2025年高二下学期数学期末押题卷（一）-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019）

2025年高二下学期数学期末押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．33 B．44 C．66 D．88 2．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 3．某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（    ）（参考数据:若，则 A．134 B．120 C．116 D．110 4．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．在处的切线的斜率大于0 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．是函数的最小值 5．若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入（单位：万元）的关系如下表： 学历 初中 职中 高中 大专 本科 教育级别 3 4 5 6 7 月均纯收入 0.40 0.55 0.70 1.15 1.20 由回归分析，回归直线方程的斜率，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为（    ） A．1.40万元 B．1.42万元 C．1.44万元 D．1.46万元 6．已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，其中实数，，且，则（    ） A．当时，没有极值点 B．当有且仅有3个零点时， C．当时，为奇函数 D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，，则 ． 13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种． 14．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 16．高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的名学生，其中男生占调查人数的，已知男生有的人选了物理，而女生有的人选物理. (1)完成下列列联表： 物理 历史 总计 男生 女生 总计 (2)若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？ (3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率. 附： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 18．四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 19．已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点； (3)证明：. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高二下学期数学期末押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．33 B．44 C．66 D．88 【答案】B 【分析】将用和表示，计算出的值，再由得的值. 【详解】依题意，是等差数列，设其公差为，由， 所以，即， 故选：B. 2．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A． B．945 C．2835 D． 【答案】D 【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解. 【详解】令，得，得， 则的展开式的通项， 令，得，则，故展开式中的系数为， 故选：D． 3．某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（    ）（参考数据:若，则 A．134 B．120 C．116 D．110 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解. 【详解】依题意，， 显然， 所以等级分数线大概为分. 故选：D 4．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．在处的切线的斜率大于0 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．是函数的最小值 【答案】A 【分析】根据的图像分析的单调性和最值，即可判断BCD；对于A：根据导数的几何意义分析判断. 【详解】由图象可知：当时，；当时，（当且仅当时，等号成立）； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则为的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD错误； 对于A：可知，即在处的切线的斜率大于0，故A正确； 故选：A. 5．若将文盲定义为0，半文盲定义为1，小学定义为2，初中定义为3，职中定义为4，高中定义为5，大专定义为6，大学本科定义为7，硕士及以上学历定义为8，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入（单位：万元）的关系如下表： 学历 初中 职中 高中 大专 本科 教育级别 3 4 5 6 7 月均纯收入 0.40 0.55 0.70 1.15 1.20 由回归分析，回归直线方程的斜率，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为（    ） A．1.40万元 B．1.42万元 C．1.44万元 D．1.46万元 【答案】D 【分析】求出样本中心，根据回归直线过样本中心点即可求得回归方程，再将带入回归方程即可得解. 【详解】由题可设回归直线方程为， 又， 所以，故， 所以当时，. 故选：D. 6．已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，根据独立事件概率乘法公式求，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A， “从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B， 则， 所以. 故选：B. 7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递减， 可得在恒成立，即恒成立， 设，则，所以， 所以在单调递减，所以. 故选：B． 8．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案. 【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果， 因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件. 其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为. 同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为. 所以每一轮甲得分低于3分的概率为． 设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分. 则，. 事件可分三类情形： ①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为； ②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为； ③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为. 所以， 所以. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确， 对于选项C，，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：BCD. 10．已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出，，，，即可判断A选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B，C，D选项的正确性. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以，故A正确； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误； 对于C，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确； 对于D，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，结合以上分析， 所以，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数，其中实数，，且，则（    ） A．当时，没有极值点 B．当有且仅有3个零点时， C．当时，为奇函数 D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条 【答案】BCD 【分析】对A，直接代入求导即可得到其极值点；对B，求导得到的单调性，再根据其零点个数得到不等式组，解出即可；对C，代入，化简即可；对D，设切点，求出切线方程，代入，再转化得，转化为直线与的交点个数问题. 【详解】对A，当时，， 则，当时，， 当或时，， 所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A错误； 对B，当时，， 当，，当或时，， 即在上单调递减，在和上单调递增. 当有且仅有3个零点时，且得， 得，故B正确； 对C，当时，， ， 设，定义域为，且， 所以为奇函数，选项C正确； 对D，，不在曲线上. 设过点的曲线切线的切点为，， 过点的曲线切线的方程为， 又点在的切线上，有， 即，设，， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 则，， ，根据图象知与只有一个交点，选项D正确. 故选；BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将代入切线方程得，最后转化为直线与函数的交点个数问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等比数列中，，，则 ． 【答案】31 【分析】设，则， 利用等比数列的性质进行求解， 【详解】设，则 ， 所以． 故答案为：31 13．2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有 种． 【答案】14 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，有种安排方法， ②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况， 则有种安排方法，     故答案为：14 14．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解. 【详解】的定义域为， ， 令，得. 令，则. 令，则，即，即. 当时，单调递增；当时，单调递减. ， 又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 作出的草图如图， 由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试． (1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数） (2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，． 【答案】(1)159； (2)分布列见解析，期望为19.5. 【分析】（1）分析可知，计算出的值，乘以可得结果； （2）分析可知随机变量的取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由学生初试成绩服从正态分布，其中，，得， 因此， 所以估计初试成绩不低于的人数为人. （2）的可能取值为，，，， 则，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为. 16．高考招生制度改革后，我省实行“3+1+2”模式，“3”为语文、数学、外语3门统一科目，“1”为考生在物理、历史两门科目中选择1门作为首选科目，“2”为考生在思想政治、地理、化学、生物学4门科目中选择2门作为再选科目.有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的名学生，其中男生占调查人数的，已知男生有的人选了物理，而女生有的人选物理. (1)完成下列列联表： 物理 历史 总计 男生 女生 总计 (2)若在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？ (3)从物理类考生和历史类考生中各抽取1人，若抽取的2人性别恰好相同，求这2人是女生的概率. 附： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)120 (3) 【分析】（1）根据题意求出列联表中的数据即可； （2）根据卡方公式得，则，解出即可； （3）事件表示“2人性别恰好相同”，事件表示“2人性别相同且是女生”，根据条件概率的计算方法即可得到答案. 【详解】（1）依题意得，被调查的男生人数为，其中有的男生选物理； 被调查的女生人数为，其中有的女生选物理； 则列联表如下： 物理 历史 总计 男生 女生 总计 （2）由列联表数据，得. 要使在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可认为“性别与选科有关”， 则，解得，又且，所以， 即本次被调查的人数至少是120. （3）设事件表示“2人性别恰好相同”，事件表示“2人性别相同且是女生”； 事件包含的基本事件数为， 事件含的基本事件数为， 所求的条件概率为. 17．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 18．四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解； （2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解. 【详解】（1）根据题意，得， 因为 ， 同理， 所以 所以总样本的平均数为，方差． （2）依题意可知，的所有可能取值为， 设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， “第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， 且，则，， 所以， ， ， 则的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 19．已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：函数在区间内有且只有一个极值点； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导得，再求出，从而得到切线方程； （2）求导得，利用隐零点法即可证明； （3）令，则，得到，再令，同样求导得，则，则原不等式即证明. 【详解】（1）的定义域为，且. 因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）. 当时，因为和都是增函数， 所以是增函数. 又因为， 所以，使得. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点. （3）令，则. 当时，：当时，. 于是，在上单调递减，在上单调递增. 因此，. 令，则， 当且仅当时取等号. 于是，是增函数. 因此，当时，. 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是构造两函数和得到，，再相加即可得到原题不等式. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$