13.2 与三角形有关的线段13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（课件）2025-2026学年人教八年级数学上册

第十三章 三角形 八上数学 RJ 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 13.2 与三角形有关的线段 1.理解三角形的中线、角平分线、高线等概念. 2.掌握三角形高线的画法，发展空间观念. 3.能够利用三角形三边关系、三种重要线段的概念，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力. 学习目标 复习 1.三角形三边的关系： 2.三角形具有____________. 3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm， a的取值范围是什么？ 稳定性 4<a<8 三角形两边的和大于第三边， 三角形两边的差小于第三边. 课堂导入 4.如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. A B 复习 知识点1 三角形中线的概念 P ● 新知探究 5.如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC=AB 或AB=2AC=2BC 知识点1 三角形中线的概念 复习 新知探究 在这些三角形中，除了边之外，还有一些特殊的线段，它们有着独特的性质和作用，大家想不想知道是什么呢？ 课堂导入 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 三角形的中线的定义 符号语言： ①AD是△ABC的边BC上的中线， ②点D是边BC的中点， ③BD=CD=BC. D C B A 知识点1 三角形的中线 新知探究 如图，画出△ABC的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？ 三角形的三条中线相交于一点. E F O 知识点1 三角形的中线 新知探究 画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． 知识点1 三角形的中线 新知探究 D C B A 思考 被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 知识点1 三角形的中线 新知探究 例1 如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，下列结论一定正确的是（ ） B 知识点1 三角形的中线 新知探究 跟踪训练 如图，AD为△ABC的中线，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周长为28cm，则△ABD的周长为_________. 解析：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD. ∵△ACD的周长为28cm, ∴AC+AD+CD=28cm. ∵AC=10cm, ∴AD+CD=18cm,即AD+BD=18cm. ∵AB=13cm， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=31cm. 31 cm 知识点1 三角形的中线 新知探究 知识点2 三角形的角平分线 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B C A 方法一： 新知探究 折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. B C A 方法二： 知识点2 三角形的角平分线 探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 新知探究 符号语言： 如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 知识点2 三角形的角平分线 ①AD是△ABC的角平分线， ②AD平分∠BAC，交BC于点D， ③∠1=∠2∠BAC. 新知探究 思考 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？ 1 2 A B C D 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 知识点2 三角形的角平分线 新知探究 例2 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ） A. BD是△ABC的角平分线 B. CE是△BCD的角平分线 C. ∠3=∠ACB D. CE是△ABC的角平分线 D 知识点2 三角形的角平分线 新知探究 知识点3 三角形的高 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 思考 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？ 高 底 A B C D 新知探究 A B C D 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线，简称三角形的高. 几何语言： ①AD是△ABC的边BC上的高， ②AD⊥BC于点D. 知识点3 三角形的高 新知探究 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F B A C F A B C D E F 三角形的三条高所在直线交于一点. 知识点3 三角形的高 新知探究 观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点？ B A C F A B C D E F A B C E F 知识点3 三角形的高 新知探究 三角形三条高的位置 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 知识点3 三角形的高 新知探究 例3 如图是一个钝角三角形ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（ ） A 知识点3 三角形的高 新知探究 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请根据图中各角之间的关系填空： （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= ( )； （3）∠ACB=（ ）∠4. 2 ∠ABC 2 D A B C E F 1 2 3 4 随堂练习 2.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高， 填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ； （3）∠AFB= =90°； CE BC ∠CAD ∠BAC ∠CFA B C D E A F 随堂练习 解析：因为AE为中线，所以 BE=CE=BC=4. 因为AF为高， 所以S△ABC= ×8×5=20，S△ABE= ×4×5=10. 2.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高， 填空： （4）若BC=8，AF=5 ， 则S△ABC = ，S△ABE = . B C D E A F 20 10 随堂练习 3.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H，则下列说法正确的有（ ） ①AD是△ABE的角平分线； ②BE是△ABD的边AD上的中线； ③CH是△ACD的边AD上的高； ④AH是△ACF的角平分线和高. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B BG AG 随堂练习 4.如图，在△ABC中，CD是中线,已知BC-AC=5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm. ∵△DBC的周长为25cm， ∴△ADC的周长为25-5=20（cm）. 随堂练习 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 课堂小结 $$