专题05 立体几何初步（3重点+17题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题05 立体几何初步 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：基本立体图形 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3、直观图的斜二测画法 （1）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （2）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2：基本图形位置关系 1、平面的基本性质 （1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． （2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 2、平面两条直线的位置关系 （1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． （2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （3）异面直线 ①异面直线的定义：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 ②异面直线所成角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 （2）直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b （3）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 （2）平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点3：空间图形的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 【题型1 空间几何体的结构特征辨析】 高妙技法 1、要全面理解几何体的结构特征，需要从不同的角度进行观察和分析，提高空间想象能力； 2、熟悉空间几何体的结构特征，根据题目条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后依据题意进行判断； 3、要说明一个命题是错误的，只需要举出一个反例即可． 1．（24-25高一下·河南·月考）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2．（24-25高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的是（    ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 3．（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 4．（24-25高一下·山西大同·月考）（多选）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【题型2 空间几何体最短路径问题】 高妙技法 求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤： 1、化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； 2、考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； 3、利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 5．（24-25高一下·浙江·月考）已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为 . 6．（24-25高一下·河北·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 直观图斜二测画法及其应用】 高妙技法 直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变． “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变． 9．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图，的斜二侧直观图为等腰直角，其中，则的面积为（    ） A．3 B．9 C． D． 10．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ） A．3 B． C．6 D． 11．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 12．（24-25高一下·重庆·月考）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C．12 D． 【题型4 球的截面性质与计算】 满分技法 球的截面问题的解题思路：一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截面）是将球的问题转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题． 13．（24-25高一下·河北·期中）若平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面的距离为，则球的表面积为 . 14．（24-25高二下·云南·开学考试）若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海·期中）已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 16．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为 ． 【题型5 与球有关的外接、内切问题】 高妙技法 外接球与内切球的解题思路 1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 17．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·江苏南京·月考）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为 . 20．（24-25高一下·广东惠州·期中）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为 cm. 【题型6 平面性质及等角定理应用】 高妙技法 1、平面基本事实及推论的概念辨析问题，要逐个讨论，正确地利用相关基本事实或推论进行论证，错误地要能举出反例． 2、等角定理是平面几何中的一个重要概念，它表明如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等． 21．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·广东湛江·期中）每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（    ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 23．（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（    ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 24．（24-25高一下·河南郑州·期中）（多选）下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【题型7 共面、共线、共点问题证明】 高妙技法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 25．（24-25高一下·河南·月考）“直线与直线相交”是“点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（24-25高一下·浙江·期中）已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（    ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 27．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·广西柳州·月考）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【题型8 线线、线面、面面平行的证明】 高妙技法 1、线面平行的证明方法 （1）线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． （2）面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行． 2、面面平行的证明方法 （1）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． （3）利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． （4）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 29．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: (1) (2)平面; 30．（24-25高一下·重庆·月考）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 31．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 32．（24-25高一下·江苏无锡·期中改）如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； 【题型9 平行关系中的动点探究问题】 高妙技法 应用线面平行的性质定理的关键点： 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内,所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面． 1、已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行与另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2、提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件． 33．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 35．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 36．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【题型10 线线、线面、面面垂直的证明】 高妙技法 1、直线与直线垂直的判定方法 （1）定义法:两条直线所成的角为90°，则这两条直线垂直． （2）利用直线与平面垂直的性质定理：． （3）若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则该直线也垂直于另一条：． （4）平面几何知识证明共面垂直(如：勾股定理逆定理,等腰三角形三线合一,菱形对角线等等)． 2、证明线面垂直的方法： （2）线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. （2）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. （3）性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. （4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 3、证明面面垂直的方法： （1）利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； （2）利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决． 37．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 38．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 40．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【题型11 垂直关系中的动点探究问题】 高妙技法 对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 41．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，．点D，E，F分别为，，的中点，连接BD，FE，CE，CF，BE．试问：线段BE上是否存在一点G，使得？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由． 42．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 43．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点H，使得平面?若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 44．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【题型12 空间几何体截面问题】 高妙技法 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 45．（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 46．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 47．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为 ． 48．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形．    (1)求证：平面． (2)，，求的值． 【题型13 空间线线角的求解】 高妙技法 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 49．（24-25高一下·安徽安庆·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高一下·河南·月考）在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·江苏常州·月考）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·山西·月考）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【题型14 空间线面角的求解】 高妙技法 1、利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： 第一步：在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直； 第二步：确定这个平面内的两条直线是相交直线； 第三步：根据判定定理得出结论． 2、线面垂直的判定定理的实质是由线线垂直推出线面垂直，途经是找到平面内的两条相交直线均与已知直线垂直． 53．（23-24高一下·江苏镇江·期末）将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 . 54．（24-25高一下·广西河池·月考）如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 55．（2025·湖北·三模）在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型15 空间面面角的求解】 高妙技法 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 57．（24-25高一下·天津·月考）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·河南·月考）如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一下·安徽·月考）如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 . 60．（23-24高二上·安徽合肥·月考）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 . 【题型16 空间几何体的表面积计算】 高妙技法 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加． 61．（24-25高一下·陕西·月考）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 62．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一下·湖北十堰·月考）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 64．（24-25高一下·安徽·月考）高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 cm². 【题型17 空间几何体的体积计算】 高妙技法 1、柱体的体积公式：V＝S底h；2、锥体的体积公式：V＝S底h 3、台体的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h.；4、球的体积公式：V＝πR3． 65．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．4 B．2 C． D．1 66．（24-25高一下·安徽安庆·月考）某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 67．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为 ． 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）下列命题中正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 2．（24-25高一下·河北承德·月考）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·河南·月考）（多选）如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，为顶点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）（多选）如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（   ） A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 6．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P使得平面 B．存在点P使得平面 C．若P是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 三、填空题 7．（24-25高一下·广西玉林·期中）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为 ． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 9．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为 ． 四、解答题 10．（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 11．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 12．（24-25高一下·浙江·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 真题感知 1．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ） A．9π B．10π C．12π D．14π 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（    ） A．3 B．2 C． D． 5．（24-25高一下·福建三明·期中）（多选）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线、、相交于同一个点 B．过点、、的截面面积为 C．三棱锥的高是 D．三棱锥外接球表面积为 6．（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（    ） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 7．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有 条. 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 . 9．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 10．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 立体几何初步 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：基本立体图形 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3、直观图的斜二测画法 （1）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （2）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图． 知识点2：基本图形位置关系 1、平面的基本性质 （1）基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． （2）基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 2、平面两条直线的位置关系 （1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． （2）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （3）异面直线 ①异面直线的定义：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 ②异面直线所成角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 （2）直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b （3）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 （2）平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 知识点3：空间图形的表面积与体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 【题型1 空间几何体的结构特征辨析】 高妙技法 1、要全面理解几何体的结构特征，需要从不同的角度进行观察和分析，提高空间想象能力； 2、熟悉空间几何体的结构特征，根据题目条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后依据题意进行判断； 3、要说明一个命题是错误的，只需要举出一个反例即可． 1．（24-25高一下·河南·月考）下列说法中正确的是（    ） A．棱柱的所有面都是四边形 B．棱柱的侧面一定是平行四边形 C．棱柱的侧棱不全相等 D．各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 【答案】B 【解析】对于A，三棱柱的两底面是三角形，故A错误； 对于B，由棱柱的定义可得棱柱的侧面一定是平行四边形，故B正确； 对于C，由棱柱的定义可得棱柱的侧面都是平行四形，由平行四边形的性质对边相等， 所以棱柱的侧棱全相等，故C错误； 对于D，各条棱长都相等的棱柱可能是正棱柱（如正六棱柱），但底面不一定是正方形， 故各条棱长都相等的棱柱不一定是正方体，故D错误.故选：B. 2．（24-25高一下·天津南开·期中）下列命题中正确的是（    ） A．直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大 C．棱锥的侧棱长不一定相等 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【解析】直角三角形绕其直角边旋转得到的旋转体是圆锥， 绕其斜边旋转得到的旋转体是两个共底的圆锥，故A错误； 圆锥的轴截面面积为，其中为母线长，为圆锥两条母线所成角的最大值， 由此可知，当时，轴截面面积最大， 当时，必存在的截面，使得截面面积取得最大值，故B错误； 由棱锥的定义可知，侧棱长可以相等，也可以不等，故C正确； 由棱台的定义可知，只有用平行于底面的平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故D错误.故选：C 3．（24-25高一下·浙江·月考）下列说法正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 D．棱台的侧棱都相等 【答案】C 【解析】对于A，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即A错误，反例如图： 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台错误，即B错误，反例如图： 对于C，圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，故C正确； 对于D，棱台是由平行于底面的平面截得的， 故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等，故D错误.故选：C. 4．（24-25高一下·山西大同·月考）（多选）下列选项中，不正确的是（    ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确．故选：ABC 【题型2 空间几何体最短路径问题】 高妙技法 求解空间几何体表面最短路径问题通常涉及以下步骤： 1、化曲为直：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路线转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路线； 2、考虑路径选择：在空间几何体的表面上，从一点到另一点的最短路径可能不是唯一的。有时需要考虑不同的路径选择，例如既走侧面又走底面的路径； 3、利用几何性质：在某些情况下，可以利用几何体的对称性或者特定的几何性质来简化问题。例如，在正方体或其他规则多面体上，可以利用对称性找到最短路径． 5．（24-25高一下·浙江·月考）已知正方体的棱长为2，若点是棱上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将正方体表面沿展开，如图所示 则. 6．（24-25高一下·河北·月考）如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为.故选：C. 7．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ，故选：C. 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由长方体的结构特征知，关于平面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时取等号. 所以的最小值为.故选：C 【题型3 直观图斜二测画法及其应用】 高妙技法 直观图与原图之间的“变”与“不变” “三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变． “三不变”：（1）平行性不改变；（2）与轴和轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变． 9．（24-25高一下·江苏徐州·月考）如图，的斜二侧直观图为等腰直角，其中，则的面积为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【解析】由于的直观图为等腰，其中，故, 故, 根据直观图面积和原图面积之间的关系式, 故.故选：D 10．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】如图，作线段轴，交轴于点，则， 所以边上的高为.故选：D. 11．（24-25高一下·福建三明·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】设轴与交点为D，因为轴，轴，所以， 因为轴，所以四边形为平行四边形，故. 又，结合轴，得，故. 所以四边形面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形OABC的面积为.故选：D. 12．（24-25高一下·重庆·月考）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【解析】在直角梯形中，由，且， 可得为等腰直角三角形，所以， 因为，可得，所以， 将直角梯形换元为平面图形，如图所示， 可得直角梯形，且，， 则直角梯形的面积为.故选：D. 【题型4 球的截面性质与计算】 满分技法 球的截面问题的解题思路：一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面（过球的直径的截面）是将球的问题转化为圆的问题（平面问题）的关键，因此解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析、解决问题． 13．（24-25高一下·河北·期中）若平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面的距离为，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面的距离为， 故球的半径，故球的表面积为， 14．（24-25高二下·云南·开学考试）若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为， 又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为， 所以球的表面积为.故选：C. 15．（24-25高二下·上海·期中）已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为 ． 【答案】8 【解析】因为截面的面积是，设截面圆的半径为，即， 所以，且球的半径， 设球心到这个平面的距离为， 则，即，解得, 所以球心到这个平面的距离为. 16．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为 ． 【答案】4 【解析】依题意，截面圆面积为的圆半径为5，此截面过球心， 截面圆面积为的圆半径为3，球心到此截面距离， 所以这两个平行平面之间的距离即为球心到半径为3的截面圆所在平面距离4. 【题型5 与球有关的外接、内切问题】 高妙技法 外接球与内切球的解题思路 1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，如本例(2)，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。 17．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为，. 对于正三角形，其外接圆半径与边长的关系为. 已知上底面边长为，则上底面所在圆面的半径. 下底面边长为，则下底面所在圆面的半径. 设球心到上底面的距离为，到下底面的距离为，球的半径为. 因为正三棱台的高为，所以. 由勾股定理可得，. 即，将变形为. 当时，代入可得：， 解得，则. 当时，代入可得：， 解得（距离不能为负，舍去）. 将代入可得：. 根据球的表面积公式，可得：. 故选：C. 18．（24-25高一下·江苏南京·月考）数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径.故选：B 19．（24-25高一下·四川成都·期中）三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体， 则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为， 所以， 所以外接球的表面积为. 20．（24-25高一下·广东惠州·期中）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为 cm. 【答案】 【解析】如图，是棱长为8cm的正四面体， 由题意，，设BC的中点为，底面的重心为G， O为外接球的球心，则有底面， 是外接球半径， 在中，， 在中，，， 所以，解得， 即正方体的最短棱长为. 【题型6 平面性质及等角定理应用】 高妙技法 1、平面基本事实及推论的概念辨析问题，要逐个讨论，正确地利用相关基本事实或推论进行论证，错误地要能举出反例． 2、等角定理是平面几何中的一个重要概念，它表明如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等． 21．（24-25高一下·陕西榆林·期中）若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确.故选:C. 22．（24-25高一下·广东湛江·期中）每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（    ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】C 【解析】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了， 其中蕴涵的道理是不共线三点确定一个平面.故选：C. 23．（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命题正确的是（    ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【解析】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确.故选：D. 24．（24-25高一下·河南郑州·期中）（多选）下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【解析】根据平面的定义，平面是向四周无限延展的，故无法确定平面面积，A错误； 由基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面上，那么这条直线在这个平面内， 可得若，则，B正确； 当三点共线时，过此三点的平面有无数个，C错误； 由推论，经过两条平行直线，有且仅有一个平面可得D正确；故选：BD. 【题型7 共面、共线、共点问题证明】 高妙技法 1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 25．（24-25高一下·河南·月考）“直线与直线相交”是“点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由直线与直线相交，得点确定一个平面，故充分性成立； 当点共面时，直线与直线有可能平行，还有可能相交，故必要性不成立.故选：A. 26．（24-25高一下·浙江·期中）已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的（    ）条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【答案】C 【解析】若两两相交，当相交于同一点上时，不一定共面， 故两两相交不能推出共面， 若共面，可能彼此平行，故共面不能推出两两相交， 所以两两相交是共面的既不充分也不必要条件.故选：C. 27．（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确.故选：D 28．（24-25高一下·广西柳州·月考）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、分别是、的中点，所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC，∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面，∴PAC，∴P、A、C三点共线． 【题型8 线线、线面、面面平行的证明】 高妙技法 1、线面平行的证明方法 （1）线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线． （2）面面平行的性质：①两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，即α∥β，a⊂α⇒a∥β；②两个平面平行，不在两个平面内的一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一平面也平行． 2、面面平行的证明方法 （1）利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． （2）利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”． （3）利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． （4）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 29．（24-25高一下·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: (1 ) (2)平面; 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为的中点，所以，所以 （2）连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 30．（24-25高一下·重庆·月考）如图，在正三棱柱中，分别是棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)过点的平面交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为分别是棱的中点，又且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以∥平面； （2）记过过点的平面为平面，平面交于点，交于点， 因为分别是棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以. 31．（24-25高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且.所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外，所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 32．（24-25高一下·江苏无锡·期中改）如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． (1)证明：平面PAC； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点， 又P为QD的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC. （2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面，所以. 【题型9 平行关系中的动点探究问题】 高妙技法 应用线面平行的性质定理的关键点： 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内,所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面． 1、已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行与另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2、提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件． 33．（24-25高一下·浙江台州·期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面，所以， 因为，且，所以，即， 所以. 故选：B 34．（24-25高一下·北京朝阳·期中）如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【解析】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ，∴，. ∵平面，平面，平面平面，∴， ∵，∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. 35．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面.； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析 【解析】（1）证明：取中点，连和，可得且， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取中点，连接和， 因为和分别为和的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 又由（1）可得∥平面，且，平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，且平面，所以平面， 所以，当为中点时，平面． 36．（24-25高一下·江苏·期中）如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【解析】（1）在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面，所以. （2）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 【题型10 线线、线面、面面垂直的证明】 高妙技法 1、直线与直线垂直的判定方法 （1）定义法:两条直线所成的角为90°，则这两条直线垂直． （2）利用直线与平面垂直的性质定理：． （3）若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则该直线也垂直于另一条：． （4）平面几何知识证明共面垂直(如：勾股定理逆定理,等腰三角形三线合一,菱形对角线等等)． 2、证明线面垂直的方法： （2）线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α. （2）面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. （3）性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α. （4）α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用) 3、证明面面垂直的方法： （1）利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角问题； （2）利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化为证明线线垂直加以解决． 37．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若平面交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为平面，平面，所以． 因为为矩形，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． （2）因为平面，平面，所以． 又，，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 又由（1）有平面，平面，所以， 而，平面，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 38．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方体中，设，E，F分别为所在线段的中点， 对于A，因为底面ABCD，又平面ABCD，所以， 若，又且都在平面内，则平面， 又平面，所以，显然不成立， 因而不成立，故A错误； 对于B，同A分析，若，得，所以，显然不成立， 因而不成立，故B错误； 对于C，连接AF，EF，如下图所示： 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 若，因为且都在平面AEF内，所以平面AEF， 由平面AEF，所以，则，显然不成立， 因而不成立，故C错误； 对于D，取BC的中点G，连接AG，EG，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又因为，可得，又因为， 所以且都在平面内，所以平面， 由平面，所以，故D正确．故选：D 39．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 40．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点. (1)求证：； (2)若平面交于点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为矩形，平面，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以. （2）因为矩形，平面， 所以. 因为，平面，所以平面； 因为，所以平面. 又平面，所以. 由（1）知平面，因为平面交于点，可得平面. 所以， 又，平面；所以平面. 【题型11 垂直关系中的动点探究问题】 高妙技法 对命题条件探索的三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明． ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性． ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． 41．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，．点D，E，F分别为，，的中点，连接BD，FE，CE，CF，BE．试问：线段BE上是否存在一点G，使得？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】线段BE上存在一点G，且当时， 【解析】如图，取BC的中点H，过点H作于点G，连接AH，则． 在正三棱柱中，平面平面， 又平面平面，，平面ABC， 所以平面，即平面BCE． 因为平面BCE，所以． 因为，AH，平面AHG，， 所以平面AHG，因为平面AHG，所以． 在中，设，则． 易得， 所以，所以． 所以线段BE上存在一点G，且当时，． 42．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 43．（23-24高一下·河北衡水·期末）已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点H，使得平面?若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）证明：连接，因为分别是的中点，所以为的中位线， 所以，在正方体中，，所以， 因为平面平面，所以平面； （2）取的中点H，则满足平面，且. 证明如下：取的中点H，连接，则， 在中，，由，得， 由，得， 由，得， 在中，，所以，又平面， 所以平面，且. 44．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在， 【解析】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 【题型12 空间几何体截面问题】 高妙技法 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线． 45．（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设轴截面为， 则，所以， 所以截面三角形面积的最大值为.故选：A. 46．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（    ） A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形. 当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能. 如图，截面可以是梯形，B可能. 如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能. 故选：D． 47．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为 ． 【答案】 【解析】如图，根据题意，，，， 由余弦定理，， 则有，所以， 则可以将三棱柱补形为长方体，棱长分别为，，， 所以长方体的外接球O的半径． 由题意可得，球心O到侧面的距离h是的一半即， 设侧面所在平面被球O所截的圆的半径为r，则，所以， 所以该截面面积为． 48．（24-25高一下·湖北荆州·月考）如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形．    (1)求证：平面． (2)，，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面. 平面，平面平面， ，又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，与相似， 又，即，， 又，，解得， ，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面，， 与相似， ，又，可得， ∵， ∵． ∴由余弦定理得， ∴． 【题型13 空间线线角的求解】 高妙技法 求异面直线所成角一般步骤： （1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线． （2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角． （3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角． 49．（24-25高一下·安徽安庆·月考）已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接， 则，所以就是异面直线与所成角或其补角． 因，，则两两垂直， 在中，，，所以． 连接，在中，，， 由余弦定理，， 在中，，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：D． 50．（24-25高一下·河南·月考）在正四棱台中，，高为1，则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四棱台中，， 所以， 又高为，所以， 过点作的垂线，垂足为，可得， 所以， 同理可得， 因为，所以为直线与所成角或补角， 在中，， 由余弦定理得， 即直线与AC所成角的余弦值为.故选：B. 51．（24-25高一下·江苏常州·月考）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接，，， 因为是的中点，所以，， ， 且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，，故选：C. 52．（24-25高一下·山西·月考）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】如图，连接和相交于点，所以点为的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 又是的中点，所以， 所以平行且相等，则四边形是平行四边形， 所以，所以与所成角为或其补角， 又，易得，， 在中，由余弦定理得． 所以所求余弦值为． 【题型14 空间线面角的求解】 高妙技法 1、利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： 第一步：在这个平面内找两条直线，证直线和这两条直线垂直； 第二步：确定这个平面内的两条直线是相交直线； 第三步：根据判定定理得出结论． 2、线面垂直的判定定理的实质是由线线垂直推出线面垂直，途经是找到平面内的两条相交直线均与已知直线垂直． 53．（23-24高一下·江苏镇江·期末）将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是 . 【答案】 【解析】如图，取中点，连接，，则，， 所以是二面角的平面角，所以， 不妨设正方形的边长为2， ，，故， 因为，，，，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角．所以与平面所成的角是． 54．（24-25高一下·广西河池·月考）如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：A 55．（2025·湖北·三模）在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，延长必交于一点， 由可知，分别是的中点， 又点为线段的中点，所以， 因分别为棱的中点，则， 又四边形为正方形，所以，所以， 由于三棱锥为正三棱锥，因此三棱锥为正四面体， 因此直线与平面所成的角即为直线与平面所成角， 取的中心为，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 设正四面体的棱长为 ， 在中，，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为.故选：B 56．（24-25高一下·福建三明·期中）如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以．故选：B. 【题型15 空间面面角的求解】 高妙技法 求二面角大小的一般步骤 （1）作：找出这个平面角； （2）证：证明这个角是二面角的平面角； （3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小． 57．（24-25高一下·天津·月考）如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ， 所以二面角的正弦值为.故选：B. 58．（24-25高一下·河南·月考）如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又.故选：C. 59．（24-25高一下·安徽·月考）如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 . 【答案】 【解析】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 60．（23-24高二上·安徽合肥·月考）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为 . 【答案】 【解析】取和的中点分别为，， ，分别是，的中点，,, 由于且为正三角形， ，故, 由于，分别是，的中点，因此，故, 由于截面侧面，所以,进而可得, 由于 故为侧面与底面的二面角的平面角， 设， ，， 在直角中， ， 【题型16 空间几何体的表面积计算】 高妙技法 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积． 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系． 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加． 61．（24-25高一下·陕西·月考）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，且侧面与下底面所成的二面角为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A．48 B．128 C． D． 【答案】D 【解析】分别取棱的中点作截面，如下图： 则四边形是等腰梯形，是该正四棱台的斜高， 是侧面与底面所成的二面角的平面角，所以， 可求出，所以该正四棱台的侧面积为.故选：D. 62．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图： 设展开图小圆半径和大圆半径分别为，则圆台侧面积， 即， 上底面半径，下底面半径， 圆台上下底面面积之差的绝对值为.故选：C. 63．（24-25高一下·湖北十堰·月考）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 【答案】 【解析】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为， 由题意可得，， 圆锥的侧面积为，圆锥的表面积，故 64．（24-25高一下·安徽·月考）高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为 cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 cm². 【答案】 【解析】设正四棱柱上底面所在圆的半径为，高为， 则正四棱柱底面棱长为，且，得， 所以正四棱柱的侧面积为， 当时，侧面积的最大值为. 【题型17 空间几何体的体积计算】 高妙技法 1、柱体的体积公式：V＝S底h；2、锥体的体积公式：V＝S底h 3、台体的体积公式：V＝(S上＋S下＋)h.；4、球的体积公式：V＝πR3． 65．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】设正三棱锥底面三角形的面积为，其斜二测直观图面积为， 则，所以. 所以三棱锥的体积为，所以.故选：B. 66．（24-25高一下·安徽安庆·月考）某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的高为，则，解得，母线长为， 所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．故选：D． 67．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为， 由题可知，，则， 所以，则梯形的面积为， 所以直棱柱的体积为， 又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得.故选：D. 68．（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正四棱台的上下底面分别是边长为4和8的正方形，侧棱长为4，则该正四棱台的体积为 ． 【答案】 【解析】 如图为上下底面的中心，连接， 过点作平面垂足为， 在正四棱台中，，所以， ，所以，所以， 又，所以， 故正四棱台的高， 所以该正四棱台的体积为， 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）下列命题中正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【答案】B 【解析】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故A错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；B正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，C错误， 对于D，空间四边形中，， E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点， 所以，所以， 同理，所以， 则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误；故选：B 2．（24-25高一下·河北承德·月考）已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为.故选：C 3．（24-25高一下·浙江杭州·月考）如图，在中，，且A在平面上，在平面的同侧，M为BC的中点，若在平面上的射影是以A为直角顶点的，则AM与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，M为BC的中点， ∴，故， 设，则点M到地面的距离为， ，， ∵射影是以A为直角顶点的， ∴， 在直角梯形中，， 即，所以, 设AM与平面所成角为， 则, 所以.故选：A. 二、多选题 4．（24-25高一下·河南·月考）（多选）如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，为顶点，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，过作，连接， 是底面的中心分别为中点，即， 所以是等腰三角形，又是中点，， ，，，即，故A正确； 对于B，连接 由题知，是底面的中心，即是中点，， 又，所以，故B正确； 对于C，设的中点为E，连接， 因为分别是中点，所以， 即就是异面直线所成角或其补角， 又在正方体中，设边长为，则，， ，所以不满足，故C错误； 对于D，设中点为E，连接， 因为分别是中点，所以，又，所以， 即就是异面直线所成角或其补角， 在正方体中，设边长为，则， ，，所以，即， ，故D正确；故选：ABD. 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）（多选）如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（   ） A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】BCD 【解析】延长DA、CB交于点E，如图， 由题意得，AE=AD=2，. 对于A，以AD所在直线为轴旋转，得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积，A错误； 对于B，以CD所在直线为轴旋转， 得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 所以该组合体的体积为：，B正确； 对于C，以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， 所以该旋转体表面积为：，C正确； 对于D，以BC所在直线为轴旋转， 得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ， D正确.故选：BCD 6．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）如图，在棱长为4的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P使得平面 B．存在点P使得平面 C．若P是的中点，则到平面的距离为 D．若直线与平面所成角的正弦值为，则 【答案】BC 【解析】A.在正方体中易知，与不垂直，故A不正确； B.因为，又平面并且平面， 所以平面，故B正确； C.正方体中易知，，不在平面内，在平面内， 所以平面，所以到平面的距离即为到平面的距离， 在正方体中，易知平面平面，且相交于， 所以到平面的距离即为到的距离， 又因为点P是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 又，，解得，故C正确； D.设（），所以， 因为平面，且平面，所以平面平面， 且平面平面，所以点和到平面的距离就是到的距离， 计算可得， 所以， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦为， 所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题 7．（24-25高一下·广西玉林·期中）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为 ． 【答案】12 【解析】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时， 可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题， 相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 8．（24-25高二下·江苏南京·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【解析】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 9．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为 ． 【答案】或 【解析】根据正四棱台的上底面积为16，下底面积为64， 可知上下底边长分别为：， 假设上下底面正方形的中心分别为，可知， 第一种情形是球心在线段上， 由外接球半径为，利用勾股定理可得： ， 第二种情形是球心在线段的延长线上， 由外接球半径为，利用勾股定理可得： ， 四、解答题 10．（24-25高一下·江苏无锡·月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，，，点，分别为棱，的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1），分别为棱，的中点，， 平面，平面，平面． （2），，且，、平面， 平面． （3）连接，由 （2）知平面， 为直线与平面所成角， ，且四边形为正方形，， ，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 11．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，计算的值. (3)若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)截面如图所示，. 【解析】（1）设线段的中点，连接， 因为，所以分别为线段的中点， 所以，且， 又，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）设为线段靠近点的三等分点，连接， 设，连接， 因为底面为梯形，所以，所以，即, 因为，所以， 因为又平面，平面，所以平面， 要使平面，则与重合，故； （3）设线段的中点，连接， 因为为棱的中点，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又分别为线段，所以，所以， 则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，如图所示， 则，，，，， 在中，， 所以，则， 所以截面周长为. 12．（24-25高一下·浙江·月考）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，O为AB的中点，． (1)求证：； (2)若上存在点M，使得∥平面，求的值 (3)若与平面所成角的正弦值为求四棱锥的的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或 【解析】（1）连接， ∵，∴， 又∵侧面底面，侧面底面，侧面， ∴平面，又平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， 又平面，∴， 又平面，平面，则， ，平面，∴平面， 又平面，∴. （2）取CD中点为N，连，， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， 又∥平面，，平面， ∴平面∥平面，平面，∴∥平面， ∵∥，平面，平面， ∴∥平面，平面，平面平面， ∴∥，又N为CD中点，则M为PD中点，此时； （3）由（1）可知，所以为等腰直角三角形， 又，，设，则， 记点D到面的距离为， ∵∥BC，平面，平面，∴∥平面， ，， 设与平面所成角为， ， 整理得，则或，解得或，即或 所以或. 真题感知 1．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】直观图矩形的面积， 则原图面积，故选：D． 2．（24-25高一下·福建漳州·期中）某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道， 且， 解得． 在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为．故选：A. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，圆柱的轴截面为正方形，是上底面的一个动点，为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径，且三棱锥的体积最大值为，则该圆柱的侧面积为（    ） A．9π B．10π C．12π D．14π 【答案】C 【解析】设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的母线长为， 因为为上底面圆的圆心，是圆柱下底面圆的直径， 所以， 所以当点到平面的距离最大时三棱锥的体积取得最大值， 所以当平面时，三棱锥的体积取得最大值， 所以，解得， 所以该圆柱的侧面积为.故选：C 4．（24-25高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即. 故选：A. 5．（24-25高一下·福建三明·期中）（多选）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线、、相交于同一个点 B．过点、、的截面面积为 C．三棱锥的高是 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】AC 【解析】连接， 因点、分别是、的中点，则， 又为正方体，则，则，则四点共面， 延长交于点， 因平面，平面， 则平面平面， 则直线、、相交于同一个点，故A正确； 过点作，交于，于， 连接，分别交于点，连接， 由A选项可知，，则过点、、的截面为五边形， 容易得，，则， 又，则四边形为平行四边形，则，， 又， 则等腰梯形的高为， 则等腰梯形的面积为， 又， 则等腰三角形底边上的高为， 则， 则，故B错误； 设三棱锥的高为，因，则， 则，故C正确； 设正方体的外接球半径为，则， 则外接球表面积为， 故三棱锥外接球表面积为，故D错误.故选：AC 6．（24-25高一下·广东·期中）在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（    ） A．对于任意的点， B．存在点，使得平面 C．存在点，使直线与直线共面 D．存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 【答案】ABD 【解析】对于A，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 由面面平行的性质定理得，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下： 由A可知，当点为的中点时，为的中点， 此时，，故四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线， 故直线与直线不可能共面，故C错误； 对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形， 所以四边形的周长， 将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面， 连接交于点，如下图所示： 故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确. 故选：ABD 7．（24-25高一下·北京·期中）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有 条. 【答案】1 【解析】在正方体中，，而平面，即有平面， 又与线段相交，则交点必在直线上，而平面， 于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 8．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 . 【答案】/； 【解析】设正四面体的棱长为，高为，底面圆半径为， 则，得，又， 所以正四面体的体积为，解得. 如图，取的中点，连接，，则，， 过点A作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 所以最大球的体积为，且，则，， 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得，所以， 模型中九个球的表面积和为. 9．（24-25高一下·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得，则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 10．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在， 【解析】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$