精品解析：四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高一下学期第二阶段（期中）考试数学试卷

成都市实验外国语学校高2024级高一下学期二阶段考 本考试满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A B. C. D. 5. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，分别为，，对边，且，，的面积为，那么等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b为不垂直异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 两条互相垂直的直线 C. 同一条直线 D. 一条直线及其外一点 10. 函数（，）在一个周期内的图象如下图，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若将函数的图象像右平移个单位得到函数的图像，则函数为奇函数 D. 满足条件的最小正整数x为1 11. 已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，夹角为，则 B. 的最小值是0 C. 若，则的最大值为 D. 若与不共线，，x，y，，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 14. 如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，满足，，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 16. （1）已知，是第三象限角，求值； （2）已知，，，求的值； 17. 在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围； （3）将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知函数． （1）求关于x的不等式； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）存在非零常数T，对任意，有成立，则称函数为“T函数”．若函数为“T函数”，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校高2024级高一下学期二阶段考 本考试满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用任意角的三角函数值进行求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】由题意，， 所以， 故选：C． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示以及垂直向量的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则，即，解得. 故选：B. 4. 将一个长、宽、高分别5，4，3的长方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，此球是棱长为3的正方体的内切球，根据正方体的特征求得球的直径，再由球的表面积公式求解即可． 【详解】要将长方体铁块磨制成一个球体，则球体直径最大不超过长方体的最短棱长， 又长方体的最短棱长为3，则此球是棱长为3的正方体的内切球， 根据正方体的几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为3， 所以球的半径为，其表面积是. 故选：C 5. 在中，已知，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式计算，再结合正弦定理即可. 【详解】由题意可知，， 又， 则由正弦定理可得，. 故选：D 6. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对进行平方，得到与的关系，再根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】，，，， 在方向上的投影向量为. 故选：B. 7. 在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积公式得到，结合和余弦定理即可求出的值. 【详解】由， 可得， 又， 且， 得， 所以， 则. 故选：B 8. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正n边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角三角形三角函数值的关系即可得证. 【详解】设是内切圆圆心，、分别是内切圆半径、外接圆半径， 则，，，， 在中，，即，， ，即，， ， 即. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 两条互相垂直的直线 C. 同一条直线 D. 一条直线及其外一点 【答案】ABD 【解析】 【分析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线和平面，然后判断选项的正误． 【详解】解：不妨以正方体为例，与在平面ABCD上的射影互相平行，A正确； 与在平面ABCD上的射影互相垂直，B正确； 如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，C不正确． 与在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D正确． 故选：ABD． 10. 函数（，）在一个周期内的图象如下图，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若将函数的图象像右平移个单位得到函数的图像，则函数为奇函数 D. 满足条件的最小正整数x为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两个顶点的横坐标求出周期即可判断A；解析式即可判断B，利用图象平移的方式确定平移后的解析式，再利用奇函数的定义进行证明，即可判断C；求出，将不等式转化为，然后进行求解，得出或，只需要研究时的解集即可判断D． 【详解】，故，A选项正确； 由图可知：，故，将代入其中；，即， ，，故，则，所以，B选项错误； 将函数的图象像右平移个单位得到函数，定义域关于原点对称， ，故函数为奇函数，C选项正确； 通过计算得，故，解得：或，又， 故或， 当时，令，则，解得：或， 的解集为：，当时，， 故满足条件的最小正整数x为1，D选项正确； 故选：ACD． 11. 已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，夹角为，则 B. 的最小值是0 C. 若，则的最大值为 D. 若与不共线，，x，y，，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用向量模的运算公式进行计算；B选项利用向量数量积的运算律进行化简，再利用夹角的范围进行求解；C选项利用平面向量的模长不等式即可求得最大值；D：设，由题设条件可得或，从而有. 【详解】对于A选项，，，夹角为，， ，故A正确； 对于B选项，设，的夹角为， ，的夹角为， ， ，， 当，时，，故B错误； 对于C选项，，，， 根据平面向量模长不等式可得，， 当且仅当与反向时取等号， 的最大值为，故C正确； 对于D选项，设， ，， 则， 所以， 所以， 所以， 故或或，其中， 故或或， 故共线，或或， 若共线，因为，故彼此共线，与题设矛盾， 故或， 若，故，故，因为与不共线， 故不共线，故即，而， 故，故， 同理时，也有，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示： 则，解得，即， 故答案为：. 14. 如图，面积为，，，，，的个正方形，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据余弦定理进行求解应用. 【详解】记正方形面积为的边长分别为, 三角形对应三边分别为, 由余弦定理可得, , 同理可得，，， 而，， 由余弦定理, , 所以. 故答案为: 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，满足，，与的夹角为． （1）求的值； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用数量积的运算即可求解； （2）由，即存在实数，使得，对应系数相等解出即可. 【小问1详解】 由题意有 ， 所以； 【小问2详解】 由有存在实数，使得， 即，解得. 16. （1）已知，是第三象限角，求的值； （2）已知，，，求的值； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由两角差的正弦公式、诱导公式可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式可求得的值； （2）利用平面向量数量积的坐标运算与弦化切可求得的值. 【详解】（1）因为，故， 因为是第三象限角，则， 所以； （2）因为，，， 所以 . 17. 在①，是锐角；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______， （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）是正三角形，证明见详解 【解析】 【分析】（1）选①，利用二倍角降幂公式求出，进而求解；选②，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求得得解；选③，由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解. （2）由（1），可得，代入消去角，利用三角恒等变换化简，根据三角函数求值域得解； （3）由结合，利用余弦定理求得，得证. 【小问1详解】 若选①，，则， ，解得或（舍）， 又是锐角，则. 若选②，，由正弦定理，得， ，化简整理得， 又，，故， 又，所以. 若选③，，则由正弦定理，得，，， 上式化简得，即， ，，故. 【小问2详解】 由（1），，则， ， 因为，则， ，所以. 【小问3详解】 由，，由余弦定理， ，即， ，化简得，得， 又，所以是正三角形. 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）设常数，若在区间上是增函数，求的取值范围； （3）将的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数．若对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简可得，根据周期公式可得结果； （2）先求出的递增区间，又因为函数在区间上是增函数，当时，有，解不等式即可求出答案； （3）根据图象变换得到，代入不等式并化简得，换元，令，则将原不等式转化为在上恒成立，由二次函数的图象性质即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ，由得：，， 所以的单调递增区间为，， 在区间上是增函数，当时，有， ，解得，的取值范围是. 【小问3详解】 由题意，可得，代入不等式得：，即， 令，则，需在上恒成立， 由二次函数的性质可知，只需端点处满足不等式即可，即且, 当时，需满足或；当时，需满足或. 综上，可得实数a的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求关于x的不等式； （2）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （3）存在非零常数T，对任意，有成立，则称函数为“T函数”．若函数为“T函数”，求实数k取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的性质解不等式即可； （2）设，则可转化为对于任意的恒成立，根据对勾函数的单调性即可求解； （3）由题意可得，由三角函数的有界性可得要使成立，只有，然后讨论可得答案. 【小问1详解】 由，得， 故， 解得, 所以关于x的不等式的解集为. 【小问2详解】 由， 得. 设， 因为，所以， 所以，所以. ，故， 所以对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立. 设，， 任取，且， 则 . 因为，且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. 【小问3详解】 设，因为是“T函数”， 所以是“T函数”， 即存在非零常数T，对任意，有，即. 当时，恒成立，此时是“T函数”； 当时， 因为，且，所以， 于是， 故要使成立，只有. 当时，成立，则. 当时，成立，即成立， 则，即. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $