期末高分必刷题80道（基础类）-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019）

期末高分必刷题80道（基础类） 一、单选题 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 2．（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 3．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 4．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知下列说法： ①对于经验回归方程，变量增加一个单位时，平均增加3个单位； ②甲､乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好； ③对分类变量与，随机变量越大，则判断“与有关系”的把握程度越大； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1. 其中说法错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二下·江苏常州·期中）随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建·模拟预测）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 12．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 13．（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·江苏盐城·期中）五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 16．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（    ） A．r的取值范围是 B．r的取值范围是 C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 20．（24-25高二上·河南周口·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（    ） A．变量的样本相关系数为正数 B．经验回归直线恒过 C．每增加1个单位，平均减少1.6个单位 D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中，线性相关系数的取值范围为 B．回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 D．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中） 23．（2024·广东广州·模拟预测）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） 参考公式：， A．当时， B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．，时，成对样本数据的线性回归方程满足 24．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（   ） A．y与x的样本相关系数 B．回归直线恒过点 C． D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 27．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 28．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立，则 C．若，则 D．若，则、相互独立 29．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 30．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D．的系数为24 32．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 33．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 34．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 35．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高二上·河北廊坊·期末）在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是公差为1的等差数列 37．（24-25高二上·云南昆明·期末）等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时， D．时n的最小值为10 38．（24-25高二下·安徽·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 三、填空题 39．（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 40．（23-24高二下·江苏泰州·期末）由数据可得关于的线性回归方程为，若，则 . 41．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数，若在上单调递减，则的取值范围 ． 42．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 43．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 44．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 45．（24-25高二下·北京·期中）在各项均为正数的等比数列中， 则 . 46．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还 元.(用，表示) 47．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知项数为10的单调递增数列，其前项和为，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 48．（24-25高二下·云南·期中）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 49．（20-21高二下·江苏无锡·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，. 50．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1200 根据列联表中的数据，经计算得到 （精确到0.001）；依据数据可作出的判断是 . 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 51．（23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 52．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 53．（24-25高二下·安徽·期中）现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为 . 54．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在 的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 55．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 56．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 57．（24-25高二下·天津和平·期中）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法.(用数字作答) 四、解答题 58．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 60．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 61．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 62．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 63．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 64．（24-25高二下·广东·期中）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 65．（23-24高二下·北京丰台·期末）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 66．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 67．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 68．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 69．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 70．（23-24高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 71．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 72．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 73．（24-25高二上·上海·期末）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. (1)求的值； (2)求这组数据的第75百分位数； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 74．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列前项的和，求. 75．（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 76．（24-25高二下·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 77．（24-25高二上·上海·期末）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： ①每位学生每天最多选择1项； ②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 (1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω； (2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率． 78．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 79．（2025·福建龙岩·二模）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中的数据，计算相关系数； (2)求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 80．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末高分必刷题80道（基础类） 一、单选题 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表： A B 总计 认可 15 8 23 不认可 5 12 17 总计 20 20 40 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 附：． 根据表中的数据，下列说法中，正确的是（    ） A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】C 【分析】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断 【详解】由 对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误； 对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误； 对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确； 对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·山东烟台·期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出，经查阅独立性检验的小概率值和相应的临界值，则下列说法正确的是（    ） A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1% 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用独立性检验的意义逐项判断即得. 【详解】由，得吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，D正确； 卡方检验仅说明吸烟与患肺癌两个变量间的关联性，无法量化个体情况，这两个变量间也无因果关系，ABC错误. 故选：D 3．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 4．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得：， 所以， 故选：A. 5．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的正负，再利用等比数列性质求解. 【详解】等比数列的公比为，则，而， 所以. 故选：B 6．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列说法正确的个数是（    ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 7．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知下列说法： ①对于经验回归方程，变量增加一个单位时，平均增加3个单位； ②甲､乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好； ③对分类变量与，随机变量越大，则判断“与有关系”的把握程度越大； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1. 其中说法错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据回归方程、相关指数、卡方值、相关系数的实际意义判断各项的正误即可. 【详解】①对于经验回归方程，变量增加一个单位时，平均减少5个单位，错； ②甲､乙两个模型的分别为0.98和0.80，由甲模型的值较大，故模型甲的拟合效果更好，对； ③对分类变量与，随机变量越大，变量的相关性越强，则判断“与有关系”的把握程度越大，对； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1，错. 所以，错误的共有2个. 故选：B 8．（24-25高二下·江苏常州·期中）随机变量，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式可求出的值，再利用正态分布密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为，， 因为，解得， 因为，， 所以，， 故. 故选：D. 9．（24-25高二下·天津·期中）甲罐中有3个红球、2个黑球乙罐中有4个红球、2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐．以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出两个球，以表示事件“由乙罐取出的两个球均是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式直接计算可得结果. 【详解】易知，； 所以. 故选：C 10．（2025·福建·模拟预测）2024年国家公务员考试笔试已于2023年11月25日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分布.若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的概率公式和二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因考生成绩服从正态分布， 所以， 故任意选取3名考生， 至少有2名考生的成绩高于90的概率为． 故选：B. 11．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则，， 所以，． 故选：A. 12．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 13．（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用多项式的乘法及组合，即可求解. 【详解】因为可看成个相乘， 由多项式的乘法及组合，得展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为， 故选：B. 14．（24-25高二下·江苏盐城·期中）五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数. 【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种. 故选：D 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 16．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式. 【详解】，得， 所以，，， 所以函数在单调递增， 所以，即，即， 即，且，得且. 故选：C 17．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应的函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 18．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 二、多选题 19．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（    ） A．r的取值范围是 B．r的取值范围是 C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 【答案】AC 【分析】利用相关系数的取值范围判断AB；利用相关系数的意义判断CD. 【详解】对于AB，样本相关系数r的取值范围是，A正确，B错误； 对于CD，越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强， 越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误. 故选：AC 20．（24-25高二上·河南周口·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为为常数，所以0，A错误； 因为，B正确； 因为，C正确； 因为 ，D正确. 故选：BCD 21．（23-24高二下·山东烟台·期末）已知某两个变量具有线性相关关系，由样本数据确定的样本经验回归方程为，且.若剔除一个明显偏离直线的异常点后，利用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为，由修正后的方程可推断出（    ） A．变量的样本相关系数为正数 B．经验回归直线恒过 C．每增加1个单位，平均减少1.6个单位 D．样本数据对应的残差的绝对值为0.2 【答案】BCD 【分析】利用已知求得样本中心点，进而可求得剔除异常点后，新数据的样本中心点，据此可求回归方程，依据选项条件计算可判断选项的正误. 【详解】将代入可得， 剔除异常点后，新的平均值为，， 代入，可得，解得， 所以修正后的回归直线方程为， 对于A：因为的系数为，故相关系数也应为负数，故A错误； 对于B： 恒过，故B正确； 对于C：因为的系数为，所以每增加1个单位，平均减少，故C正确； 对于D：令，可得，所以残差的绝对值，故D正确. 故选：BCD. 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（    ） A．回归分析中，线性相关系数的取值范围为 B．回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好 C．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 D．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中） 【答案】BCD 【分析】利用回归分析的相关定义和独立性检验公式对各个选项逐一分析判断即可得到结果. 【详解】选项A，回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故选项A错误； 选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中， 模型的拟合效果越好，故选项B正确； 选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中， 即模型的拟合效果越好，故选项C正确； 选项D，在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则 ，因此也变成原来的2倍，故选项D正确； 故选：BCD. 23．（2024·广东广州·模拟预测）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） 参考公式：， A．当时， B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．，时，成对样本数据的线性回归方程满足 【答案】ACD 【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误. 【详解】对于A，当时，变量和变量正相关，则，A正确； 对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C，当，时，不变且， ，C正确； 对于D，当，时，不变且， ，D正确. 故选：ACD. 24．（24-25高二上·陕西渭南·期末）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7 根据表中的数据可得到线性回归方程为，则（   ） A．y与x的样本相关系数 B．回归直线恒过点 C． D．该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 【答案】ABC 【分析】计算平均数可得样本中心，即可判断BC，根据回归方程即可结合相关系数的定义求解A,代入计算即可判断D. 【详解】由表中数据可得，故样本中心为，故B正确， 由于线性回归方程为，斜率为正数，故相关系数，A正确， 将代入可得，故C正确， 当时，，故该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用约为12.38万元，故D错误， 故选：ABC 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，因为，即，可得，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：AD. 26．（23-24高二下·四川德阳·期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合全概率公式和条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 27．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 28．（24-25高二下·河南三门峡·期末）已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若、相互独立，则 C．若，则 D．若，则、相互独立 【答案】ABC 【分析】根据条件概率公式，全概率公式，以及概率的加法公式分别判断各选项. 【详解】A选项：由条件概率公式可知，即，A选项正确； B选项：由独立事件的定义可知，当、相互独立时，，B选项正确； C选项：由，即，所以，C选项正确； D选项：是条件概率的基本性质，无论事件、是否相互独立，该等式恒成立，D选项错误； 故选：ABC. 29．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 30．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断ACD的正误，利用二项展开式的通项公式可判断B的正误. 【详解】对A：令得，A选项错误； 对B：，B选项正确； 对C：令得，又， 所以，C选项错误； 对D：令得， 又，所以，D选项正确； 故选：BD. 31．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为 C．存在常数项 D．的系数为24 【答案】ABC 【分析】求出展开式的通项公式判断CD；利用赋值法计算判断A；利用二项式系数的性质判断B. 【详解】的展开式通项公式， 对于A，取，得各项系数之和为，A正确； 对于B，二项式系数之和为，B正确； 对于C，由，得，则展开式的第3项为常数项，C正确； 对于D，方程无解，即展开式中没有含的项，D错误. 故选：ABC 32．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 【答案】BCD 【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得． 【详解】. 当，时，，所以对恒成立， 设，则且， 则解得. 故选：BCD． 33．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 34．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 35．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 36．（24-25高二上·河北廊坊·期末）在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是公差为1的等差数列 【答案】BD 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解公比判断A，根据求和即可求解B，根据即可求解C，根据对数的运算性质，结合等差数列的特征即可求解D. 【详解】由可得，结合， 故是的两个实数根， 由于单调递增，故，因此，故，A错误； ，故B正确； 对于C，，故，因此不是等比数列，C错误； 对于D，，故是公差为1的等差数列，D正确. 故选：BD 37．（24-25高二上·云南昆明·期末）等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（   ） A． B． C．取得最小值时， D．时n的最小值为10 【答案】AD 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据单调性可得时，，当时，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，故， 由于是递增数列，故，因此，故A正确，B错误， 进而可得当时，，当时， 因此取得最小值时，或，C错误， 由于， 故当时，，因此时n的最小值为10，D正确， 故选：AD 38．（24-25高二下·安徽·期中）已知，则下列说法正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B． C．展开式中系数最大的项为第1350项 D． 【答案】ABD 【分析】利用二项式系数的性质，二项式展开式公式，结合赋值法求奇偶项系数和，即能判断各选项. 【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，由， 则，故B正确； 对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误； 对于D，令，则， 令， 上两式作差可得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 39．（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果. 【详解】，，因为， 故在上是增函数，，， 即． 故答案为：. 40．（23-24高二下·江苏泰州·期末）由数据可得关于的线性回归方程为，若，则 . 【答案】50 【分析】根据给定条件，利用回归直线过样本中心点列式计算即得. 【详解】依题意，设样本数据的中心点为，则， 由关于的线性回归方程为，得，而， 所以. 故答案为：50 41．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数，若在上单调递减，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由函数在上单调递减，则在上恒成立，使用参数分离即可求解. 【详解】由题意，函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即. 所以的取值范围为. 故答案为：. 42．（24-25高二上·江苏南京·期末）在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为 . 【答案】18 【分析】根据长方体的体积公式求得，求得函数的定义域，利用导数法求得最大值即可. 【详解】设小正方形的边长为，依题意，箱子容积， 由，解得，所以的定义域为. 则， 所以在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以当时，取到最大值，且最大值为. 故答案为：18 43．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： 44．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为： 45．（24-25高二下·北京·期中）在各项均为正数的等比数列中， 则 . 【答案】2 【分析】由等比中项性质求得，结合题设求出公比，即可得解. 【详解】因是正项等比数列，设公比为，则， 由，可得， 又，则公比， 所以. 故答案为：2 46．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还 元.(用，表示) 【答案】 【分析】小李的还款x元每月要产生复利，小李的贷款元每月也要产生复利，结合等比数列求和公式运算求解即可. 【详解】设每月还元， 按复利计算，则， 即，解得. 故答案为：. 47．（24-25高二下·北京延庆·期中）已知项数为10的单调递增数列，其前项和为，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，，，则 ；数列所有项的和为 . 【答案】 0 254 【分析】根据前3项成等差数列，结合等差中项概念求出，后8项成等比数列，设公比为，结合求出，由求得答案. 【详解】因为该数列的前3项成等差数列，则，解得， 又后8项成等比数列，设公比为，则， 所以，即，解得或， 又因为为单调递增数列，所以， 所以. 故答案为：0；254. 48．（24-25高二下·云南·期中）记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】根据数列前n项和与通项公式的关系，求出数列通项公式，求出结果. 【详解】由可知，当时，， 当时，，符合通项公式，所以， 同理可得，所以． 故答案为：. 49．（20-21高二下·江苏无锡·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为中学生追星与性别有关，则男生至少有 人. 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ，. 【答案】30 【分析】设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则， 由，解得， 由题知应为6的整数倍， 若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 50．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表： 男性 女性 合计 满意 560 540 1100 不满意 40 60 100 合计 600 600 1200 根据列联表中的数据，经计算得到 （精确到0.001）；依据数据可作出的判断是 . 附：. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】 满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于0.05（或：有的把握认为满意度与性别有关）. 【分析】代入的计算公式，再和临界值比较，得到结论. 【详解】, 所以满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于（或：有的把握认为满意度与性别有关） 故答案为：；满意度与性别有关联，推断犯错误的概率不大于（或：有的把握认为满意度与性别有关） 51．（23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男市民 女市民 当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ． 附：，其中． 【答案】 【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，结合可得出的最小值. 【详解】由题意得， 并令，即， 近似解得，即，注意到， 故的最小值为. 故答案为：. 52．（24-25高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为 ． 【答案】 【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可. 【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环， 则， 故任取一支气枪射中10环的概率是； ②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：. 故答案为：①；②. 53．（24-25高二下·安徽·期中）现有5位同学报名参加学校的足球、篮球等4个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小明报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据条件概率公式结合组合数公式求解即可. 【详解】设事件为小明报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团， 则. 故答案为： 54．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在 的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 【答案】 【分析】写出展开式的通项，利用通项求出二项展开式中的系数，所有项的二项式系数和为. 【详解】二项式展开式的通项为（）， 令，解得， 所以，所以二项展开式中的系数为， 所有项的二项式系数和为. 故答案为：； 55．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【答案】 【分析】依题意只需另外三个人在､､三个位置进行全排列，利用排列数公式计算可得. 【详解】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为： 56．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 【答案】720 【分析】先将10个节目随意排列，有种排法，再根据相对顺序已定的排列模型求解 【详解】10个节目随意排列，有种排法； 原计划中的7个节目随意排列，有种排法． 保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有共有种． 故答案为: 57．（24-25高二下·天津和平·期中）如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有 种不同的着色方法.(用数字作答) 【答案】480 【分析】由分步乘法计数原理即可求解． 【详解】先给地区I染色有6种选择，再给地区II染色有5种选择，然后给地区III染色有4种选择，最后给地区IV染色也有4种选择， 综上所述，满足题意的染色方法共有种． 故答案为：480． 四、解答题 58．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 59．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据所证数列的结构，可知对题目所给等式取倒数，然后移项即可证明，然后求出数列 的通项，变形即可的通项； （2）用列项求和的方法即可. 【详解】（1）因为， ， 即， 数列是首项， 公差的等差数列， 故， （2）因为， =. 60．（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和为； (3)若的前项和为，求证：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式直接求解即可； （2）利用错位相减法求解数列的前项和； （3）结合等差数列前项和公式，即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以， 设等比数列的公比为， 因为，可得， 解得，所以. （2）因为， 所以， 则， 两式作差得：， 则，整理. （3）因为的前项和， 则，， 又， 所以. 61．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知数列满足，，，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据条件得到为等差数列，从而求出通项公式，再设的公比为，根据得到公比，求出通项公式； （2），错位相减法求和，得到答案. 【详解】（1）， 又，，故， 故为等差数列，首项为2，公差为2， 所以； 设的公比为，则， 又，故，解得， 又，所以； （2）， 设数列的前项和为， 则①， ②， 则①-②得 ， 故 62．（24-25高二上·北京昌平·期末）设，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0 (2) (3)729 【分析】（1）（2）（3）根据给定的展开式，利用赋值法计算得解. 【详解】（1）在展开式中，令，得：， 令，得：， 所以. （2）令，得：， 由（1）知，， 两式相加得：， 所以. （3）令，得：. 63．（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用与之间的关系，，当来进行求解出的通项公式即可进一步求解出； （2）利用错位相减法及公式法进行求和． 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 又满足上式，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，即． （2）由（1）知，， 所以，① ，② ①②得， 所以 ． 64．（24-25高二下·广东·期中）记为正项等比数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为， 因为，所以，所以． 又， 解得． 所以． （2）由题知， 所以， ， 两式相减得． 所以． 65．（23-24高二下·北京丰台·期末）2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部现看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)24 (2)16 (3)144 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可. 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种； （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种； （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 66．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数. (1)若是的极值点，求的值； (2)若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）对函数先求导，结合是的极值点计算出结果，再进行验证； （2）①由题意得函数的零点即方程的实根，对进行分类讨论，利用导数判断函数单调性求得最值，进而计算出实数的取值范围； ②构造函数利用函数导数判断函数单调性，根据函数单调性证明：. 【详解】（1），当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. （2）由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 67．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 68．（24-25高二上·山西·期末）已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三次函数在上不单调，只需导函数判别式大于0即可； （2）先判断单调性，再结合端点值即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为在上不单调，所以方程有两个不同的根， 则，解得或， 即实数的取值范围是. （2）因为，所以. 由，得或，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以在上的值域为. 69．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】（1）根据在点处的切线方程为即可求解； （2）由题意有，根据的范围分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 70．（23-24高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. (2),所以与有较强的相关性，该回归方程有价值. 【分析】（1）利用卡方检验公式即可求出，与临界值比较，即即可求解. （2）先利用给的数据求出和再利用回归方程的求出，代入到相关系数的公式中即可求解. 【详解】（1）零假设为：认为养宠物与性别无关； ， 依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. （2）由的取值依次为得， 回归方程为， ， ， ， ,与有较强的相关性，该回归方程有价值. 71．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【详解】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 72．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)能 【分析】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解； （2）求出与的概率，即可求解. 【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 73．（24-25高二上·上海·期末）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值）. (1)求的值； (2)求这组数据的第75百分位数； (3)当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的数学期望. 【答案】(1) (2)85 (3)1.2 【分析】（1）根据频率和为1求得， （2）根据上百分位数的定义分析求解； （3）根据题意分析可得，根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】（1）由题知：，解得； （2）设x为样本数据第75百分位数， 由于数据位于的频率为， 而位于的频率为， 由于，故第75百分位数位于， 则：，解得， 故这组样本数据的第75百分位数为85． （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知：． 随机变量， 随机变量X的期望. 74．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）设等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列前项的和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设出等差数列的公差，化简题目中的等式，可得答案； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为， 由题意，解得，所以. （2）， 所以数列的前50项和， 所以. 75．（24-25高二上·河南南阳·期末）某工厂有甲，乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一，二道加工工序合格的概率分别为． (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率． (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 【答案】(1)0.79 (2)应扩建甲车间 【分析】（1）根据相互独立事件、条件概率、全概率公式计算可得； （2）分别求出甲、乙车间占个零件获利的数学期望，比较即可得解. 【详解】（1）用事件表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则， ． ． （2）甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望为（元）， 因为，所以应扩建甲车间． 76．（24-25高二下·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1)答案见详解 (2)，. (3) 【分析】（1）由题意可知 的可能取值为 ，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1） 的可能取值为 则 ， 所以 的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”记为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到” 则. 77．（24-25高二上·上海·期末）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： ①每位学生每天最多选择1项； ②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 (1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω； (2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2)14，. 【分析】（1）根据给定条件，写出样本空间. （2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解，进而求出事件发生的概率. 【详解】（1）(音乐,口语), (音乐,阅读)，(音乐,编程)，(音乐,美术), (阅读,口语), (阅读,编程)，(阅读,美术)， (体育,口语), (体育,阅读)，(体育,编程)，(体育,美术), (编程,口语), (编程,阅读)，(编程乐,美术). （2）依题意，周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四， ①若周一选编程，则体育在周三或周四，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案； ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，有3种， 阅读在剩下的两天中选，有2种，共有6种方案； ③若周四选编程，则体育在周一或周三，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案， 所以不同选择方案共有（种）， 事件含有的样本点：(周一阅读,周二编程,周三体育), (周一阅读,周二编程,周四体育),(周一阅读,周二体育,周四编程)， 事件有3个样本点，事件发生的概率. 78．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 79．（2025·福建龙岩·二模）某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 (1)根据表中的数据，计算相关系数； (2)求特征量关于的线性回归方程，并预测当特征量为12时特征量的值． 参考公式：相关系数 ，． 参考数据：，，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意，根据相关系数的计算公式即可求解； （2）根据题意即可求解关于的线性回归方程，再将特征量为12代入即可求解． 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 相关系数． （2）由（1）知，， ， 所求的线性回归方程是． 当特征量为12时，可预测特征量． 80．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$