第二章 考点测试14 函数的实际应用-【金版教程】2026年高考数学一轮总复习首选用卷课件PPT（新教材）

第一部分　考点通关练 第二章　函数、导数及其应用 考点测试14　函数的实际应用 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 用函数图象刻画变化过程 根据函数的增长趋势确定函数类型 求函数的解析式 用函数图象刻画变化过程 函数模型的选择 求函数的解析式；基本不等式 指数函数模型的应用 对数函数模型的应用 指数函数模型的应用 幂函数模型的应用 对数函数模型的应用 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ 对点 分段函数模型的应用 二次函数模型的应用 对数函数模型的应用 对数函数模型的应用 指数函数模型的应用 分段函数模型的应用 幂函数模型的应用 对数函数模型的应用 指数函数模型的应用 幂函数模型的应用 对数函数模型的应用 指数函数模型的应用 高考概览 高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，中等难度 考点研读 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 基础巩固练 综合提升练 目录 素养深化练 基础巩固练 1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：小时)的函数关系用图象表示正确的是(　　) 解析：蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 x 3 9 27 81 y 2 3.1 4 5.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 4．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图是景德镇青花瓷瓶，现往该青花瓷瓶中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是(　　) 解析：由题图可知该青花瓷瓶上下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度一直增加，且开始时水的高度增加的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增加的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，只有C项符合先慢后快的趋势．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 解析：根据题意，对于①，当x>0时，y>0，A，C，D均符合，B不符合；对于②，y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B，C，D均不符合．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 7．(2024·浙江杭州西湖高级中学二模)某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．40年　 　　　　B．30年 　　　　　C．20年 　　　　　D．10年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 13．(2024·江苏南通如东县高三学情检测)一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次．已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例．为使得每天运货总量最大，则每次拖________只小船． 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14．随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型y＝loga(x＋m)＋b进行拟合，建立y关于x的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为17万人时，线下销售健身卡的利润大约为________万元． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 26 综合提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 39 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 40 素养深化练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 43 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 46 　　　　　　　　　　　　　 R 2．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： x 3 9 27 81 y 2 3.1 4 5.2 下列函数中最符合变量y与x的对应关系的是(　　) A．y＝eq \f(1,9)x＋2 B．y＝x2－4x＋5 C．y＝eq \f(1,2)×2x－eq \f(1,10) D．y＝log3x＋1 解析：由表中的数据可得，y随x的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数y＝eq \f(1,2)×2x－eq \f(1,10)，y＝x2－4x＋5在(3，＋∞)上的增大幅度越来越大；函数y＝eq \f(1,9)x＋2呈线性增大，只有函数y＝log3x＋1与已知数据的增大趋势接近． 3．(2024·陕西安康高新中学等校高三模拟)半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，f(0)＝1000，若t是以年为单位，则f(t)的解析式为(　　) A．f(t)＝1000＋eq \f(1000,24)t B．f(t)＝1000×2t C．f(t)＝1000×2eq \s\up15(\f(t,2)) D．f(t)＝1000＋2t 解析：晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，根据时间t以年为单位，以及f(0)＝1000，得f(t)＝1000×2eq \s\up15(\f(t,2)).故选C. 5．(2024·上海华东师大附中周浦中学高三期中)了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x(单位：min)，菌落的覆盖面积为y(单位：mm2)．团队提出如下假设：①当x>0时，y>0；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是(　　) A．y＝kax(k>0，a>1) B．y＝logbx＋c(b>1，c>0) C．y＝kx＋b(k>0，b>0) D．y＝peq \r(x)＋q(p>0，q>0) 解析：总利润f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(800,x＋2)－3))－(100＋13x)＝732－eq \f(1600,x＋2)－16(x＋2)≤732－2eq \r(\f(1600,x＋2)×16（x＋2）)＝412，当且仅当eq \f(1600,x＋2)＝16(x＋2)，即x＝8时，f(x)最大．故选B. 6．(2024·河南二十名校高三调研)设某批产品的产量为x(单位：万件)，总成本c(x)＝100＋13x(单位：万元)，销售单价p(x)＝eq \f(800,x＋2)－3(单位：元/件)．若该批产品全部售出，则总利润(总利润＝销售收入－总成本)最大时的产量为(　　) A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 解析：设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要x年，由题意知，1×2x＝1000000，即2x＝106，所以x＝log2106＝6log210＝eq \f(6lg 10,lg 2)≈eq \f(6,0.301)≈20.故选C. 8．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S1，S2，…，Sn(单位：m2)，其相应的透射系数分别为τ1，τ2，…，τn，则组合墙的平均隔声量应由各部分的透射系数的平均值eq \o(τ,\s\up6(－))确定：eq \o(τ,\s\up6(－))＝eq \f(S1τ1＋S2τ2＋…＋Snτn,S1＋S2＋…＋Sn)，于是组合墙的平均隔声量(单位：dB)为R＝10lg eq \f(1,\o(τ,\s\up6(－))).已知某墙的透射系数为eq \f(1,104)，面积为20 m2，在墙上有一门，其透射系数为eq \f(1,102)，面积为2 m2，则组合墙的平均隔声量为(　　) A．10 dB 　　　　B．20 dB　　　　　C．30 dB 　　　　　D．40 dB 解析：由题意知组合墙的透射系数的平均值eq \o(τ,\s\up6(－))＝eq \f(S1τ1＋S2τ2,S1＋S2)＝eq \f(20×10－4＋2×10－2,20＋2)＝10－3，所以组合墙的平均隔声量R＝10lg eq \f(1,\o(τ,\s\up6(－)))＝10lg eq \f(1,10－3)＝30 dB.故选C. 解析：由题意得eq \f(1,10)＝2b，则b＝eq \f(1,20)，令eq \f(1,2)＝eq \f(1,20)×2eq \s\up15(\f(t,10))，即2eq \s\up15(\f(t,10))＝10，解得t＝eq \f(10,lg 2)≈33.故选C. 9．(2024·河南部分重点中学高三期末)据科学研究表明，某种玫瑰花的新鲜程度y与其花朵凋零时间t(单位：分钟)(在植物学上t表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间)近似满足函数关系式：y＝b·2eq \s\up15(\f(t,10))(b为常数)，若该种玫瑰花在凋零时间为10分钟时的新鲜程度为eq \f(1,10)，则当该种玫瑰花新鲜程度为eq \f(1,2)时，其凋零时间约为(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．3分钟 　　　B．30分钟　　　　C．33分钟 　　　　D．35分钟 10．(2024·江苏南京、盐城高三一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T＝eq \f(2π,\r(GM))aeq \s\up15(\f(3,2))，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的(　　) A．2倍 　　　　B．4倍 　　　　C．6倍 　　　　　D．8倍 解析：设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，长半轴长为a2，则T1＝8T2，且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(T1＝\f(2π,\r(GM))a\s\up15(\f(3,2))1　①，,T2＝\f(2π,\r(GM))a\s\up15(\f(3,2))2　②，))由①÷②，得eq \f(T1,T2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,a2)))eq \s\up15(\f(3,2))＝8，所以eq \f(a1,a2)＝4，即a1＝4a2.故选B. 11．(2024·四川成都二模)14C同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n(单位：年)与死亡n年后14C的含量Pn满足关系式nlg 2＝5730lg eq \f(P0,Pn)(其中动植物体内初始14C的含量为P0)．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 7≈0.85)(　　) A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年 解析：依题意知，经过n年后14C含量为0.7P0，所以有eq \f(P0,Pn)＝eq \f(10,7)，代入关系式得nlg 2＝5730lg eq \f(10,7)，则n＝5730×eq \f(lg 10－lg 7,lg 2)＝5730×eq \f(1－lg 7,lg 2)≈2865，所以可以推测该样本距今约2865年．故选B. 12．(多选)(2024·贵州黔东南期末)某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了A，B两种计件工资核算方案，员工的计件工资y(单位：千元)与其生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．当某员工生产800件产品时，该员工采用A，B方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产500件产品时，该员工采用A方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产200件产品时，该员工采用B方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产1000件产品时，该员工的计件工资最多为14200元 解析：从题图中可得，A正确，B错误；若某员工生产200件产品，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用B方案核算的计件工资为eq \f(5,3)×2×1000＝eq \f(10000,3)元，因为eq \f(10000,3)>3000，所以该员工采用B方案核算的计件工资更多，C正确；由题图可知，当某员工生产1000件产品时，该员工采用A方案核算的计件工资更多，当x>3(100x∈N)时，员工采用A方案核算的计件工资y(单位：千元)与生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系式为y＝1.6x－1.8，则当x＝10时，y＝14.2，即当某员工生产1000件产品时，该员工的计件工资最多为14200元，D正确．故选ACD. 解析：设每次拖x只小船，每天往返y次，每只小船的载重量为M，每天的运货总量为G，由题意，设y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝16，,7k＋b＝10，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝24，))所以y＝－2x＋24，所以每天的运货总量G＝Mxy＝Mx(－2x＋24)＝－2M(x－6)2＋72M，所以当x＝6，y＝12时，G取得最大值72M，即每次拖6只小船时，每天运货总量最大． x/万人 3 5 9 y/万元 eq \f(4,3) eq \f(7,3) eq \f(10,3) eq \f(13,3) 解析：根据题意及表格，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＝loga（m＋3）＋b，,\f(7,3)＝loga（m＋5）＋b，,\f(10,3)＝loga（m＋9）＋b，))作差，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝loga\f(m＋5,m＋3)，,1＝loga\f(m＋9,m＋5)，))即eq \f(m＋5,m＋3)＝eq \f(m＋9,m＋5)＝a⇒m＝－1，a＝2，则eq \f(4,3)＝log2(－1＋3)＋b＝1＋b⇒b＝eq \f(1,3)，所以y＝log2(x－1)＋eq \f(1,3)，当x＝17时，y＝log2(17－1)＋eq \f(1,3)＝eq \f(13,3). x/万人 3 5 9 y/万元 eq \f(4,3) eq \f(7,3) eq \f(10,3) 15．药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期T＝eq \f(0.693,K)，其中K是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若t h内药物在血液中的浓度由c0 ug%降低到c1 ug%，则该药物的消除速度常数K＝eq \f(ln c0－ln c1,t).已知某药物的半衰期为3 h，首次服用后血药浓度为45 ug%，当血药浓度衰减到20 ug%时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．3.3 h 　　　　B．3.5 h　　　　C．4.6 h 　　　　D．6.9 h 解析：因为K＝eq \f(0.693,T)＝eq \f(ln c0－ln c1,t)，所以t＝eq \f(（ln c0－ln c1）T,0.693)，由题意，得T＝3，c0＝45，c1＝20，所以t＝eq \f(（ln 45－ln 20）×3,0.693)＝eq \f(2（ln 3－ln 2）,0.231)≈eq \f(2×（1.1－0.7）,0.231)≈3.5.故选B. 16．(2024·江苏南京高三上学期学情调研)新风机的工作原理是：从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设某房间的体积为v0，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m.已知某款新风机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v(v>1)，室内空气中颗粒物的浓度与时刻t的函数关系为ρ(t)＝(1－λ)eq \f(m,v0)＋λeq \f(m,v0)e－vt，其中常数λ为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为eq \f(4,5)，且t＝1时室内空气中颗粒物的浓度是t＝2时的eq \f(3,2)倍，则v的值约为(参考数据：ln 2≈0.6931，ln 3≈1.0986)(　　) A．1.3862 　　　　B．1.7917　　　　C．2.1972 　　　　D．3.5834 解析：由题意，得ρ(1)＝eq \f(m,5v0)＋eq \f(4m,5v0)e－v，ρ(2)＝eq \f(m,5v0)＋eq \f(4m,5v0)e－2v.因为ρ(1)＝eq \f(3,2)ρ(2)，所以eq \f(m,5v0)＋eq \f(4m,5v0)e－v＝eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,5v0)＋\f(4m,5v0)e－2v))，整理，得8e－v－12e－2v＝1.令e－v＝n，因为v>1，所以n∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))，则12n2－8n＋1＝0，解得n＝eq \f(1,2)(舍去)或n＝eq \f(1,6).故e－v＝eq \f(1,6)，解得v＝ln 6＝ln 2＋ln 3≈0.6931＋1.0986＝1.7917.故选B. 17．一种细胞的分裂速度v(单位：个/秒)与其年龄t(单位：岁)的关系可以用下面的分段函数来表示：v(t)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5t，0≤t≤10，,\f(2a,b＋log2\f(t,a))，t>10，))其中a，b∈R，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则a≈(参考数据：log23≈1.585)(　　) A．6.402 B．6.463 C．6.502 D．6.522 解析：由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即v(5)＝v(60)，所以0.5×5＝eq \f(2a,b＋log2\f(60,a))，整理，得b＝eq \f(4a,5)－log2eq \f(60,a)，又分裂速度变化是连续的，则0.5×10＝eq \f(2a,b＋log2\f(10,a))，整理，得b＝eq \f(2a,5)－log2eq \f(10,a)，所以eq \f(4a,5)－log2eq \f(60,a)＝eq \f(2a,5)－log2eq \f(10,a)⇒eq \f(2a,5)＝log2eq \f(60,a)－log2eq \f(10,a)＝log26＝1＋log23，解得a≈6.463.故选B. 18．(2024·北京朝阳二模)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f＝eq \f(1,2)ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P＝fv.当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是(　　) A．若C不变，则P比原来提高不超过30% B．若C不变，则P比原来提高超过40% C．为使P不变，则C比原来降低不超过30% D．为使P不变，则C比原来降低超过40% 解析：由题意，f＝eq \f(1,2)ρCSv2，P＝fv，所以P＝eq \f(1,2)ρCSv3，C＝eq \f(2P,ρSv3).当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时，则P1＝eq \f(1,2)ρCS(1＋10%)3v3＝eq \f(1,2)ρCS(1.1)3v3＝1.331×eq \f(1,2)ρCSv3，所以P比原来提高超过30%，不超过40%，故A，B错误；当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时，C1＝eq \f(2P,1.13ρSv3)＝eq \f(2P,1.331ρSv3)≈0.75×eq \f(2P,ρSv3)，所以C比原来降低不超过30%，故C正确，D错误．故选C. 19．(2024·广东实验中学高三模拟)物种多样性是指一定区域内动物、植物、微生物等生物种类的丰富程度，关系着人类福祉，是人类赖以生存和发展的重要基础．通常用香农—维纳指数H来衡量一个群落的物种多样性，H＝－eq \o(∑,\s\up12(s),\s\do12(i＝1)) (Piln Pi)，其中s为群落中物种总数，Pi为第i个物种的个体数量占群落中所有物种个体数量的比例．已知某地区一群落初始指数为H1，群落中所有物种个体数量为N，在引入数量为m的一个新物种后，指数H2＝(　　) A．ln (N＋m)－eq \f(Nln N＋mln m－NH1,N＋m) B.eq \f(NlnN－mlnm－H1,N＋m)＋ln (N＋m) C．ln (N＋m)＋eq \f(Nln N＋mln m－NH1,N＋m) D.eq \f(Nln N＋mln m＋H1,N＋m)－ln (N＋m) 解析：记初始物种数量为s，第i个物种的个体数量为ni，所以N＝n1＋n2＋…＋ns，则H1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,N)ln \f(n1,N)＋\f(n2,N)ln \f(n2,N)＋…＋\f(ns,N)ln \f(ns,N)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,N)ln n1＋\f(n2,N)ln n2＋…＋\f(ns,N)ln ns))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,N)ln N＋\f(n2,N)ln N＋…＋\f(ns,N)ln N))，所以H1＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,N)（n1ln n1＋n2ln n2＋…＋nsln ns）－ln N))　①，在引入数量为m的一个新物种后，物种数量为s＋1，所有物种的个体数量为N＋m，设第s＋1个物种为引入的新物种，则 H2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,N＋m)ln \f(n1,N＋m)＋\f(n2,N＋m)ln \f(n2,N＋m)＋…＋\f(ns,N＋m)ln \f(ns,N＋m)＋\f(m,N＋m)ln \f(m,N＋m))) ＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,N＋m)（n1ln n1＋n2ln n2＋…＋nsln ns＋mln m）－ln （N＋m）))， 所以H2＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,N＋m)（n1ln n1＋n2ln n2＋…＋nsln ns＋mln m）－ln （N＋m）))　②，结合①②可得H2＝ln (N＋m)－eq \f(Nln N＋mln m－NH1,N＋m).故选A. 20．(多选)(2024·江西部分重点中学高三4月联考)土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用．利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量m(单位：mg/L)与时间t(单位：h)满足关系式m(t)＝eq \f(a,ebt)，已知处理1 h后，重金属含量减少20%，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．a表示未经处理时土壤中的重金属含量 B．b的值为ln 0.8 C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2 h D．函数m(t)为减函数 解析：当t＝0时，m(t)＝a，故a表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确；当t＝1时，(1－20%)a＝ae－b，∴e－b＝0.8　①，故－b＝ln 0.8⇒b＝－ln 0.8，B错误；∵(1－50%)a＝ae－bt，∴0.5＝(e－b)t　②，联立①②，得0.5＝0.8t，则t＝log0.80.5＝eq \f(lg 0.5,lg 0.8)＝eq \f(－lg 2,lg 4－lg 5)＝eq \f(－lg 2,2lg 2－（lg 10－lg 2）)＝eq \f(－lg 2,3lg 2－1)≈eq \f(－0.301,3×0.301－1)≈3.103，故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约3 h，C错误；由于e－b＝0.8，所以y＝e－bt单调递减，又a>0，因此m(t)＝eq \f(a,ebt)单调递减，D正确．故选AD. 21．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润(单位：万元)为P＝eq \f(x,4)，投资x万元经销乙商品所获得的利润(单位：万元)为Q＝eq \f(a,2) eq \r(x)(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为______． 解析：设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元，则所获得的利润分别为Q＝eq \f(a,2) eq \r(x)(a＞0)，P＝eq \f(20－x,4)，由题意得P＋Q≥5，当0≤x≤20时恒成立，则化简得aeq \r(x)≥eq \f(x,2)，当0≤x≤20时恒成立．①x＝0时，a为一切实数；②0＜x≤20时，分离参数得a≥eq \f(\r(x),2)，所以a≥eq \r(5).综上，a≥eq \r(5)，所以a的最小值为eq \r(5). eq \r(5) 22．(多选)(2025·山西晋中昔阳县中学高三一模)当一束光通过一个吸光物质(通常为溶液)时，溶质吸收了光能，光的强度减弱．吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术、集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为A＝－lg T＝lg eq \f(I0,I)，其中，A是吸光度，T为透光率，I0为入射光强度，I为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 T 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为A1，A2，A3，则(　　) A.eq \f(A1,A2)<2 B．A2－A3<A1 C．A1＋A3>2A2 D．A1A3>Aeq \o\al(2,2) 解析：由题意可知，A1＝－lg 0.6，A2＝－lg 0.7，A3＝－lg 0.8.对于A，2A2＝－2lg 0.7＝－lg 0.49，而y＝lg x在定义域内单调递增，且0.49<0.6，所以lg 0.6>lg 0.49，即－lg 0.6<－lg 0.49，所以A1<2A2，又A2>0，所以eq \f(A1,A2)<2，故A正确；对于B，A2－A3＝－lg 0.7＋lg 0.8＝－lg eq \f(7,8)，因为eq \f(7,8)>0.6，所以lg eq \f(7,8)>lg 0.6，即－lg eq \f(7,8)<－lg 0.6，所以A2－A3<A1，故B正确；对于C，A1＋A3＝－lg 0.6－lg 0.8＝－lg 0.48，因为0.48<0.49，所以lg 0.48<lg 0.49，即 －lg 0.48>－lg 0.49，所以A1＋A3>2A2，故C正确；对于D，A1A3＝(－lg 0.6)× (－lg 0.8)<eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（－lg 0.6）＋（－lg 0.8）,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 0.48,2)))eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 0.49,2)))eq \s\up12(2)＝(lg 0.7)2＝Aeq \o\al(2,2)，所以A1A3<Aeq \o\al(2,2)，故D错误．故选ABC. 23．神舟十八号载人飞船在2024年11月4日返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足f(v)＝eq \f(\f(10,9)G,1＋e－0.67\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co5(\f(v,v0)＋0.27)))，其中G为飞船重力，v0为飞船初速度．已知当f(v)＝G时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，v≈(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A．2.9v0 B．3.0v0 C．3.1v0 D．3.2v0 解析：由题意，得G＝eq \f(\f(10,9)G,1＋e－0.67\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,v0)＋0.27)))，即1＋e－0.67eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,v0)＋0.27))＝eq \f(10,9)，即e－0.67eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,v0)＋0.27))＝eq \f(1,9)，两边同时取自然对数，得－0.67eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,v0)＋0.27))＝－2ln 3，所以v≈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2.2,0.67)－0.27))v0≈3.0v0.故选B. $$