10．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量的方差，则 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 D．若随机变量服从二项分布，则的分布列可表示为， 11．甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ． 13．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种． 14．已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 16．已知，为常数. (1)若，求在上的单调区间； (2)若，在上的最小值为，求的值. 17．已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 18．学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 19．已知函数，. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学期末押题卷（三） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果. 【详解】成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或. 故选：C. 2．2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 3．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 4．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求导函数，再分类讨论大小根据极值点求参数. 【详解】因为若为函数的极大值点, 所以, , 当,单调递减，单调递增, 所以是的极大值点符合题意； 当时， 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极大值点符合题意； 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极小值点不符合题意； 当即,单调递增,无极值点不符合题意. 故或. 故选：C. 5．已知，则的值为（    ） A．255 B．256 C．511 D．512 【答案】A 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. 6．甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（    ） A．事件，，是两两互斥的事件 B．事件与事件为相互独立事件 C． D． 【答案】B 【分析】由互斥事件，互相独立事件的概念以及条件概率的计算公式逐项判断即可. 【详解】由题意可得，，， 显然事件，，是两两互斥的事件，故A正确； ，故D正确； ，， 所以，故事件与事件不是相互独立事件，故B错误； ，故C正确； 故选：B. 7．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 故选：D. 8．已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推关系代入即可求解AB，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和，结合等比求和公式求解CD. 【详解】对于A选项， 取，得，又，所以， 取，得，所以，显然， 即数列一定不是等比数列，所以A错误； 对于B选项， 取，得，取，得，所以，所以B正确； 对于C，D选项， 由，得， 又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以， ，， ， 所以C，D均正确． 故选:BCD． 10．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量的方差，则 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 D．若随机变量服从二项分布，则的分布列可表示为， 【答案】BC 【分析】利用随机变量的线性关系：，正态分布的概率性质，超几何分布的期望公式，二项分布的概率计算公式，就能解决各选项问题. 【详解】对于A，由方差性质可知：，所以A是错误的； 对于B，由于的均值是，所以, 又因为，所以， 则，所以B是正确的； 对于C，由于服从超几何分布，所以，所以C是正确的； 对于D，由于服从二项分布，所以，所以D是错误的； 故选：BC. 11．甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确. 【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知， 对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确； 对于B，易知随机变量的所有可能取值为； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得 ， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得 ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望值， 可得，即，可得B正确； 对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ． 【答案】 【分析】根据等差前项和的性质即可结合等差中项求解. 【详解】． 故答案为： 13．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 种． 【答案】72 【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果. 【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72 14．已知函数，若在处取得极值，不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数极值点可求得，依题意只需在上恒成立即可，令函数并利用导数求出其在上的最小值即可得结果. 【详解】由题意得，，故， 取，，， 当，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 为函数的极值点，满足要求，故， 所以即在上恒成立， 只需在上恒成立； 令，则，令，解得； 当时，，可知在上单调递减； 当时，，可知在上单调递增； 所以在为在内唯一的极小值点，也是最小值点， 故，即， 即只需即可. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； (2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 【答案】(1)；37 (2)不能 【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论； （2）根据题给数据分析列联表求解得出结论 【详解】（1）由表中的数据可知，， ， ，， 不满意人数与月份之间的回归直线方程为， 当时， 预测该小区10月份对这款不满意人数为37； （2）提出假设：是否使用这款与性别无关， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们不能推断不成立， 即不能认为使用这款与性别有关. 16．已知，为常数. (1)若，求在上的单调区间； (2)若，在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调区间； （2）求导，分析可知，则在上单调递减，进而可得最值，列式求解即可. 【详解】（1）若，则，可得， 且，令，可得；令，可得； 所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意可得：， 若，，则，可得， 可知在上单调递减， 则在上的最小值为，解得. 17．已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为． (1)求； (2)记，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求； （2）先令，则，再令，则即可求解. 【详解】（1）由题意，二项式的通项公式为， 根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得 ，即， 解得. （2）由（1）可知， 令，则， 令，则， 则. 18．学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望； (3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)13个工时 【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可； （2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望公式和性质进行求解即可. 【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件. 则， 所以. （2）依题意知服从超几何分布，且， ， 所以的分布列为： 0 1 2 ； （3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为， 则的所有可能取值为，的所有可能取值为， ，， ，， 有名女生参加活动，则男生有名参加活动.， 所以. 即两人工时之和的期望为13个工时. 19．已知函数，. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）参变分离后可得在上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解； （2）构造函数，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程的实数根的个数. 【详解】（1），则有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 即有，故； （2）当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下： 当时，令，即， 令，则， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 故存在，，使， 由，故是方程的一个根， 则，，又时，， 故存在，使，即是方程的一个根， 存在，使，即是方程的一个根， 综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$