第08讲 测量 直角三角形的性质 锐角三角函数-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第08讲 测量 直角三角形的性质 锐角三角函数思维导图 知识点1 测量 一、解直角三角形的应用 1.利用勾股定理测量：通过构造直角三角形，利用勾股定理（a²+b²=c²）求解未知边长，从而得到测量目标的高度或距离。例如，通过测量旗杆影子和标杆影子的长度，利用比例关系求解旗杆的高度。 2.利用相似三角形测量：根据相似三角形的性质（对应边成比例，对应角相等），通过测量已知物体的高度和其与测量目标之间的角度或距离关系，求解测量目标的高度或距离。例如，通过测量人与旗杆的距离、人的身高以及人眼观察旗杆顶部时的视线与水平线的夹角，利用相似三角形求解旗杆的高度。 二、测量方法 1.阳光下的影子法：利用同一时刻物高与影长成比例的原理进行测量。 2.标杆法：通过设立标杆，利用标杆与测量目标之间的相似关系进行测量。 3.平面镜法：利用光的反射原理和平面镜成像的特点，通过测量镜子与测量目标之间的距离以及观察者与镜子之间的距离，利用相似三角形求解测量目标的高度。 4.构造类似三角形法：通过构造与测量目标相似的三角形，利用相似三角形的性质进行测量。 三、测量误差与精度 了解测量条件（如仪器的精密度、观测者的鉴别力、自然环境等）对测量误差的影响，以及如何通过多余观测和最小二乘法测量平差等方法提高测量精度。 知识点2 直角三角形的性质 一、直角三角形的定义 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，90度的角称为直角，其余两个角称为锐角，且这两个锐角互余。 直角三角形的性质 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角边，c是斜边。 2. 斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 30°-60°-90°直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 4. 直角三角形的面积：直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半，即S=(1/2)ab。 知识点3 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形ABC中，∠C=90°，锐角∠A的正弦、余弦、正切定义如下： 1.正弦：sin A=∠A的对边/斜边=a/c 2.余弦：cos A=∠A的邻边/斜边=b/c 3.正切：tan A=∠A的对边/邻边=a/b 二、锐角三角函数的表示法及注意事项 1.在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要小写，不能大写。 2.当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A，cos α，tan B等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如sin∠ABC，sin∠1等。 3.“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”“cos·A”“tan·A”。 三、锐角三角函数的取值范围及性质 1.正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关。 2.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0（A为锐角）。 3.正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如sin28°，cos8°，tan18°等。 四、锐角三角函数之间的关系 1.同一锐角的三角函数之间的关系： （1）平方关系：sin²A+cos²A=1 （2）商数关系：tan A=sin A/cos A 2.互余两角的三角函数之间的关系：可以利用平方关系和商数关系进行推导，具体关系式根据题目需求进行变换。 教材习题01 如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米． （1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母． （2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差． 教材习题02 如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 教材习题03 如图，在中，，，，，求的长． 教材习题04 如图，在中，，，．求的三个三角函数值． 教材习题05 计算：． 教材习题06 用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 教材习题07 已知为锐角，求满足下列条件的的度数(精确到1″)． (1)； (2)； (3)； (4)． 考点一、正弦值求解 1．如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，于点，则 ． 3．如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 考点二、余弦值求解 1．在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 2．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 3．如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值 考点三、正切值求解 1．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； 考点四、两个直角三角形斜边的一半——斜边上的中线 1．如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 2．如图，是三角形的中位线，平分，且，若，则的长为 . 3．如图，在中，，过点作于点，是的中线，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 考点五、两个直角三角形斜边的一半——30°对应的直角边 1．如图，在中，，，，于，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，则 ． 3．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 考点六、测量 1．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　） A．32米 B．米 C．36米 D．米 2．如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有 米． 3．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m． ①计算小亮在路灯D下的影长； ②计算建路灯AD的高． 考点七、判断三角形形状 1．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，满足：，则的形状为 ． 3．如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    考点八、特殊角三角函数混合运算 1．计算： 2．计算：． 3．计算：． 考点九、用计算器求锐角三角函数值 1．用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 2．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 3．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数： （l）；（2）； （3）；（4）． 知识导图记忆 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若AB＝4，AC＝3，则BD为（　　） A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 6．在中，，，D为的中点，则 ． 7．如图，在中，若，，，则 ． 8．如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 9．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 10．如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是 米． 11．计算：． 12．已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 13．如图，在中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作垂线的垂足为，求的长度． 14．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个等腰直角； (2)在图2中画出一个平行四边形，使平行四边形的面积是16，连接，并直接写出的正切值． 15．如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 测量 直角三角形的性质 锐角三角函数思维导图 知识点1 测量 一、解直角三角形的应用 1.利用勾股定理测量：通过构造直角三角形，利用勾股定理（a²+b²=c²）求解未知边长，从而得到测量目标的高度或距离。例如，通过测量旗杆影子和标杆影子的长度，利用比例关系求解旗杆的高度。 2.利用相似三角形测量：根据相似三角形的性质（对应边成比例，对应角相等），通过测量已知物体的高度和其与测量目标之间的角度或距离关系，求解测量目标的高度或距离。例如，通过测量人与旗杆的距离、人的身高以及人眼观察旗杆顶部时的视线与水平线的夹角，利用相似三角形求解旗杆的高度。 二、测量方法 1.阳光下的影子法：利用同一时刻物高与影长成比例的原理进行测量。 2.标杆法：通过设立标杆，利用标杆与测量目标之间的相似关系进行测量。 3.平面镜法：利用光的反射原理和平面镜成像的特点，通过测量镜子与测量目标之间的距离以及观察者与镜子之间的距离，利用相似三角形求解测量目标的高度。 4.构造类似三角形法：通过构造与测量目标相似的三角形，利用相似三角形的性质进行测量。 三、测量误差与精度 了解测量条件（如仪器的精密度、观测者的鉴别力、自然环境等）对测量误差的影响，以及如何通过多余观测和最小二乘法测量平差等方法提高测量精度。 知识点2 直角三角形的性质 一、直角三角形的定义 直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。在直角三角形中，90度的角称为直角，其余两个角称为锐角，且这两个锐角互余。 直角三角形的性质 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角边，c是斜边。 2. 斜边上的中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 30°-60°-90°直角三角形的性质：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反之，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 4. 直角三角形的面积：直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半，即S=(1/2)ab。 知识点3 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在直角三角形ABC中，∠C=90°，锐角∠A的正弦、余弦、正切定义如下： 1.正弦：sin A=∠A的对边/斜边=a/c 2.余弦：cos A=∠A的邻边/斜边=b/c 3.正切：tan A=∠A的对边/邻边=a/b 二、锐角三角函数的表示法及注意事项 1.在sin A，cos A，tan A中，三角函数的符号一定要小写，不能大写。 2.当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A，cos α，tan B等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如sin∠ABC，sin∠1等。 3.“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解为“sin·A”“cos·A”“tan·A”。 三、锐角三角函数的取值范围及性质 1.正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关。 2.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0（A为锐角）。 3.正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如sin28°，cos8°，tan18°等。 四、锐角三角函数之间的关系 1.同一锐角的三角函数之间的关系： （1）平方关系：sin²A+cos²A=1 （2）商数关系：tan A=sin A/cos A 2.互余两角的三角函数之间的关系：可以利用平方关系和商数关系进行推导，具体关系式根据题目需求进行变换。 教材习题01 如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米． （1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母． （2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差． （1）如图2所示； （2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°． 又∵∠AGD为公共角， ∴△ABG∽△CDG． ∴． ∵DF＝100米，点B是DF的中点， ∴BD＝BF＝50米， ∵AB＝5米，BG＝10米， ∴， ∴CD＝30（米）． 又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角， ∴△ADB∽△EDF， ∴， ∴EF＝2AB＝10（米） ∴CD﹣EF＝20（米） 答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米． 教材习题02 如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． （1）解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 教材习题03 如图，在中，，，，，求的长． 解：， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 教材习题04 如图，在中，，，．求的三个三角函数值． 中，，，， ， ， ， ． 教材习题05 计算：． 解： ． 教材习题06 用计算器求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）=0.8290； （2）=0.9367； （3）1.0000； （4）=4.7544． 教材习题07 已知为锐角，求满足下列条件的的度数(精确到1″)． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）∵， ∴； (2)∵， ∴； (3)∵， ∴； (4)∵， ∴． 考点一、正弦值求解 1．如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 2．在中，，，于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 故答案为：． 3．如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 考点二、余弦值求解 1．在中，，，，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 2．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴， 所以． 故答案为：． 3．如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的值 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明出，得到，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由（1）知：，根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）四边形为矩形， ， ， 为中点， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）四边形为矩形，，， ， 设 由（1）知：， 中，， 即， 解得 ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点三、正切值求解 1．将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．先求出点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，作于，设交轴于点D，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：点在上， ， ， 把代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的解析式为：； 、两点关于原点成中心对称， ； 如图所示，作于，设交轴于点D， ，， ， 轴，轴， ， ． 故答案为：． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求； （2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求． 【详解】（1）解：如图：取格点，连接，，即为所求； （2）解：如图：取格点，连接交格线于，连接，即为所求． 考点四、两个直角三角形斜边的一半——斜边上的中线 1．如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，关键是判定，推出．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，由三角形内角和定理推出，得到，判定，推出，即可求出的长． 【详解】解：，为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （舍去负值）． 故选：D． 2．如图，是三角形的中位线，平分，且，若，则的长为 . 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，证明出在上，根据，可得，再由即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点，， ，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在上， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，过点作于点，是的中线，过点作，过点作，与交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证四边形是菱形． （2）先证明，再根据等角对等边可得，结合，可得，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的中线，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和，等边对等角，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点五、两个直角三角形斜边的一半——30°对应的直角边 1．如图，在中，，，，于，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：在中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 的面积， 故选：B． 2．如图，中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，先根据含30度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点B匀速运动，同时点N从点A出发以的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点作于点，连接．设运动时间为． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)当运动时间t为多少时，四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)15秒 【分析】（1）根据题意，，，解答即可． （2）根据动点M的速度为，动点N的速度为，设运动时间为，根据平行四边形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵动点M的速度为，动点N的速度为， 设运动时间为， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， 解得． 故运动时，四边形是平行四边形． 考点六、测量 1．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（　　） A．32米 B．米 C．36米 D．米 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理证明∽，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵BC⊥CA，MN⊥AN， ∴∠C＝∠MNA＝90°， 由题可知，∠BAC＝∠MAN， ∴∽， ∴，即， ∴MN＝32米． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，熟练掌握判定定理及性质是解题的关键． 2．如图，一棵大树被风吹断，已知折断处距地面5米，树的折断部分与地面成45°的角，这棵大树有 米． 【答案】(5＋5) 【分析】把题中图形抽象成Rt△ABC，由∠BAC=45°得到AC=BC=5，再用勾股定理求出AB的长，最后可得大树在折断前的高度. 【详解】解：如图，把题中图形抽象成如下图： ∵∠BAC=45°，∠BCA=90°， ∴AC=BC=5， ∴AB==5， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=(5＋5)米． 故答案为(5＋5) 【点睛】此题主要利用了勾股定理解决问题，解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系． 3．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m． ①计算小亮在路灯D下的影长； ②计算建路灯AD的高． 【答案】①；②． 【分析】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】①∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ； ②∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是找到相似三角形利用相似三角形的对应边成比例进行求解. 考点七、判断三角形形状 1．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 3．如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值．    【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于，   ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 考点八、特殊角三角函数混合运算 1．计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负整数指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．根据特殊的三角函数值，零次幂及负整数指数幂运算法则求解即可． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，特殊锐角三角函数值，零指数幂，先计算特殊锐角三角函数值，零指数幂，再算加减即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 3．计算：． 【答案】1． 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及整数指数幂的计算，特殊角的三角函数及二次根式的化简等知识，掌握这些知识是解题的关键；依次计算特殊角三角函数，零次幂，化简二次根式及负整数指数幂，最后化简即可． 【详解】解： ． 考点九、用计算器求锐角三角函数值 1．用计算器求下列各值精确到： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用计算器求正切值，直接利用计算器进行计算即可． 【详解】（1） 解：依次按键， 显示结果为2.144506921，即； （2） 依次按键， 显示结果为0.4101298895，即． 2．用计算器求下列各式的值（精确到）． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)0.45 (2)0.52 (3)0.64 (4)1.44 【分析】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，要注意把秒转化成分，把分转化为度． （1）分别把分化成度，然后利用计算器进行计算即可得解； （2）利用计算器进行计算即可得解； （3）把秒转化成分，把分转化成度，然后利用计算器进行计算即可得解． （4）利用计算器进行计算即可得解； 【详解】（1）解：， （2）解： （3）解： （4）解： 3．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数： （l）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（l）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （2）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （3）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； （4）先启用科学计算器上功能，再按函数值，从而得出答案； 【详解】解：（l） ， （2）， （3） （4） 【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握如何启用科学计算器上，，功能． 知识导图记忆 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出，由含30度直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故选：B 2．在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：A 3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查网格中的三角函数值，作，勾股定理，求出的长，再利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：作， 由网格特点和勾股定理，得：，， ∴； 故选D． 4．如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边中线性质以及梯形中位线性质，熟练掌握“平行四边形对边相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半”是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线性质求出的长度，再结合平行四边形性质与的条件，得出是梯形的中位线，进而求出的长度，最后根据平行四边形对边相等求出． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴是梯形的中位线． ∴， ∵，， ∴， 解得 ． ∵四边形是平行四边形，， ∴ ． 故选：C ． 5．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若AB＝4，AC＝3，则BD为（　　） A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出BC，证明△ABD∽△CBA,根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°, AB＝4，AC＝3， 由勾股定理得，BC＝＝＝5， ∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠CAB=90° 又∠ABD=∠CBA, ∴△ABD∽CBA ∴， 则BD＝＝3.2， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 6．在中，，，D为的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出． 【详解】解：∵在中，，，D为的中点， ∴， 故答案为：5． 7．如图，在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 8．如图，在正方形网格中，线段、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理逆定理，熟练掌握三角函数及勾股定理逆定理是解题的关键；连接，根据网格可得，则有，然后根据正切的定义可进行求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 9．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 10．如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是 米． 【答案】5.6 【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由图知，DE=2米，CD=1.6米，AD=5米， ∴AE=AD+DE=5+2=7米 ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EBA， ，即 解得AB=5.6（米）． 故答案为5.6 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．分别进行零指数幂、立方根的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并． 【详解】解：原式 ． 12．已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）根据斜边上的中线等于斜边上的一半，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一，即可得证． 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）线段是和的公共斜边，点是的中点， ，， ； （2），点是的中点， ． 13．如图，在中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作垂线的垂足为，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点和另一点，以点和另一点为圆心，大于两点间的距离为半径画弧，交于一点，连接点和该点的直线即为所求； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）在中，，， ∴， 在中， ． 14．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． (1)在图1中画出一个等腰直角； (2)在图2中画出一个平行四边形，使平行四边形的面积是16，连接，并直接写出的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，4 【分析】本题主要考查网格作图，利用网格求面积，角的正切值； （1）连接，以B点为圆心，以长为半径作圆弧交正方形网格图与C点，再连接即可； （2）连接，平移，平移到平行四边形底为4高为4的位置即可，根据角的正切值公式计算即可． 【详解】（1）解：等腰直角如下图： （2）解：平行四边形如下图： ； 15．如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 2 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$