第五章 考点测试28 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

高考总复习首选用卷　数学 第五章　立体几何 考点测试28　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 空间几何体的结构特征 简单几何体的外接球；球的体积 圆台的侧面积 简单几何体的外接球；棱柱的表面积与体积 组合体的体积 平面图形的直观图 组合体的表面积 棱台的侧面积 圆台的计算问题；空间几何体的展开图问题 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ 对点 组合体的体积 组合体的表面积 圆锥的侧面积与体积 组合体的表面积 组合体的体积 棱锥体积的最值问题 圆锥的体积 空间轨迹问题；棱柱的表面积 简单几何体的内切球；球的表面积 高考概览 本考点是高考常考知识点，题型为选择题、填空题，中等难度 考点研读 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图 3.球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式 1．下列说法正确的是(　　) A．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 B．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 D．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 答案：C 解析：对于A，以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，故A错误；对于B，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴，故B错误；对于C，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360°时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故C正确；对于D，把两个相同的棱台的底面重合在一起，就不是棱台，故D错误．故选C. 2．(2025·云南高三名校联考)已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(　　) A．2π B．4π C．2π D．4π 答案：D 解析：圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径，设球O的半径为R，由正弦定理，得2R＝＝2，即R＝，故球O的体积V＝πR3＝4π.故选D. 3．(2025·山东聊城莘县第一中学高三开学考试)已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足R＝4r，则R＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 答案：C 解析：因为该圆台的侧面积为100π，母线长l＝10，R＝4r，所以π(r＋4r)×10＝100π，解得r＝2，则R＝8.故选C. 4．(2024·河南驻马店二模)已知某正六棱柱的体积为6，其外接球的体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为(　　) A．6＋18 B．3＋18 C．6＋24 D．3＋24 答案：D 解析：设该正六棱柱的底面边长为a，高为h，其外接球的半径为R，易知πR3＝，则R＝＝　①，且a2×6×h＝6　②，联立①②，因为h∈Z，解得a＝1，h＝4，所以正六棱柱的表面积S＝a2×12＋6ah＝3＋24.故选D. 5．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果一张石凳的体积是0.18 m3，那么原正方体石料的体积是(　　) A．0.196 m3 B．0.216 m3 C．0.225 m3 D．0.234 m3 答案：B 解析：设原正方体石料的棱长为a m．由题意可得a3－××a×a×a×8＝0.18，解得a3＝0.216.所以原正方体石料的体积是0.216 m3.故选B. 6．如图，某四边形ABCD的直观图是正方形A′B′C′D′，且A′(1，0)，C′(－1，0)，则原四边形ABCD的面积等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案：D 解析：由题意可知A′(1，0)，C′(－1，0)，即A′C′＝2，故A′B′＝，所以S正方形A′B′C′D′＝2，则原四边形ABCD的面积为＝4.故选D. 7．(2025·山东潍坊诸城繁华中学高三上期末)陀螺是早期民间小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图．已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为(　　) A．240π B．220π C．160π D．176π 答案：A 解析：该陀螺的表面积是底面圆的面积、圆柱的侧面积和圆锥的侧面积之和．因为圆柱底面圆的直径为16，所以底面圆的半径为8，则底面圆的面积为π×82＝64π，因为圆柱的高为6，所以圆柱的侧面积为2π×8×6＝96π，根据圆锥的高为6，底面半径为8，得圆锥的母线长为＝10，所以圆锥的侧面积为π×8×10＝80π，所以该陀螺的表面积为64π＋96π＋80π＝240π.故选A. 8．(2024·河南濮阳模拟)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为(　　) A．8 B．12 C．24 D．48 答案：C 解析：如图，取棱的中点，作截面EFGH，则FG，EH为正四棱台的斜高．在等腰梯形EFGH中，易知EF＝2，GH＝4，∠EHG＝60°，所以EH·cos60°＝＝1⇒EH＝2，所以正四棱台的侧面积为4××(2＋4)×2＝24.故选C. 9．(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则(　　) A．该圆台的高为1 cm B．该圆台轴截面的面积为3 cm2 C．该圆台的体积为 cm3 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm 答案：BCD 解析：如图1，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝＝1 cm，则BE＝＝ cm，故圆台的高为 cm，A错误；圆台轴截面的面积为×(2＋4)×＝3 cm2，B正确；圆台的体积为××(π＋4π＋)＝ cm3，C正确；将圆台一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD的中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CD＝2AB，可得BC＝OB＝2 cm，则OC＝4 cm，∠COD＝＝，又OP＝OA＋＝3 cm，则CP＝＝5 cm，即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm，D正确．故选BCD. 10．(2025·北京房山高三开学考试)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有m升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好经过点P(图2)，设正四棱柱的高为h1，正四棱锥的高为h2，则＝________． 答案： 解析：设正四棱柱的底面面积为S，在题图1中，可得Sh2－Sh2＝Sh2＝m，所以h2＝，在题图2中，可得S(h1－h2)＝m，所以h1－h2＝，则h1＝，所以＝＝. 11．(2025·上海松江高三开学考试)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CC1的中点，△BPD1以BD1为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是________． 答案：2π 解析：由题意知，△BPD1为等腰三角形，且BD1＝2，PD1＝PB＝，所以△BPD1以BD1为轴旋转一周，得到的旋转体是以BD1为中心轴，PD1和PB分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体，可得圆锥的底面半径为＝，所以旋转体的表面积S＝2πrl＝2π. 12．(2025·四川绵阳高三联考)甲、乙两圆锥母线长均为3，体积分别为V1，V2，侧面积分别为S1，S2，且＝，侧面展开图的圆心角θ1，θ2满足θ1＋θ2＝2π，则＝________． 答案： 解析：依题意，不妨设两圆锥的母线长均为l，甲圆锥的底面半径为r，高为h，乙圆锥的底面半径为R，高为H，则S1＝3πr，S2＝3πR，由＝，得＝＝，故R＝2r，因为侧面展开图的圆心角之和为2π，所以2πr＋2πR＝6π，故r＝1，所以h＝＝2，H＝＝，所以＝＝＝. 13．(2024·浙江丽水高三模拟)已知长轴长与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的面积为πab(a>b>0)．现要切割加工一个底面半径为1、高为2的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，且与底面所成的角为60°.然后再将切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为(　　) A．6π B．7π C．8π D．10π 答案：C 解析：设底面中心为O，截面与底面交于线段AB，由圆锥曲线的定义可得截面为半个椭圆，设椭圆的长轴端点为D，且底面圆周上的点E满足DE垂直于底面，则OD⊥AB，DE⊥AB，又OD∩DE＝D，所以AB⊥平面ODE，从而AB⊥OE.因为OE＝1，截面与底面所成角的平面角是∠DOE＝60°，则DE＝，OD＝2，所以截面所在椭圆的长半轴为a＝2，短半轴为b＝1，所以截面的面积为S1＝πab＝π，而圆柱的表面积是S2＝2×π×12＋2×2π×1＝6π，因此所刷油漆的面积为2S1＋S2＝8π.故选C. 14．(2024·新疆维吾尔自治区二模)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到平面ABCD的距离为5，CD与AB间的距离为10，则这个“羡除”的体积V＝________． 答案：200 解析：连接CE，BE，BD，V＝VE－ABCD＋VC－BEF＝VE－ABCD＋VD－ABE＝VE－ABCD＋VE－ABD＝VE－ABCD＋VE－ABCD＝VE－ABCD＝×××(6＋8)×10×5＝200. 15．(2024·江西南昌模拟)如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，M，N分别为线段AB，AD上异于点A，B，D的动点，且满足AM＝AN，H为MN的中点，将点A沿MN折至点A′处，使A′H⊥平面BCD，则五棱锥A′－MBCDN体积的最大值为________． 答案： 解析：设AM＝x，因为AM＝AN，H为MN的中点，所以A′H⊥MN，且AH＝x，底面MBCDN的面积为16－x2(0<x<4)，所以五棱锥A′－MBCDN的体积为V(x)＝x(0<x<4)，则V′(x)＝，令V′(x)>0，得0<x<；令V′(x)<0，得<x<4.所以V(x)在上单调递增，在上单调递减，所以V(x)max＝V＝. 16．(2024·上海奉贤三模)如图，已知△BOA为直角三角形(O为直角)，分别连接点B与线段OA的n等分点A1，A2，…，An－1，得到n个三角形依次为△BOA1，△BA1A2，…，△BAn－1A，将△BOA绕着OB所在直线旋转一周，记△BOA1，△BA1A2，…，△BAn－1A旋转得到的几何体的体积依次为V1，V2，…，Vn，若V1＝1，Vn＝49，则△BOA旋转得到的几何体的体积V＝________． 答案：625 解析：设OA＝a，OB＝b，则V1＝πb＝×＝1　①，记△BOAn－1绕着OB所在直线旋转一周得到的几何体体积为V圆锥B－OAn－1，所以Vn＝V－V圆锥B－OAn－1＝πa2b－πb＝πa2b·＝πa2b·＝49　②，②÷①，得n＝25，所以V1＝×＝1，可得πa2b＝1875，则△BOA旋转得到的几何体的体积V＝πa2b＝×1875＝625. 17．(2024·四川成都二模)在所有棱长均相等的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，点P在四边形AA1B1B内(含边界)运动．当C1P＝CC1时，点P的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为________． 答案：16＋4 解析：设直四棱柱的棱长为a，延长A1B1，过点C1作C1O垂直于A1B1的延长线于点O，由∠BAD＝60°，可得OB1＝，C1O＝.由直四棱柱的性质，可得C1O⊥平面AA1B1B，所以C1O⊥OP.因为C1P＝CC1＝a，所以OP＝＝a.在平面AA1B1B内，点P的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆夹在四边形AA1B1B内的部分，即图中圆弧.因为OB1＝，OF＝a，∠OB1F＝90°，所以∠FOB1＝，因为点P的轨迹长度为，所以OP＝2，即a＝2.所以四棱柱的表面积为4×2×2＋2×2×2×＝16＋4. 18．已知某无上盖的圆台容器的上、下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台容器内能放入最大球的表面积为________． 答案： 解析：圆台的轴截面为如图所示的等腰梯形ABCD，过D，C分别作DE，CF垂直于AB，垂足为E，F，AE＝6－2.5＝3.5，AD＝7，cos∠DAE＝cos∠CBF＝＝，所以圆台的轴截面等腰梯形ABCD的底角为60°，高为3.5×＝，设边长为12的正三角形的内切圆半径为r，则×(12＋12＋12)×r＝×122，解得r＝2，即边长为12的正三角形内切圆的半径为2，2>，故能放入最大球的半径为，其表面积为4π＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$