第10讲 随机事件的概率-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第10讲 随机事件的概率思维导图 知识点1 在重复试验中观察不确定现象 一、确定事件 1.必然事件：在每次试验中都一定会发生的事件。例如，太阳从东边升起。必然事件发生的可能性为百分之百。 2.不可能事件：在每次试验中都一定不会发生的事件。例如，在装了10个红球的口袋中摸出一个白球。不可能事件发生的可能性为零。 二、随机事件 无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件。在某一次试验中，可能发生也可能不发生。例如，抛一枚硬币，正面向上；从一副扑克牌中随意抽取一张牌，这张牌正好是红桃。因为随机现象发生的频率有趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小。 三、试验规律 在相同实验条件下，随着实验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定。这一规律有助于我们通过观察和分析实验数据，来估计随机事件发生的可能性。 知识点2 随机事件的概率 一、基本概念 1.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。 2.不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。 3.确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 4.随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。 二、频数与频率 1.频数：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。 2.频率：事件A出现的频数与试验总次数的比值称为事件A出现的频率。 三、概率 1.定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，那么把这个常数称为事件A的概率，记作P(A)。 2.概率与频率的关系：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。当试验次数无限多时，频率会近似地等于概率。 四、概率的基本性质 1.必然事件的概率为1，即P(必然事件)=1。 2.不可能事件的概率为0，即P(不可能事件)=0。 3.任意事件的概率介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。 4.互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。 5.对立事件的概率关系：如果事件A与事件B是对立事件，那么P(A)+P(B)=1。 五、概率的求解方法 1.利用频率估算法：通过大量重复试验，计算事件A发生的频率，并以其稳定值作为事件A的概率。 2.狭义定义法：如果一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。 3.列表法或树状图法：当试验涉及多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，可以采用列表法或树状图法，然后计算事件A的概率。 教材习题01 下列事件中，哪些是确定事件？哪些是随机事件？ （1）小明在射击比赛中一枪击中靶心； （2）某篮球队员在罚球线投篮一次，未投中； （3）你将长到高； （4）在标准大气压下，气温低于时水结冰． 解：（1）小明在射击比赛中一枪击中靶心，是随机事件； （2）某篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件； （3）你将长到高，是不可能事件，是确定事件； （4）在标准大气压下，气温低于时水结冰，是必然事件，是确定事件． 综上所述，（1）（2）是随机事件，（3）（4）是确定事件． 教材习题02 掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 解：（1）面朝上的点数大于0，是必然事件，故； （2）面朝上的点数是7，是不可能事件，故； （3）面朝上的点数是3的倍数有3，6两种情况，故； 按发生的可能性从大到小的顺序排列为． 教材习题03 自由转动如图所示的转盘.下列事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？根据你的经验，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列. （1）转盘停止后指针指向1； （2）转盘停止后指针指向10； （3）转盘停止后指针指向的是偶数； （4）转盘停止后指针指向的不是奇数就是偶数； （5）转盘停止后指针指向的数大于1. （1）转盘停止后指针指向1的概率是； （2）转盘停止后指针指向10的概率是0； （3）转盘停止后指针指向的是偶数的概率是； （4）转盘停止后指针指向的不是奇数就是偶数的概率是1； （5）转盘停止后指针指向的数大于1的概率是， （4）是必然事件，（1）（3）（5）是随机事件； 将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（2）（1）（3）（5）（4）． 教材习题04 （教材变式）五一劳动节假期期间，某书城为了吸引读者进行购书消费，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（落在分界线时，重新转动转盘），那么读者就可以分别获得45元、30元、25元购书券，凭购书券可以在书城继续购书；如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元购书券． (1)求转动一次转盘获得45元购书券的概率； (2)若李明在该书城消费了125元，求他转动转盘获得购书券的概率． （1）解：转盘被平均分成12份，红色部分占1份， （获得45元购书券）； （2）解：转盘被平均分成12份，红色部分占1份，黄色部分占2份，绿色部分占3份， （李明转动转盘获得购书券）． 教材习题05 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ （1）解：，，； （2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动， 故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 教材习题06 小明、小红与另外四名同学一起参加桌面游戏．六个人通过抽签决定座位A、B、C、D、E、F． (1)小明抽中A座位的概率为______； (2)若“面对面”座位上的两人为游戏中的盟友，请用“列表”或“画树状图”的方法，求出小明和小红成为盟友的概率． （1）解：由题意，小明抽中A座位的概率为； 故答案为：； （2）由题意，列表如下： 小红 小明 正确列表 共有30种等可能的结果，其中小明和小红成为盟友的结果有：共6种． ． 答：小明和小红成为盟友的概率． 考点一、确定事件与随机事件 1．下列事件是必然事件的是（    ）． A．明天蒲城县有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．13个人中至少有两个人出生月份相同 D．乘坐公交车恰好有座位 【答案】C 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件下一定会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是必然事件，符合题意； D、是随机事件，不符合题意； 故选C． 2．若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（    ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了事件的分类，因式分解，把原式先提取公因式6，再利用平方差公式分解因式得到，则一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除，再一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案， 【详解】解： ， ∵n为整数， ∴是整数， ∴一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除， ∴被9整除是随机事件，被3或被6或被2整除都是必然事件， 故选：A． 3．下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．太阳每天从西方升起 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．买一张电影票，座位号是奇数 D．3天内将下雨 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A. 太阳每天从西方升起是不可能事件，符合题意；     B. 射击运动员射击一次，命中9环是随机事件，不符合题意； C. 买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意；     D. 3天内将下雨是随机事件，不符合题意； 故选：A． 考点二、可能性大小 1．春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小概念求解即可． 【详解】解：由图知，袋中白球个数明显多于黑球，且个数超过一半， 所以小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为非常有可能， 故选：B． 2．以下事件的可能性大小关系为 ．（由小到大写出序号） （1）销量很大某种彩票中了一等奖； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个； （4）自然状态下水往高处流． 【答案】（4）（1）（2）（3） 【分析】此题考查了事件可能性的大小，根据题意逐项判断比较即可． 【详解】解：（1）销量很大某种彩票中了一等奖，可能性非常小； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数，可能性为； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个，可能性为1； （4）自然状态下水往高处流，可能性为0． ∴可能性大小关系为（4）（1）（2）（3）． 故答案为：（4）（1）（2）（3）． 3．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时： (1)指针落在红色区域与蓝色区域分别是什么事件？ (2)指针落在哪个区域的可能性最大？请说明理由． 【答案】(1)随机事件和不可能事件 (2)白色区域，因为所占面积最大 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，几何概率． （1）根据事件发生的可能性大小解答即可； （2）比较三种区域的面积大小即可确定落在哪个区域的可能性大． 【详解】（1）解：指针落在红色区域是随机事件， ∵转盘上没有蓝色区域， ∴指针落在蓝色区域是不可能事件， 即指针落在红色区域与蓝色区域分别随机事件和不可能事件； （2）解：由图可知，白色所对的扇形面积最大， ∴指针落在的区域可能性最大的是白色区域． 考点三、用频率估计概率 1．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用频率估计概率，根据表格频率接近，即可求解，理解概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解题的关键． 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为， 故选：A． 2．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 【答案】0.7 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据大量重复试验得到的频率即为事件发生的概率解答即可． 【详解】解：由题意得，这名球员投篮一次，投中的概率约为：． 故答案为：0.7． 3．李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 【答案】(1)0.700 (2)0.77 (3)李伟得满分的次数是462次 【分析】本题考查的是利用频率估计概率的思想，解题的关键是能熟记相关的知识点． （1）根据频率计算公式即可求解； （2）根据频率估计概率的思想进行解答，实验次数越多，某事件发生的频率越稳定在相应的概率附近； （3）由频率计算公式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.700； （2）解：由表格可得：当实验500次时，得满分的频率都在0.770附近波动， ∴估计李伟前掷实心球得满分的概率是0.77， 故答案为：0.77； （3）解：由题意得，当李伟投掷600次时，他得满分的次数为． 考点四、根据概率公式计算概率 1．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【答案】D 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，分式方程的应用，先利用频率估计概率，再根据概率公式计算．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设口袋中红球有个， 通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近， 可以估计摸到红球的概率是， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：口袋中红球可能有12个， 故选：D． 2．将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外无其他差别．摸球前先搅匀，随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】∵将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中， ∴随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是． 故答案为：． 3．乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了随机事件的定义、概率公式的应用，熟练掌握随机事件的概念和概率公式（，其中是总情况数，是事件发生的情况数 ）是解题的关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断“从20盒中任意取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这一事件的类型，看其是否确定会发生或不发生． （2）先求出有黄色乒乓球的盒数，再根据概率公式“概率 所求情况数总情况数”计算抽取到有黄色乒乓球的概率． （3）利用“盒中有1个黄色乒乓球的概率为”，结合概率公式列出关于的方程，求出后，再根据总盒数为20，算出的值 ． 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以， 即，所以． 考点五、几何概率 1．如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 2．张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何的概率，关键在利用七巧板的性质进行正方形面积的求解． 分别求出图1和图2的面积，即可得出A的面积B的面积，进而可求出图2的面积和阴影部分的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：七巧板的面积之和边长为4的正方形面积， ∵图1为正方形， ∴①的面积②的面积， ∴A的面积B的面积， 则阴影区域的面积为：A的面积B的面积，图2的面积， ∴最终停留在阴影区域的概率， 故答案为：． 3．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据图形求出阴影部分的面积和地板的面积，再根据概率公式计算即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由图可知，阴影区域的面积个阴影小三角形的面积块方砖的面积， 地板的面积为， ∴小猫停留在阴影区域的概率为． 考点六、列表法或树状图法求概率 1．《哪吒之魔童闹海》之后，天庭举办了一场擂台赛．要求太乙真人和无量仙翁参加“法宝法术挑战赛”，于是元始天尊设计了抽卷轴的方式来决定各自使用的法宝或法术(卷轴除所写内容外均相同)．规则如下：太乙真人从写有“九龙神火罩”(A)、“山河社稷图”(B)的卷轴中随机抽取一个；无量仙翁从写有“天元鼎”(C)、“穿心咒”(D)、“法杖”(E)的卷轴中随机抽取一个．若太乙真人的法宝能克制无量仙翁的法宝或法术(克制关系：A克制D，B克制E)，则太乙真人获胜，否则无量仙翁获胜 (1)太乙真人抽取的卷轴上写的是“山河社稷图”的概率为__________； (2)请用列表或画树状图的方法，求无量仙翁获胜的概率． 【答案】(1) (2)无量仙翁获胜的概率为 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 【详解】（1）∵太乙真人从写有“九龙神火罩”(A)、“山河社稷图”(B)的卷轴中随机抽取一个； ∴太乙真人抽取的卷轴上写的是“山河社稷图”的概率为， 故答案为：； （2）列表如下：                太乙真人 无量仙翁 A B C D E 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中无量仙翁获胜的结果有4种， 无量仙翁获胜的概率为． 2．茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）总共有四张特色明信片，“．西汉鎏金马”是其中一张， ∴抽到“．西汉鎏金马”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中含有．四神纹玉铺首的结果有6种， ∴(抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首)． 3．为增强居民消防安全意识，减少消防安全隐患，某社区计划开展以“消除事故隐患，筑牢安全防线”为主题的消防安全活动，并为此招募志愿工作者，甲、乙两人积极报名参加．现有A．“消防安全知识宣传”，B．“消防安全演练协助”，C．“消防安全隐患排查”，D．“消防安全隐患整治”四个小组，甲、乙两人被分到任意一个小组的可能性相同． (1)请用列表法或画树状图法，求两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数； (2)求两人被分到同一小组的概率． 【答案】(1)结果总数为16种 (2) 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率、简单的概率计算公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法步骤是解答的关键． （1）根据题意，画出树状图，即可解答； （2）根据两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数为16种，而两人被分到同一小组的结果有4种，即可解答． 【详解】（1）解：画树状图如解图： 由树状图可知，两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数为16种． （2）由（1）可知，两人被分到同一小组的结果有4种， ∴． 考点七、游戏公平性 1．小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 2．某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即．若为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．请用列表法或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】表格见解析，这个游戏对双方公平． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到为奇数和偶数的结果数，据此根据概率计算公式分别计算出演奏《月光下的凤尾竹》和演奏《彩云之南》的概率，进而可得结论． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 由表格可知，一共有8种等可能性的结果数，其中为奇数的结果数有4种，为偶数的结果数有4种， ∴演奏《月光下的凤尾竹》的概率为，演奏《彩云之南》的概率为， ∴这个游戏对双方公平． 3．小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 【答案】(1)两位同学的想法是错误的，原因见解析 (2)不公平，涂色见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算并判断即可得解； （2）根据概率公式计算即可得出． 【详解】（1）解：我认为以上两位同学的想法是错误的． 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种，这些结果是等可能的．其中红色扇形有2个，黄色扇形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是．因此小杰的想法是错误的． 转盘是均匀的．无论前面转动结果如何，再转一次，结果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率．因此，小颖的想法是错误的． （2）解：不公平． 由（1）可得小杰获胜的概率是，小颖获胜的概率是， ∵， ∴游戏不公平， 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可． 知识导图记忆 1．“翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 【答案】A 【分析】本题主要考查随机事件的知识，根据在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件判断即可． 【详解】解：“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第80页”，这个事件是随机事件， 故选：A． 2．用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（    ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．返老还童 D．守株待兔 【答案】A 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：旭日东升是一定会发生的， 大海捞针可能发生，也有可能不发生，但是发生的可能性极小， 返老还童是不可能发生的， 守株待兔是可能发生，也有可能不发生， ∴事件发生的可能性最大的是如日东升， 故选：A． 3．某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，折线统计图．大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此根据统计图找到频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在0.90附近， ∴可估计这种树苗移植成活的概率约是0.90， 故选：B． 4．在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，由摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近得到摸到印有艾片的卡片的概率为，求出口袋中装有卡片约是25张，即可求出答案． 【详解】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近， ∴摸到印有艾片的卡片的概率为， 口袋中装有5张印有中药艾片的卡片， ∴， 即口袋中装有卡片约是25张， ∴口袋中印有白果的卡片数约是（张） 故选：B． 5．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 6．在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：英文单词“”中共有6个字母，字母“a”有3个， ∴字母“a”被选中的概率是， 故答案为：． 7．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果， ∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为， 故答案为：． 8．某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．画树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有9个等可能的结果，小王、小李两人恰好选中同一门课程的结果有3个， ∴小王、小李两人恰好选中同一门课程的概率为 ， 故答案为：． 9．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，先理解游戏内容，得B，C这两个方格必有1个地雷，再结合概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格） ∴B，C这两个方格必有1个地雷， ∴B方格中有地雷的概率为， 故答案为：． 10．如图的四枚邮票分别取材于四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》及《红楼梦》，除正面图案外完全相同．现将四枚邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两枚，则其中有一枚邮票上的图案取材于《水浒传》的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查随机事件发生概率的计算方法，列表法和树状图法是常用的方法，使用的前提是每一种结果出现的可能性是均等的，即是等可能事件． 【详解】解：设《水浒传》《三国演义》《西游记》及《红楼梦》分别为， 列表如下： ， 共有12种等可能出现的结果，其中有一枚邮票上的图案取材于《水浒传》有6中， 所以其中有一枚邮票上的图案取材于《水浒传》的概率是， 故答案为：． 11．三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C．已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：树状图如下： 列表如下： 第一瓶第二瓶 A B C A B C ∵共有6种等可能的情况数，其中混合后烧杯中溶液颜色为红色的有，，，，共4种， ∴P（混合后烧杯中溶液颜色为红色）． 12．“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：球形火焰；动量守恒；奇妙“乒乓球”；又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ； (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了用画树状图或列表法求概率，用公式法求概率，解题关系是正确画出树状图或列出表格． （1）直接利用概率公式求解； （2）利用画树状图或列表法求解． 【详解】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了，，，， 小斌抽到动量守恒实验的概率是． 故答案为：； （2）画树状图： 两人抽到卡片可能出现的情况共有16种，其中抽到相同卡牌的结果由4种， 所以· 13．请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)C (2)这个游戏不公平．理由见解析 【分析】本题主要考查了事件的分类，游戏的公平性，熟知相关知识是解题的关键． （1）在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可； （2）分别计算出小颖和小琪赢的概率，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，摸到白球的事件属于随机事件， 故选：C； （2）解：这个游戏不公平．理由如下： （小颖赢），（小琪赢）， （小颖赢）（小琪赢）， 小颖赢的可能性大，这个游戏不公平 14．涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 380 360 410 400 430 470 500 自觉佩戴头盔人数/人 364 342 393 388 412 451 480 自觉佩戴头盔的频率 0.96 0.95 0.96 0.97 0.96 0.96 a (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 【答案】(1)0.96 (2)0.96 (3)1920人 【分析】本题考查求频率、利用频率估计概率，利用概率求数量，理解题意是解答的关键． （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率求解即可； （3）总数乘以概率求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.96； （2）解：由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.96， 故答案为：0.96； （3）解：（人） 答：估计其中佩戴了头盔的骑行者有1920人． 15．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)补全图形见解析 (2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前 (3) 【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可； （2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可； （3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下： ； （2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10． ∴排在第，位的数据为， ∴甲社团的成绩的中位数为（分）； ∵乙社团排在第，位的数据为，， ∴乙社团的成绩的中位数为（分）； ∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； （3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种， ∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 随机事件的概率思维导图 知识点1 在重复试验中观察不确定现象 一、确定事件 1.必然事件：在每次试验中都一定会发生的事件。例如，太阳从东边升起。必然事件发生的可能性为百分之百。 2.不可能事件：在每次试验中都一定不会发生的事件。例如，在装了10个红球的口袋中摸出一个白球。不可能事件发生的可能性为零。 二、随机事件 无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件。在某一次试验中，可能发生也可能不发生。例如，抛一枚硬币，正面向上；从一副扑克牌中随意抽取一张牌，这张牌正好是红桃。因为随机现象发生的频率有趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小。 三、试验规律 在相同实验条件下，随着实验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定。这一规律有助于我们通过观察和分析实验数据，来估计随机事件发生的可能性。 知识点2 随机事件的概率 一、基本概念 1.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。 2.不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。 3.确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。 4.随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。 二、频数与频率 1.频数：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。 2.频率：事件A出现的频数与试验总次数的比值称为事件A出现的频率。 三、概率 1.定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，那么把这个常数称为事件A的概率，记作P(A)。 2.概率与频率的关系：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。当试验次数无限多时，频率会近似地等于概率。 四、概率的基本性质 1.必然事件的概率为1，即P(必然事件)=1。 2.不可能事件的概率为0，即P(不可能事件)=0。 3.任意事件的概率介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。 4.互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。 5.对立事件的概率关系：如果事件A与事件B是对立事件，那么P(A)+P(B)=1。 五、概率的求解方法 1.利用频率估算法：通过大量重复试验，计算事件A发生的频率，并以其稳定值作为事件A的概率。 2.狭义定义法：如果一次试验中，有n种可能的结果，且它们发生的可能性都相等，考察事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m/n。 3.列表法或树状图法：当试验涉及多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，可以采用列表法或树状图法，然后计算事件A的概率。 教材习题01 下列事件中，哪些是确定事件？哪些是随机事件？ （1）小明在射击比赛中一枪击中靶心； （2）某篮球队员在罚球线投篮一次，未投中； （3）你将长到高； （4）在标准大气压下，气温低于时水结冰． 教材习题02 掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 教材习题03 自由转动如图所示的转盘.下列事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？根据你的经验，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列. （1）转盘停止后指针指向1； （2）转盘停止后指针指向10； （3）转盘停止后指针指向的是偶数； （4）转盘停止后指针指向的不是奇数就是偶数； （5）转盘停止后指针指向的数大于1. 教材习题04 （教材变式）五一劳动节假期期间，某书城为了吸引读者进行购书消费，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（落在分界线时，重新转动转盘），那么读者就可以分别获得45元、30元、25元购书券，凭购书券可以在书城继续购书；如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元购书券． (1)求转动一次转盘获得45元购书券的概率； (2)若李明在该书城消费了125元，求他转动转盘获得购书券的概率． 教材习题05 篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 教材习题06 小明、小红与另外四名同学一起参加桌面游戏．六个人通过抽签决定座位A、B、C、D、E、F． (1)小明抽中A座位的概率为______； (2)若“面对面”座位上的两人为游戏中的盟友，请用“列表”或“画树状图”的方法，求出小明和小红成为盟友的概率． 考点一、确定事件与随机事件 1．下列事件是必然事件的是（    ）． A．明天蒲城县有雨 B．打开电视机，它正在播广告 C．13个人中至少有两个人出生月份相同 D．乘坐公交车恰好有座位 2．若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（    ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 3．下列事件中，是不可能事件的是（    ） A．太阳每天从西方升起 B．射击运动员射击一次，命中9环 C．买一张电影票，座位号是奇数 D．3天内将下雨 考点二、可能性大小 1．春天游园会有一个游戏摊位，玩的人就可以从摊主提供的袋子里抽出一个弹珠．袋子里的弹珠如图所示，当抽到白色的弹珠就能得到奖品．小刚玩这个游戏，得到奖品的可能性为(    ) A．不可能 B．非常有可能 C．不太可能 D．大约的可能 2．以下事件的可能性大小关系为 ．（由小到大写出序号） （1）销量很大某种彩票中了一等奖； （2）掷一枚质地均匀的骰子，得到的结果为偶数； （3）4个球随机放入3个盒子中，至少有一个盒子中的球数不少于2个； （4）自然状态下水往高处流． 3．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时： (1)指针落在红色区域与蓝色区域分别是什么事件？ (2)指针落在哪个区域的可能性最大？请说明理由． 考点三、用频率估计概率 1．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　） 移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 A． B． C． D． 2．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）． 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中的次数 40 60 111 134 175 219 360 投中的频率 0.80 0.60 0.74 0.67 0.70 0.73 0.72 3．李伟在寒假期间进行了前掷实心球训练，训练结果如下： 投掷次数 10 20 40 60 100 200 500 得满分的次数 7 14 30 46 76 153 385 得满分的频率 0.700 0.750 0.767 0.760 0.765 0.770 (1)计算：________； (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是________（精确到0.01）； (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分的次数． 考点四、根据概率公式计算概率 1．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 2．将分别标有“冠”“军”“之”“城”“保”“定”六个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字外无其他差别．摸球前先搅匀，随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“保”的概率是 ． 3．乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 考点五、几何概率 1．如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 2．张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 3．在如图所示的地板（图中每一块方砖除颜色外完全相同）中，每块方砖的边长为，小猫在地板上自由走动，并随意停留在某块方砖上．求小猫停留在阴影区域的概率． 考点六、列表法或树状图法求概率 1．《哪吒之魔童闹海》之后，天庭举办了一场擂台赛．要求太乙真人和无量仙翁参加“法宝法术挑战赛”，于是元始天尊设计了抽卷轴的方式来决定各自使用的法宝或法术(卷轴除所写内容外均相同)．规则如下：太乙真人从写有“九龙神火罩”(A)、“山河社稷图”(B)的卷轴中随机抽取一个；无量仙翁从写有“天元鼎”(C)、“穿心咒”(D)、“法杖”(E)的卷轴中随机抽取一个．若太乙真人的法宝能克制无量仙翁的法宝或法术(克制关系：A克制D，B克制E)，则太乙真人获胜，否则无量仙翁获胜 (1)太乙真人抽取的卷轴上写的是“山河社稷图”的概率为__________； (2)请用列表或画树状图的方法，求无量仙翁获胜的概率． 2．茂陵博物馆是以汉武帝茂陵、霍去病墓及大型石刻群等为主的西汉断代史博物馆，馆藏文物丰富．馆内文创店新推出四款特色明信片(除画面不同外，其他完全相同)，分别是：．马踏匈奴，．西汉鎏金马，．四神纹玉铺首，．四神纹铜染器，店员将这四款明信片各取一张背面朝上洗匀后放于展示台上． (1)小茂随机抽取一张明信片，则抽到“．西汉鎏金马”的概率是____________； (2)小茂想随机抽取两张明信片(先随机抽取一张，不放回，洗匀后再随机抽取一张)，一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法求他抽取的两张明信片中含有．四神纹玉铺首的概率． 3．为增强居民消防安全意识，减少消防安全隐患，某社区计划开展以“消除事故隐患，筑牢安全防线”为主题的消防安全活动，并为此招募志愿工作者，甲、乙两人积极报名参加．现有A．“消防安全知识宣传”，B．“消防安全演练协助”，C．“消防安全隐患排查”，D．“消防安全隐患整治”四个小组，甲、乙两人被分到任意一个小组的可能性相同． (1)请用列表法或画树状图法，求两人被分配到的小组的所有可能出现的结果总数； (2)求两人被分到同一小组的概率． 考点七、游戏公平性 1．小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 2．某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．然后计算这两个数的和，即．若为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．请用列表法或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 3．小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 知识导图记忆 1．“翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（   ） A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件 2．用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（    ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．返老还童 D．守株待兔 3．某林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 4．在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（   ） A．15 B．20 C．25 D．30 5．随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（   ） A． B． C． D． 6．在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是 ． 7．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ． 8．某校开设“陶艺”“电工”“烹饪”3门劳动课程，小王、小李从3门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则两人恰好选中同一门课程的概率为 ． 9．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ． 10．如图的四枚邮票分别取材于四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》及《红楼梦》，除正面图案外完全相同．现将四枚邮票背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两枚，则其中有一枚邮票上的图案取材于《水浒传》的概率是 ． 11．三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为A、B、C．已知A、B混合后溶液会变为红色，A、C混合后溶液也会变为红色，B、C混合后溶液不变色．从A、B、C三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，用画树状图（或列表）的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 12．“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：球形火焰；动量守恒；奇妙“乒乓球”；又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了，，，，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． (1)佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为 ； (2)佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 13．请根据甲、乙两个事件发生的概率，回答下列问题： (1)甲事件：在一个口袋中放入100个除颜色外形状大小都相同的球，其中99个红球，1个白球．则摸到白球的事件属于______（填选项）； A．必然事件            B．不可能事件        C．随机事件 (2)乙事件：如图是一个被等分为8个扇形的转盘，3个扇形涂成红色，3个扇形涂成蓝色，其余2个扇形涂成白色．小颖和小琪想利用这个转盘做游戏，若转盘指针指到红色区域，则小颖赢；若转盘指针指到白色区域，则小琪赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 14．涟水县“安全出行，幸盔有你”的安全教育活动持续在开展．为了解我县居民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续一周同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 380 360 410 400 430 470 500 自觉佩戴头盔人数/人 364 342 393 388 412 451 480 自觉佩戴头盔的频率 0.96 0.95 0.96 0.97 0.96 0.96 a (1)表格中_______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴头盔的概率为_______；（结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有2000辆，请估计其中佩戴了头盔的骑行者有多少人？ 15．2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10． ②乙社团的平均成绩为（分）． ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$