2025—2026学年人教版数学小升初讲义01有理数

有理数 第01讲 正数和负数、有理数 1 第02讲 数轴、相反数与绝对值 14 第03讲 有理数的比较大小 25 第04讲 有理数的加法 34 第05讲 有理数减法 45 第06讲 有理数的乘法 61 第07讲 有理数的除法 76 第08讲 有理数的乘方 92 第01讲 正数和负数、有理数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点1：正数、负数的定义（重点） 1.正数 像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2.负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 3.“0” 的特性 0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界 【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ ，，，，+2.009，，，81． 【变式】任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数． 知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点） 1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2.具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 【例2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进50kg苹果与卖出-50kg苹果 B高出海平面786m与低于海平面230m C向东走-9m和向西走10m D 飞机上升100m与飞机前进100m 【变式】如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作 ，148米记作 ． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 知识点3：对“0”的认识 1. 表示没有 例如,0个苹果,意思是没有苹果 2.表示数时起到占位的作用 如10605中的两个0,分别占的是十位和千位 3.表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4.表示某些数量的分界 0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 【例3】下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 【变式】判断题 （l）0是自然数，也是偶数（ ）。 （2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3）温度0℃就是没有温度（ ）。 方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等． 知识点4：有理数的相关概念（重点） 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 【例4】下列各数：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，(　　) A．只有1，－7，＋101，－9是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，＋101，0 D．只有－，－4，－0.05是负分数 方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数． 【变式】下列说法中正确的是（    ） A．0不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C． 在有理数中有最小的数 D．若a是有理数，则一定是负数 知识点5：有理数的分类（重点、难点） 1.有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 2.集合 把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集 【例5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，－1，0.3080080008… 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 【变式1】把以下各数填入相应的集合里：，，，，，，，，，，，． (1)正数集合：{ …}； (2)负数集合：{ …}； (3)正整数集合：{ …}； (4)负整数集合：{ …}； (5)非负数集合：{ …}． 【变式2】（2024长沙长郡月考） 把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①0；②；③200；④；⑤；⑥；⑦⑧ 整数： 正数： 正分数： 负有理数： 【变式3】把下列各数分别填入相应的集合里． 1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004． 非正数集合：{                     …}； 非负数集合：{                       }； 非正整数集合：{                   …}； 非负整数集合：{                     }； 非正有理数集合：{                 …}； 非负有理数集合：{                   }． 方法总结：在填数时要注意以下两种方法： (1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象． 易错点01对“0”的含义理解不准确 小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界 易错点02对负数表示的意义理解不清 具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示 易错点03用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位 易错点04误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数 正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数. 易错点05不能正确理解有理数的分类而出错 有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起 考点一：正数、负数的实际应用 考查题型一：用正数、负数记录成绩 例1.某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， 【变式1-2】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10名同学的平均成绩是多少？ 【变式1-3】下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 考查题型二：用正数、负数表示误差范围 例2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【变式2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（ ） A．25.30kg B．24.80kg C．25.51kg D．24.70kg 【变式2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“”字样，其中表示标准容量是L，表示最多不超过，那么表示 ． 【变式2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？ 方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少． 考点二：与正数、负数相关的表格信息题 例3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ 【变式3-1】（2023秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程 0 （1）该汽车行驶路程最多的一天是 　 　，这一天的实际行驶路程是 　　． （2）若该新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 【变式3-2】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若9月30日的游客人数为0.1万人，问： （1）10月4日的旅客人数为 　　万人； （2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 　　万人？ （3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 【变式3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元） 考点三：正数、负数的规律探究题 例4. 观察下列数列，填上空缺的数． （1）1，-1，2，-2，3，______，______，______； （2）1，-2，3，-4，5，______，______，______． 14．桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上． 【变式4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数． （1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ； （2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ； （3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， . 【变式4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别 是 ， ， ； （2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是 ． 【变式4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2015个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…； (2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，…. 方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征． 一、单选题 1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）在，，0，，中分数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为，则199公斤可记为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为个，则个数为46个应记为（    ） A．个 B．个 C．4个 D．个 二、填空题 4．大米包装袋上的标识表示此袋大米重量的范围是 ． 5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是500克，质检员把每袋超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为501克，则记作 ． 6．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为，若表示水面高于标准水位，则水面低于标准水位，可记为 m． 三、解答题 7．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 8．把下列各数按要求分类填在相应的大括号内：，，，0，，，，． (1)整数集合：｛                 ｝ (2)分数集合：｛                 ｝ (3)非负整数集合：｛             ｝ (4)负有理数集合：｛             ｝ 9．（2023秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 3 0 4 1 （1）第2棒火炬手的实际里程为 　66　米，第6棒火炬手的实际里程为 　　米； （2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程． 10．（23-24七年级上·河南鹤壁·期中）出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 11．出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，油价每升元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 12．（2024长沙长郡月考）在活动课上，李老师邀请小明、小宇玩一个游戏，规则为每人每次抽取四张卡片．若抽到方块卡片，则加上卡片上的数字，若抽到桃心卡片，则减去卡片上的数字．比较两人所抽四张卡片的计算结果，结果较小的为同学表演节目，小明抽到如图①所示的四张卡片，小宇抽到如图②所示的四张卡片，则小明小宇谁会为同学们表演节目？ 13．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？ (3)第2021个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？ 第02讲 数轴、相反数与绝对值 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点1：数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释： （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 【例1】下列图形中是数轴的是(　　) A. B. C. D. 方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可． 【变式1-1】．（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【变式1-3】数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（　  　） A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边 C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边 知识点2：数轴上的点与有理数的关系（重点） 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 【例2】指出如图中所表示的数轴上的A、B、C、D、E、F各点所表示的数． 方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边，对于A、D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个数之间． 【变式2-1】画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： －5，2.5，3，－，0，－3，3. 方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置． 【变式2-2】数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　) A．5 B．±5 C．7 D．7或－3 方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．另外，点在数轴上移动时也要分向左、向右两种情况． 【变式2-3】．（23-24七年级下·河南安阳·期中）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 知识点3：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 【例3】写出下列各数的相反数：16，－3，0，－，m，－n. 方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0. 【变式3-1】(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________． (2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______． 方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧． 【变式3-2】如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　) A．2 B．－4 C．－1 D．0 方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等． 【变式3-3】下列说法中正确的个数为（    ） 符号不相同的两个数互为相反数； 一个数的相反数一定是负数； 两个相反数的和等于； 若两个数互为相反数，则这两个数一定一正一负． A．个 B．个 C．个 D．个 方法总结：本题考查相反数的知识，解题的关键是掌握相反数的定义和性质． 知识点4：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点分析： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【例4】－3的绝对值是(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【变式4-1】如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________． 方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外． 【变式4-2】化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 【变式4-3】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0. 易错点1：画数轴时缺少要素、不统一单位长度或数字的排列顺序有误 1．下列所示的数轴中，画得正确的是（  ） A． B． C． D． 易错点2：对有理数与数轴上的点的关系理解不透彻 2．下列说法正确的是（    ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上表示的点有两个 C．数轴上的点表示的数不是正数就是负数 D．数轴上原点两边的点表示同一个数 易错点3：求相反数及化简多重符号时出现错误 3．的相反数是________；的相反数是_______． 易错点4：忽略了0的绝对值 4．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　） A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数 5.如果，那么a一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零和负数 D．零和正数 考点1：多重符号的化简 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，a的相反数为 ，若与互为相反数，则a为 2．（23-24七年级上·吉林长春·期中）若x是最大负整数，则 ． 3.(1)－(－8)＝________； (2)－(＋15)＝________； (3)－[－(＋6)]＝________； (4)＋(＋)＝________． 考点2：含绝对值符号的式子的化简与运算 4．若，那么_____． 5．已知：数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 6.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 7．若实数a，b满足|a|＝2，|4﹣b|＝1﹣a，则a+b＝　 　． 8.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 9.(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 考点3：绝对值的非负性的应用 10．（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 11．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 12．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，求的值． 13.若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值． 14.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值． 考点4：数轴、相反数、绝对值的综合题 15．（23-24七年级上·贵州黔西·期末）小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： (1)_______； (2)若，则x的值为_______； (3)若与互为相反数，则_______； (4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______； (5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    (6)（2024长沙长郡月考）绝对值小于的所有整数的积等于________． 16．（2022秋·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，已知数轴上有、两点（点在点的左侧），且两点距离为个单位长度，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（）秒．    (1)图中如果点、表示的数是互为相反数，那么点表示的数是________； (2)当秒时，点与点之间的距离是_________个长度单位； (3)当点为原点时，点表示的数是_________；（用含t的代数式表示） (4)求当为何值时，点到点的距离是点到点的距离的倍． 考点5：数轴上点的移动 17.在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 18．（2022秋·内蒙古通辽·七年级校考阶段练习）如图，数轴的单位长度为1． (1)如果点B，D表示的数互为相反数，那么图中点A、点D表示的数分别是 、 ； (2)当点B为原点时，在数轴上有一点M，使得点M到点A的距离是点M到点D的距离的2倍，点M所表示的数是 ． (3)当点A为原点时，B、C两点分别以2个单位长度/秒和0．5个单位长度/秒同时向右运动，经过_____秒B、C两点在点P相遇，此时点P表示的数是 ． 19．在数轴上有两个点A，B，回答下列问题. (1)将A点向左平移个单位长度后，表示的数是 (2)将B点向右平移3个单位长度后，表示的数是 (3)B点做怎样的平移可以与A点表示的数互为相反数? (4)A点和B点相距 个单位长度，若把图中数轴的原点移到B点，则在新的数轴上，A点表示的数是 (5)怎样移动才能使A点表示的数永远都大于B点表示的数? 考点6：绝对值的实际应用 20.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 21.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 22.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）小宇同学在数轴上表示时，由于粗心，将画在了它相反数的位置并确定原点，要想把数轴画正确，原点应（    ） A．向左移6个单位 B．向右移6个单位 C．向左移3个单位 D．向右移3个单位 6．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 二、填空题 7．（23-24七年级上·河南许昌·期中）数轴上，点表示的数是，将点向右移动6个单位长度后，点表示的数是 ． 8．下列说法：①若，互为相反数，则；②若，同号，则；③一定是负数；④若，则，互为倒数；⑤若，则．其中正确的结论是（填序号）______． 9．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）关于的方程的解是 ． 三、解答题 10．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    11．（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 12．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点． (1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________； (2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________； (3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________． 第03讲 有理数的比较大小 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点：比较有理数大小 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 【例1】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列各组数的大小（写出步骤） (1)与； (2)与． 【变式1-1】用“＞”连接下列个数：2.6，―4.5，，0，―2 【变式1-2】.比较下列各对数的大小： ①－1与－0.01； ②与0； ③－0.3与； ④与。 【变式1-3】.比较下列各对数的大小： (1)3和－5； (2)－3和－5； (3)－2.5和－|－2.25|； (4)－和－. 方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小． 考点1：利用数轴比较数与数绝对值的大小 【例2】画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0. 方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式2-1】如图，有理数a，b，c在数轴上的位置，结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　) A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b 方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式2-3】.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 【变式2-4】（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：    (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 考点2：利用绝对值确定整数 【例3】．绝对值小于4的整数有（    ）． A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式3-1】绝对值大于1小于的整数有______个； 【变式3-2】（2023秋·七年级课时练习）大于但又不大于1的整数是 ． 【变式3-3】大于且不大于的所有整数是 ． 考点3：利用拆分法比较有理数的大小 【例4】．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式4-2】．【变式4-2】比较大小：-和- 【变式4-3】试比较－，－，－，－这四个数的大小． 考点4：借助中间量比较有理数的大小 【例5】．问题：比较﹣||与（﹣）的大小． 解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝② 又＝＜＝③，所以﹣＜﹣④， 所以﹣||＜+（﹣）⑤ （1）本题从　 　开始产生错误； （2）请按照上述方法比较﹣（+）与﹣||的大小． 【变式5-1】．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 考点5：绝对值与有理数的大小的综合应用 【例6】．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 【变式6-1】．（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【变式6-2】．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．    (1)在数轴上表示有理数； (2)试把a，b，0，这五个数用“<”连接起来； (3)用“>”“=”或“<”填空： a， b， 0． 考点6：有理数的最值问题 【例7】设a是绝对值最小的数，b是最大的负整数，c是最小的正整数，则a、b、c三数分别为(　　) A．0，－1，1 B．1，0，－1 C．1，－1，0 D．0，1，－1 方法总结：要理解并记住以下数值：绝对值最小的有理数是0；最大的负整数是－1；最小的正整数是1. 【变式7-1】式子取最小值时，x等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式7-2】若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数． （1）直接写出a，b的最大值； （2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？ 一、单选题 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列四个数，，0，1中，最小的是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）如图，下列各点表示的数中，比1大的数是点（    ） A．A B．B C．C D．D 3．表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，，则是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各数中，绝对值最小的是（  ） A．2 B． C． D． 5．（22-23七年级上·广西南宁·期中）下列四组有理数大小的比较正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·长沙中雅）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　） A. B. C. D. 7．（22-23七年级上·海南海口·期中）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）随着社会的快速发展，手机已经成为生活必需品之一，手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24七年级上·江西九江·期末）比较大小：0 ． 10．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）比较大小： 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）已知，请写出一个的值 ．（只需写一个即可） 12．（23-24七年级上·广西河池·期末）比较大小： 0； ．（用“”或“”填空） 13．（23-24七年级上·四川乐山·期末）用“”“”或“”号填空： ． 14．（23-24七年级上·浙江·期末）比较大小： ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题： ，，0，，6，，． (1)负数集合：{                            ．．．．．． }； (2)用“”把它们连接起来是 ； (3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上． 16．（22-23七年级上·山东菏泽·期中）比较与的大小． 17．（22-23七年级上·浙江杭州·阶段练习）比较下列各数的大小，写出比较过程． (1)和； (2)和； (3)和． 18．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知有理数，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为． (1)______，______； (2)写出大于的所有负整数： (3)在数轴上标出表示的点，并用“”连接起来． 19．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 20．（23-24七年级上·山东临沂·期中）比较大小（用“”或“”）．． 21．（23-24七年级上·北京·期末）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 22．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品结果如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 检验结果 (1)在所抽查的五件样品中，最符合要求是样品______（填序号）； (2)如果规定零件误差的绝对值在之内是正品，那么上述五件样品中哪些是正品？ 23．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 第04讲 有理数的加法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加法运算,体会分类和归纳的思想方法， 2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算 3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分析问题和解决问题的能力 知识点1.有理数的加法法则（重点） ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） 【例1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式1-1】若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（ ） A．相等 B．都是零 C．互为相反数 D．有一个数是零 【变式1-2】两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（     ） A．同号且为正 B．互为相反数 C．异号 D．同号且为负 【例2】计算： (1)(－0.9)＋(－0.87)； (2)(＋4)＋(－3)； (3)(－5.25)＋5； (4)(－89)＋0. 方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值． 【变式2-1】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： (1)(+20)+(+12)； (2)； (3)(+2)+(-11)； (4)(-3.4)+(+4.3)； (5)(-2.9)+(+2.9)； (6)(-5)+0． 【例3】已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________． 方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解． 【变式3-1】若一个数的绝对值等于，另一个数是的相反数，则这两个数的和是（   ） A． B． C．或 D．3或1 ，，且，则的值为______． 知识点2.有理数加法的运算律（难点） 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【例4】运用加法交换律和结合律计算： （1）________7_________________； （2）____________________________． 方法总结：本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键． 【变式4-1】利用加法的交换律和结合律，将＋3＋15－5－3写成_____________________________________，可以使运算简便． 【变式4-2】在(　　)里写出每一步变形过程的依据． (－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) ＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______) ＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (________) ＝(－19)＋(＋21)(________) ＝2．(________) 【例5】计算： (1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)； (3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)． 方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加． 【变式5-1】计算，所得的结果是(　　) A．－3 B．3 C．－5 D．5 【变式5-2】计算： (1) (2) 易错点：拆分带分数时出现符号错误 【例6】阅读下面文字： 对于()＋()＋17＋()， 可以按如下方法计算： 原式＝[(-5)+()]＋[(－9)＋()]＋()＋[(-3)+()] ＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[()＋()＋＋()] ＝0＋() ＝－1. 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036. 【变式6-1】拆项法计算： 【变式6-2】拆项法．计算：． 【变式6-3】折项法计算：． 考点1：利用数轴信息进行有理数的加法运算 1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）    2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是　 　． 3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m． (1)若以点A为原点，则数轴上点B所表示的数是__________；若以点B为原点，则m=_________； (2)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值． 考点2：有理数与相反数、绝对值的综合考查 4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）已知a是最大的负整数的相反数，，且．式子的值为__________． 5．（1）求的相反数与的绝对值的和； （2）若与互为相反数，求的值． 6．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点C所表示的数是___________； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为___________； (3)若点C，O之间的距离为4，求p的值； (4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O． ①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为___________； ②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化． 考点3：有理数的加法在实际生活中的应用 7.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km) ＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8. (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L? 方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解答． 8.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．�某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，． (1)问收工时距A地多远？在哪个方向？ (2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？ 9.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm） (1) 小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2) 小虫离开O点最远时是多少？ (3) 在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 10.(2024.长郡双语月考)一批水果的标准质量是30千克，超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，现记录如下：，，，，，，，． （1）这批水果总共有多少千克？ （2）第一天按每千克价格10元卖出了这批水果的一半，第二天为了吸引顾客把第一天卖水果的价格打九折后作为新的价格，卖完了剩下的水果，请计算一下这批水果一共卖了多少钱？ 考点4：幻方计算题 11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零． (1)我认为m＝_______． (2)按要求将这9个数填入如图的空格内． 12．如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)方格正中间位置的数是_______． (2)将两个幻方补充完整． 13．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0． （2）如果将中心处的0改为，使每条线上的个数之和为呢？请在图2中试一试． 考点5：新定义运算 14.设表示不超过的最大整数，计算：______． 15．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“”，，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号） ①；②；③若，则；④该运算满足交换律． 16．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 一、单选题 1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）绝对值大于2而小于5的所有整数的和是（　　） A． B．0 C．7 D．10 2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）气温由上升后是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．4 D．10 5．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（　　） A．都是正数 B．只有一个正数 C．至少有一个是正数 D．以上都不对 6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果，那么等于（　　） A． B．4 C．2 D． 7．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23七年级上·吉林·期末）比大2的数是 ． 10．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则的值 （填“大于”、“小于”或“等于”）．    11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号表示a，b两数中的较大者，用符号表示a，b两数中的较小者，则的值为 ． 13．（23-24七年级上·北京昌平·期中）绝对值小于2023的所有整数的和为 ． 14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则 0， 0(填或)    三、解答题 16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算 (1)； (2)． 17．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算： (1) (2) (3) 18．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 19．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 20．（2024长沙长郡月考）某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：)，，，，，，． （1）B地在A地何方，相距多少千米？ （2）若汽车行驶耗油，求该天耗油多少L? 第05讲 有理数减法（2个知识点+7个考点+易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握有理数减法的运算法则,理解减法法则与加法法则的关系,体会转化的思想方法 2.能熟练地进行有理数的减法运算,会进行有理数的加减混合运算,会解决简单的实际问题， 3.能将和式中的括号和加号省略,并利用加法运算律进行相关计算 知识点1.有理数的减法法则（重点） （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】： 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【例1】 计算：(1)(－32)－(+5)； (2)(+2)－(－25)． 【变式1-1】计算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3－5. 【变式1-2】上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为(　　) A．5℃ B．6℃ C．7℃ D．8℃ 【变式1-3】已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号． 知识点2.有理数的加减混合运算（难点） （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 【例2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|； (2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)； (3)－－(－)＋(－)． 【变式2-1】计算：. 【变式2-2】．计算下列各式： (1) (2)． 【变式2-3】列式计算： （1）减去与2.5的和所得差是多少？ （2）3，，的和比这三个数和的绝对值大多少？ 【变式2-4】计算： （1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72； （2）11－12+13－15+16－18+17； （3） （4） （5）； （6） 知识点3.省略加号的和式的写法读法 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【例3】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来． (－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32) 【变式3-1】有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“”可以看成________这4个数的和． 【变式3-2】把写成省略加号和括号的形式是___________；读作：___________或___________． 易错点1:混淆有理数减法中的运算符号和性质符号 【例4】.计算：． 莉莉的解法如下： ． 请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确解法． 易错点2：错用运算律 【例5】．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错 例如有同学计算时，得到的结果为，这位同学的计算过程如下： 解：    ①     ② ③ ④ 以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 . 考点1：有理数的加减混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)． 3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算： 解：原式 启发应用，用上面的方法完成下列计算： 考点2：绝对值与有理数的减法的综合问题 4．有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子：______． 5.已知，求的值． 6.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式； ①______； ②______； ③=______； (2)用合理的方法计算：； (3)用简单的方法计算：． 7.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中十次行驶纪录如下（单位：）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 (1)最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)在第 _________次纪录时距A地最远． (3)若每千米耗油0.08升，问共耗油多少升？ 考点3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离 8． “数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上和5这两点之间的距离为 　 　． (2)若x表示一个实数，的最小值为 　 　． (3)直接写出所有符合条件的x，使得，则x的值为 　　 ． 9.已知数轴上、两点所对应的数分别是和，为数轴上任意一点，对应的数为． （1）则、两点之间的距离为________； （2）式子的最小值为________． 10.数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是 　　 ． ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 　　 ．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为 　 　． ③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝　 　． ④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是 　． ⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是 　 　． 考点4：利用数轴信息进行有理数的加减运算 11．邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 12.如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是，2，那么金安桥站表示的数是___________． 13．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表． (1)根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 (2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； (3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？ 考点5：新定义运算问题 14．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　） A． B． C． D． 15．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝ ． 16.设表示不大于的最大整数，如 ， （1）___________； （2）__________； 考点6：有理数的加减在实际生活中的应用 17．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（    ） 微信转账 扫二维码付款 微信红包 便民菜站 A．收入元 B．支出元 C．收入元 D．支出元 18．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 19．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）： 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 +8 +9 -4 -5 (1)伦敦时间中午12点时，北京的当地时间是 _________ 点，纽约的当地时间是 _________ 点： (2)某人在北京首都机场乘坐中午12点整的航班飞往伦敦，若飞行时间为12小时，则此人到达伦敦时，伦敦的当地时间是几点?（以上时刻均用24小时制作答） 20．为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km． (1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度； (2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？ 21．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 增减产值 (1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个； (2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个； (3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明理由 ． 考点7:规律探究创新题 22．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 23．观察下列各式的特征：；；； ，根据规律，解决相关问题： （1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）； ①_____________； ②___________． （2）当时，___________；当时，__________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为___________    A．    B．     C．     D． （4）合理的方法计算： 24.已知点A、B在数轴上分别表示数a，b．若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是d=|a-b|. (1)数轴上有理数x与有理数－2所对应两点之间的距离可以表示为______； (2)|x+6|可以表示数轴上有理数x与有理数_______所对应的两点之间的距离； 若|x+6|= |x -2|，则x=______； (3)若a=1，b=-2，将数轴折叠，使得A点与﹣7表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合； (4)若数轴上M、N两点之间的距离为11(M在N的左侧)，且M、N两点经过(3)中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：_____， N：_______； (5)在题(3)的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间距离相等？若能，请写出移动方案. 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）式子的正确读法是（    ） A．减4减2减1加2 B．减2减1加2 C．，，加2 D．4，2，1，2的和 2．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 3．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）重庆城口县冬季里某天白天的气温为，到晚上的气温达到，那么城口的昼夜温差为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）（　　） A． B．7 C． D．3 5．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）周日，李军在家劳动，帮妈妈完成以下家务，最少需要（    ）分钟． 整理房间 扔垃圾 把脏衣服放入洗衣机并启动 洗衣机自动洗涤 晾晒衣物 26分钟 5分钟 1分钟 30分钟 3分钟 A．34 B．35 C．39 D．65 二、填空题 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）计算的结果是 ． 8．（22-23七年级上·山东济南·期中）有理数、、在数轴上的位置如图，用“＞”或“＜”填空： ， ． 9．（23-24七年级上·吉林松原·期中）如图是我市十一月份某一天的天气预报，该天的温差是 ． 小雪 气温： 风向风力：微风 10．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）将写成省略括号的和的形式为 ． 11．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）的值是 ． 三、解答题 12．（22-23七年级上·河南驻马店·阶段练习）观察以下计算过程： （第一步） （第二步） （第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并改正． 13．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）（1）计算： （2）观察以下计算过程： （第一步） （第二步） ．（第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并写出正确的解题过程． 14．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）计算：． 15．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习） （1）； （2） ； （3） ； （4） 16．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修公路，如果规定向东行驶为正，一天中行驶记录如下：（单位：千米）． (1)求收工时距离A地多少千米？ (2)若每千米耗油0.3升，这天共耗油多少升？ 17．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 18．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示， (1)数轴上的点A、B、C、D表示的数分别是______、______、______、______； (2)A、B两点间的距离是______个单位长度； (3)A、D两点间的距离是______个单位长度． 19．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行10km到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置； (2)C村离A村有多远？ (3)邮递员一共骑行了多少千米？ 20．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________； ②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 21．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 第06讲 有理数的乘法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 【例1】计算： (1)5×(－9); (2)(－5)×(－9)； (3)(－6)×(－9); (4)(－6)×0； (5)(－)×. 【变式1-1】计算：等于 ． 【变式1-2】 ___________； 【变式1-3】计算：_________． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【例2】求下列各数的倒数． (1)－； (2)2； (3)－1.25； (4)5. 【变式2-1】．（23-24七年级上·广东江门·期中）若一个数的倒数是，则这个数是（    ） A． B．4 C． D．0.25 【变式2-2】2024春·广东珠海·七年级开学考试）一个数的倒数是它本身，那么这个数是（　　） A．0 B．0或1 C．1或 D．0或 【变式2-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 知识点3.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【例3】计算： (1)－2×3×(－4)； (2)－6×(－5)×(－7)； (3)0.1×(－0.001)×(－1)； (4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)； (5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37. 【变式3-1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1)； (2)； 知识点4.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 【例4】计算： (1)(－＋)×(－24)； (2)(－7)×(－)×. 【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算，运用哪种运算律可避免通分（   ） A．加法交换律和加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律 【变式4-2】计算： ． 【变式4-3】计算： 【例5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×. 【变式5-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）用适当的方法进行简便的计算： 【变式5-2】简便运算 【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）简便计算 易错点 利用分配律时出错 【例6】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ． (2)结合上述解法给你的启发，计算：． 【变式6-1】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运用运算律能使计算简便高效． 例如：． 解：． (1)计算：，A同学的计算过程如下： 原式． 请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． (2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：． 【变式6-2】（2023秋·浙江·七年级专题练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算，看谁算的又快又对． 小瑞很快给出了他的解法：原式=． 小晨经过思考后也给出了他的解法： 原式= = （                     ） = = ． (1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理? (2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗? (3)用你认为最合适的方法计算： 考点1：相反数、倒数、绝对值的综合应用 1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 3．（23-24七年级上·云南昆明·期中）若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 5．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 考点2：有理数乘法的新定义问题 7.若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值． 8．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 9.若“！”是一种数学运算符号，并且，，则 ． 10．（23-24七年级上·河南周口·期中）若“※”是新规定的某种运算符号，设，则的值为 ． 11．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 考点3:运用有理数的乘法运算解决实际问题 12.我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数). 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月 7日 人数变化 单位：万人 ＋1.2 ＋0.8 ＋0.2 －0.2 －0.6 ＋0.2 －1 若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？ 13.某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱； (2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由； (3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装费5元，那么该果农本周共获利多少元？ 14．（2023秋·江苏·七年级专题练习）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产 　　辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆； (3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 考点4：有理数乘法的规律探究 15．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是 ；（填序号） （2）若，且a、b为整数，则的最大值为 ； 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 16．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 一、单选题 1．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D．． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）绝对值小于3.5的整数的积为 ． 6．（23-24七年级上·广东深圳·期中）对于任意有理数a，b，规定，如，则 ． 7．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算： ． 三、解答题 8．（23-24七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算： 9．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）． 10．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知，， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 11．（22-23七年级上·河南许昌·阶段练习）请你参考黑板中老师的讲解 用运算律简便计算： (1) (2) 12．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）小明骑摩托车从咖啡店出发，在东西向的大道上送咖啡．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中小明的五次行驶记录如下（单位：km）：，+8，，+6，． (1)求第五次咖啡送完时小明在咖啡店的什么方向？距离多少千米？ (2)若摩托车每千米耗油量为升，小明从出发送第一次咖啡到送完五次咖啡后返回咖啡店共耗油多少升？ 13．（23-24七年级上·天津宁河·期中）出租车司机小张某天下午的营运都是在一条东西走向的大道上，如果规定向东为正，向西为负，那么这天下午小张的行车路程（单位：千米）如下：，，，，，，，，， (1)当小张将最后一位乘客送到目的地时，他离出车地点多少千米？ (2)若每千米的营运额为5元，则小张这天下午的总营运额为多少元？ (3)在(2)的条件下，如果营运成本为每千米1.5元，那么这天下午小张盈利 元． 14．（23-24七年级上·广东湛江·期中）如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 15．计算：． 晓莉的计算过程如下： 解：原式① ② ．③ 请问晓莉的计算过程正确吗？如果不正确，请指出开始出错的步骤，并写出正确的计算过程． 16.计算：． 嘉佳的计算过程如下： 解：原式 ． 请问嘉佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程． 17．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 18．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 第07讲 有理数的除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点1.有理数除法法则（重点） （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【例1】计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-2】计算：___________． 【变式1-3】．在，，，这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______． 【例2】计算： (1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)． 【变式2-1】把转化为乘法是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】两个数的积是，其中一个是，则另一个是______． 【变式2-3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 知识点2.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 【例3】计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 【变式3-1】计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【变式3-2】计算：_____________． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点） 1.有理数的加减乘除混合运算 在运算时要注意按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,应先算括号里面的.在同级运算中,要按从左到右的顺序来计算,并能合理运用运算律,简化运算 2.计算器的使用 不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键.另外,还要注意以下几点: (1)计算器要平稳放置,以免按键时发生晃动和滑动 (2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时,要注意按关闭键 (3)确定按键顺序后,按照算式从左到右的顺序直接输入 (4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号,以免因漏按或按不实而出现错误. (5)每次运算时,要按一下清零键 6)注意负数的输入方式. 【例4】计算：． 解法1：原式① ② ③ 解法2：原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可） (2)请给出正确解答． 【变式4-11】（ ）． A． B． C． D． 【变式4-2】计算：__________ 【变式4-3】计算：． 易错点.有理数除法运算中误用分配律 【例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程． 计算：． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝2 你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程． 【变式5-1】．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算： 【变式5-2】．计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 考点1：有理数的加减乘除混合运算的实际应用 1．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？ (2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？ (3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费） 2．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？ (2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？ (3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？ 3．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 考点2：与有理数相关的新定义运算 4．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“”是一种数学运算符号，且，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且，，，．…，则的值为（    ） A． B．99! C．100 D．2! 6.对于有理数a、b，定义运算“”如下：，试比较大小 (填“＞”“＜”或“＝”)． 考点3：有理数混合运算的材料阅读题 7．阅读下题的计算方法： 计算： 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： 所以原式 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算： 8．阅读下题的计算方法： 计算： 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解： 所以原式 根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算： 9．老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下： 小明：原式． 小军：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好 (2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来． (3)用你认为最合适的方法计算． 考点4：有理数乘除法的创新应用 10．（22-23七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以所得的余数．以年为例：天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断年为农历 年． 11.如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 12.如图， 7          2     5      1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________ 考点5：综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值 13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示， （1）用“>”或“<”填空： _________0，ac_________0，abc_________0，____________0． （2）求代数式的值． 14．已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且，又b，c互为相反数． (1)求a，b，c的值． (2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数． (3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数． 15．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______；当时，则_______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)已知，，是有理数，当时，求的值． 16．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子的所有可能的值． 17.（1）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题． ①取何值时，的值最小，最小值是多少？ ②取何值时，的值最大，最大值是多少？ （2）已知若，则，即，若，则，即，如果、、是有理数，且，时，求的值． 18．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，，请用这种方法解决下列问题． (1)当时，分别求的值； (2)已知是有理数，当时，试求的值； (3)已知是有理数，当时，试求的值． 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）．    A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所得的商（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不对 4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·云南保山·期中）计算结果等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法： ①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数 ②若m满足，则 ③若三个有理数a，b，c满足，则． 其中正确的是有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（23-24七年级上·浙江·期末）计算： ． 8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算的结果是 ． 10．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带可以包扎 个礼盒． 11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2050年为农历 年． 12．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）“凑24点”的游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张（如果初练也可只用这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为或等，在下面4个选项中，可以凑出24点的是 （填序号）． ①1、2、3、3 ②1、5、5、5 ③2、2、2、2 ④3、3、3、3 三、解答题 13．（22-23七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算：． 14．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：． 16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 17．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 18．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 19．（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题： (1)已知，是有理数， ①当，时，则________； ②当，时，则________； ③当，时，则_______； (2)已知，，是有理数，当时，求 20．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动5个单位长度，再向正方向移动8个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______； ②一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳1个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到．……若按以上规律跳了200次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2023，则这只小球的初始位置点所表示的数是______； (2)翻折变换 ①若折叠数轴，表示的点与表示2的点重合，则表示3的点与表示______的点重合； ②数轴上有A，B，C三点，点A，点B表示的数分别为和2，现按照①的条件将数轴折叠，点A对应的点为；再以点C为折点，将数轴折叠，点对应的点落在数轴上，若、B之间的距离为2，求点C表示的数．    21．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌． 游戏规则： ①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果． ②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利； ③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜． （相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为） 【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：    (1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续； (2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果； (3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由． 第08讲 有理数的乘方 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 知识点1.有理数乘方的意义（重点） 1、求个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。叫底数，叫指数，读作：的次幂(的次方)。 2、乘方的意义：表示个相乘。 3、写法的注意： 当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了． 如：＝()×()，表示两个相乘． 而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数． 4、与－的区别． (1)表示个相乘，底数是，指数是，读作：的次方． (2)－表示个乘积的相反数，底数是，指数是，读作：的次方的相反数． 如：底数是，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． ＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8． 底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．＝－(2×2×2)＝－8． 注：与的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。 【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)； (2)×××××； 【变式1-1】（1）根据有理数乘方的意义，算式可表示为 ． （2）在中指数是 ，底数是 ． 【变式1-2】（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）表示（    ） A．乘5 B．5个相加 C．5个相乘 D．2个相加 【变式1-3】（2022秋•黄山期末）﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点） 乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0。 【例2】计算：(1)－(－3)3; (2)(－)2； (3)(－)3; (4)(－1)2015. 【变式2-1】计算： ， ． 【变式2-2】计算： ； ； ． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点3.有理数的混合运算（难点） 1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。 2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即 ， 【例3】计算：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)； (2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】计算： (1)； (2)． 知识点4.科学记数法（重点） （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【例4】我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，将167000用科学记数法表示为(　　) A．167×103 B．16.7×104 C．1.67×105 D．1.6710×106 【变式4-1】2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（　　） A．0.22819×1010 B．0.22819×1011 C．2.2819×1010 D．2.2819×1011 【变式4-2】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（　　） A．4315 B．431.5 C．43.15 D．4.315 【变式4-3】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)2.01×104； (2)6.070×105； (3)－3×103. 知识点5.近似数（难点） （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【例5.1】下列数据中，不是近似数的是(　　) A．某次地震中，伤亡10万人 B．吐鲁番盆地低于海平面155m C．小明班上有45人 D．小红测得数学书的长度为21.0cm 【例5.2】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位） C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【例5.3】近似数1.70所表示的准确值a的范围是(　　) A．1.700＜a≤1.705 B．1.60≤a＜1.80 C．1.64＜a≤1.705 D．1.695≤a＜1.705 【变式5-1】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)25.7; (2)0.407； (3)4000万； (4)4.4千万． 【变式5-2】下列说法正确的是(　　) A．近似数4.60与4.6的精确度相同 B．近似数5千万与近似数5000万的精确度相同 C．近似数4.31万精确到0.01 D．1.45×104精确到百位 【变式5-3】 用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.6328(精确到0.01)； (2)7.9122(精确到个位)； (3)47155(精确到百位)； (4)130.06(精确到0.1)； (5)4602.15(精确到千位)． 易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解 【例6】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：时，步骤如下： 解：原式⋯⋯（1） ⋯⋯（2） ⋯⋯（3） (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号） (2)请给出正确的解题过程． 考点1：有理数的混合运算 1.计算：． 2.计算：． 3.计算：． 4.计算：． 考点2：用科学记数法表示数 5．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？ 7.已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB） 考点3：按要求取近似值 8.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（　　） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 9．小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（　　） A．1.675≤a＜1.685 B．1.675＜a≤1.685 C．1.675≤a≤1.685 D．1.675＜a＜1.685 10.数精确到 位． 11.下列问题中出现的数，哪些是精确值哪些是近似值 (1)某院校的某专业计划招生人； (2)小明的立定跳远成绩是； (3)若尘的这次数学考试成绩是分； (4)据统计，公园门口每月的车流量大约是辆． 考点4:有理数乘方与其他知识的综合应用 12．（23-24七年级上·重庆江津·期中）若，则 ． 13．（22-23七年级上·广东湛江·期末）若，则 ． 14．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值为 ． 考点5：有关乘方的规律探究问题 15．观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 16．观察下列等式：，，，，，，解答下列问题：的末尾数字是 17．观察下列算式： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，…那么的个位数字是 ． 18．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 考点6：利用有理数乘方解决实际问题 19．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大． (1)求第二个正方体纸盒的棱长； (2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？ 考点7：有关乘方的拓展创新题 22．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． （1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； （2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 23． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 24.概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究： (1)直接写出计算结果：　 　；　 　； (2)下列关于除方说法中，错误的有　 　；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈n次方等于它本身的数是1或-1． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：aⓝ=　 　； (4)比较：　 　；（填“＞”“＜”或“=”） (5)计算：． 25．（本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算． 定义：与（，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作． 运算法则如下： (1)填空：______，______； (2)如果，且，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值______． 一、单选题 1．（23-24七年级上·福建南平·期末）年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约人次，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各组数中，其值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是（    ）天    A．510 B．511 C．513 D．520 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的 行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将精确到百分位约为 ． 8．（22-23七年级上·江西宜春·期中）3.14（精确到十分位） ． 9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： ， ， ． 10．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）下列说法正确的有 ①倒数为本身的数是0，；②绝对值为它的相反数的数一定是负数； ③若，则；      ④任何一个有理数的平方为非负数． 11．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图（单位：个），甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于 ．    13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即），那么 ． 14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 15．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）数乘，积是一个完全平方数，则的最小值为 ． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 三、解答题 17．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 18．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）计算： 19．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）计算：． 20．（23-24七年级上·河南许昌·期末）计算： 21．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 22．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则． (1)填空： ， ． (2)若，求n的值． 23．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 学科网（北京）股份有限公司 $$