第十九章一次函数单元测试2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十九章一次函数 单元测试 一、单选题 1．一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个函数的图象由射线，线段，射线组成，其中点，则此函数在的最大值是（   ） A．3 B．2 C．6 D．5 4．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点，则函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 5．一次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知在平面直角坐标系中，直线向上平移3个单位得到直线（k，b为常数，且），若点P在直线上，且点P的横坐标为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线关于轴对称的直线交轴于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．周末，小辰从家出发，步行前往距家的社区参加志愿服务活动，途中进入超市购买了一些清洁工具，小辰从超市出来后的速度变为原来的倍，到达集合地，小辰与家的距离与所用时间的关系如图，那么小辰在超市购物用了（   ） A． B． C． D． 9．已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上都不正确 10．某学校为了师生饮水的安全便捷，安装了多台直饮水机．数学兴趣小组探究了直饮水机水箱内的剩余水量与出水时间之间的关系（水箱出水时不自动注水），通过多次试验得到部分数据，统计如下表，则与之间的函数关系式为（   ） 出水时间（min） … 5 10 15 20 … 剩余水量 … 120 90 60 30 … A． B． C． D． 二、填空题 11．如果一次函数的图象经过原点，则 ． 12．直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式组的整数解为 ． 13．若关于、的二元一次方程组的解是，则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是 ． 14．如图，已知函数的图象和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ． 15．甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离（米）与时间（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米．其中正确的说法有 个 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是直线上的一点，轴于点，且． (1)求证：． (2)求点的坐标． (3)在直线上是否存在一点，使得点与，轴的距离之和为9，且点在第二象限内，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．某果品公司要请汽车货运公司或火车货运站运送一批水果．已知汽车和火车运送的路程都是千米，若选择汽车货运公司，则每千米的运送费用为元，此外需要支付装卸费用元；若选择火车货运站，则每千米的运送费用为元，此外需要支付装卸费用元． (1)用含的式子分别表示汽车货运公司和火车货运站运送这批水果所要收取的总费用； (2)果品公司应该选择哪家运输单位运送水果才能使花费更少？ 18．如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求a、k的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解： (3)结合图形，当时，求一次函数函数值y的取值范围． 19．如图1，延安既是华夏民族的发祥地之一，又是中国革命圣地，曾被喻为中国革命的灯塔，是国务院首批公布的历史文化名城．为了追寻红色印记，传承红色基因，某校组织一批学生前往延安进行为期一周的红色研学活动，他们从汉中出发匀速行驶至西安后，停车休息了2小时，然后从西安出发继续匀速行驶至延安，他们距离延安的路程与行驶时间x（小时）之间的关系如图2所示． 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式； (2)他们从西安出发多久后，距离延安的路程还剩？ 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十九章一次函数 单元测试 2024-2025学年人教版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A B A C A B 1．C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，可知一次函数的图象经过哪几个象限，然后即可得到一次函数的图象一定经过哪几个象限．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：一次函数， 当时，该函数图象经过第一、三、四象限， 当时，该函数图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解“形如的函数，叫做正比例函数．据此解答即可．理解相关定义是解题的关键． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．是一次函数，不符合题意； C．是反比例函数，不符合题意； D．是二次函数，不符合题意； 故选：A． 3．D 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数的最大值即在取值范围内的最高点对应的函数值，由函数图象和题目中的条件，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象可得，点是函数的图象的最高点， ∴故当时，函数在有最大值，最大值为， 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，根据一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的可得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的， ∴， 又∵一次函数的图象经过点 ∴， ∴， ∴函数的表达式为， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意数形结合的数学思想的应用，即学生利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．易错易混点：学生往往由于不理解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合，盲目答题，造成错误．根据一次函数的图象经过点，由函数表达式可得，，其实就是一次函数的函数值，结合图象可以看出答案． 【详解】解：由图可知：一次函数的图象经过点， 当时，，即； 故关于x的不等式的解集为． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．根据一次函数的平移，可知直线向上平移3个单位得到直线，再代入到，即可求出点P的坐标． 【详解】解：直线向上平移3个单位得到直线， 代入得，． 点P的坐标为． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了直线与坐标轴围成的图形面积，轴对称图形性质，先利用一次函数解析式求出点的坐标，再根据轴对称图形的性质求出点坐标，进而求出的长，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，求出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∵点和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，正确从函数图象获取信息是解题的关键． 先根据图象计算出小辰去超市前的速度，再计算出小辰出超市后到社区所用的时间，最后根据总共用时25分钟，可以计算出小辰在超市购物用的时间即可． 【详解】解：小辰从家出发，到达集合地，则总用时， 由图象可知，小辰去超市前的速度为， 小辰出超市后到社区所用的时间为， ∴小海在超市购物用的时间为． 故选：C． 9．A 【分析】本题主要查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点是一次函数图象上的两点， ∴． 故选：A 10．B 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，由饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少得与满足一次函数关系式，由待定系数法即可求解；能判断出与满足一次函数关系式是解题的关键． 【详解】解：由表格得 饮水机水箱内的剩余水量是每分钟减少， 与满足一次函数关系式， 设，则有 ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 故选：B． 11． 【分析】本题考查了由经过已知点求参数，由经过原点得，即可求解；理解图象经过原点的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，正确求出a的值和求得不等式组的解集是关键； 先求出交点坐标，进而可求出a，再解不等式组求出解集，即得答案． 【详解】解：∵与的交点的横坐标为， ∴交点的纵坐标是， 把点代入，得， ∴， ∴不等式组即为：， 解得：， ∴符合题意的整数解是：； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查函数图象的交点坐标与对应方程组的解的关系，理解两个函数图象的交点坐标就是联立这两个函数解析式构成方程组的解，数形结合，熟记这个知识点是解决问题的关键． 【详解】解：关于、的二元一次方程组可化为， 关于、的二元一次方程组的解是， 则一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用, 根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 【详解】解：函数和的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 故答案为：． 15．4 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．每秒甲比乙多跑1米，则可以判断②③④，由图象可得甲400秒到达终点，可求甲的速度． 【详解】解：由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙． 故②正确； 经过400秒，甲先到达终点，所以甲的速度为(米/秒)， 故①正确； 100秒甲追上相距100米的乙，说明每秒甲比乙多跑1米，所以经过50秒，甲比乙多跑50米，则甲乙相距的距离为50米， 故③正确； 相遇后，到甲到达终点，经过了300秒，则甲比乙多跑了300米，即甲到终点时，乙距离终点300米， 故④正确， 故其中正确的说法有①②③④，共4个， 故答案为：4． 16．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，不等式组，点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴，，可得，再由，，即可解答． （2）求出的A，B的坐标，可得的长，根据，可推导出的长，即可解答． （3）设点的坐标为，根据题意，列出一元一次方程和一元一次不等式组，即可解答． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴， ∵，， ∴． （2）当时，， ∴，即， 当时，， 解得 ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）设点的坐标为， ∵点与，轴的距离之和为9，且点在第二象限内， ∴ 即， 解得． 17．(1)， (2)时家运输单位费用相同，时选择火车货运站花费更少，时选择汽车货运公司花费更少 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确得出表达式是解题关键． （1）根据汽车货运公司和火车货运站每千米的运送费用及付装卸费分别表示出总费用即可得答案； （2）先求出，分别求出，，时的取值范围即可得答案． 【详解】（1）解：∵选择汽车货运公司，每千米的运送费用为元，此外需要支付装卸费用元； ∴择汽车货运公司的总费用为， ∵选择火车货运站，每千米的运送费用为元，此外需要支付装卸费用元， ∴选择火车货运站的总费用为． （2）解：∵，， ∴， 当时，， 解得：，此时家运输单位费用相同， 当时，， 解得：，此时选择火车货运站花费更少， 当时，， 解得：，此时选择汽车货运公司花费更少． 18．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质． （1）先把代入中可求出a的值，从而得到A点坐标，然后把A点坐标代入中可求出k的值； （2）利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可； （3）先计算出时的函数值，然后利用图象求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：根据图象，不等式的解集为； （3）解：当时，时， 因为一次函数函数值y随x的增大而减小， 所以当时，． 19．(1) (2)3小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：设图中段y与x之间的函数关系式为． 根据题意可得点C的横坐标为， ∴，， ∴， 解得：， ∴图中段y与x之间的函数关系式为； （2）解：令，得， 解得， （小时）， ∴他们从西安出发3小时后，距离延安的路程还剩． 20．(1) (2) (3)的面积为． 【分析】（1）先求得，，再根据题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，延长交于，联立求得，证明得到，，，，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，设与的交点为．证明，推出，，，过作于点，过作于点，和，得到，，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于点，延长交于， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，点的横坐标为1， 由题意，得， ∴， ∴， ∵，点、在上， ∴点的纵坐标与点纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，设与的交点为． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 过作于点，过作于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$