第24章 解直角三角形 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第24章 解直角三角形 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 2．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，已知，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 8．如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 10．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 12．如图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度等于 ． 13．在中，，，则 ． 14．如图，中，为的中点，，若，，则 ． 15．如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 16．年月日时分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭上升到点时，从地面上距离点处的处雷达站测得仰角为．后，火箭到达点，从处雷达站测得仰角为．这枚火箭从处到处的平均速度约是 ．（参考数据：，结果精确到） 17．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 18．如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1)； (2)． 20．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 21．小明周末到陕西师范大学雁塔校区研学参观，他想借助学校西门外宽为30米的长安南路（即米）测量校内一栋建筑物的高度，于是他站在该建筑物的点B处观察长安南路上的点E，测得俯角恰为，随后他坐电梯上升10米（即米）到达楼顶点A处，站在楼顶点A处观察长安南路上点D，测得俯角为，已知，E、D、C三点共线，请计算出建筑物的高度．（参考数据：，，） 22．、太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．如图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）． （参考数据：） 23．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 24．如图1，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转得到线段、过点E作交直线与点F．同学们进行分组自主探究． 【问题解决】 (1)小郑组连接，研究的是的面积问题．他们发现，当时，的面积为 ；当时，的面积为 (请用含θ的代数式表示)． (2)小州组研究的是四边形的问题．连接，在旋转过程中，他们有以下猜想，其中正确的是： (填序号)． ①；②；③；④ (3)小迎组研究的是等腰三角形的存在性问题，他们发现，在旋转过程中，可能是等腰三角形，请求出当是等腰三角形时，的值． 25．【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 【解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形 巩固新课单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，0指数，特殊角的三角函数，算术平根性质，是解题的关键．无限不循环小数为无理数．如带根号开不尽方的，化简结果含π的，特殊构造的，像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等形式的数才是无理数． 分别根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解： A. ，是无理数，符合题意： B. ，是有理数，不符合题意； C. ，是有理数，不符合题意； D. ，是有理数，不符合题意． 故选：A． 2．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义：我们把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．由正弦函数的定义求解可得． 【详解】解：如图 ∵中，，，， ∴， ∴ 故选：A． 4．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是关键． 根据题意，运用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， 故选：B ． 5．在中，，已知，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．由锐角三角函数得，即可求出． 【详解】解：如图， 在中，，已知， ， ∴ 故选：B． 6．如图，小明为了测量河宽，先在延长线上取一点，再在同岸取一点，使，测得，，，那么河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，等角对等边，正确作出辅助线，构建直角三角形是解题的关键． 过点作的延长线于点，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据直角三角形中角是对的边是斜边的一半得出，结合勾股定理求出，故，根据三角形的外角性质得出，根据等角对等边即可求解． 【详解】解：过点作的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， 故， 解得：， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即， ∴． 故选：B． 7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的求法，构建直角三角形是解答关键． 过点作的延长线于点，根据题意求出和的长度，再利用正切值的求法来求解． 【详解】解：过点作的延长线于点，如下图 根据题意可知，，， ， ． 故选：A． 8．如图，在菱形中，点是与的交点，，垂足为，若，则的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及直角三角形的性质，根据题意可得，利用勾股定理求出的长度．再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，点是与的交点，，， ，， ，点为的中点， ， ， 是直角三角形， ， 故选：C． 9．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 10．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．如图，记与的交点为，延长交于，结合，则，可得，结合，设，则，，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， 由对折可得：，，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为，延长交于， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．如图是一个直角三角尺，其中，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故答案为:． 12．如图，自动扶梯的长为，倾斜角为，则自动扶梯的垂直高度等于 ． 【答案】9 【分析】此题考查了含角的直角三角形，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用含角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴自动扶梯的垂直高度等于， 故答案为：． 13．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【详解】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 14．如图，中，为的中点，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，先根据为的中点，，得出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， 则在中，， 故答案为：． 15．如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴． 故答案为：8． 16．年月日时分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭上升到点时，从地面上距离点处的处雷达站测得仰角为．后，火箭到达点，从处雷达站测得仰角为．这枚火箭从处到处的平均速度约是 ．（参考数据：，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．在中，求出，在中，求出，利用求出，即可求平均速度． 【详解】解：在中，， 在中，， ∴， ∴平均速度为， 故答案为：． 17．如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时， ． 【答案】2或4或8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 18．如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，垂线段的性质等，证明为定值是解题的关键． 先证四边形是矩形，再证，，进而可得，，推出为定值，由垂线段最短，可知当时，取最小值，也取最小值． 【详解】解：矩形中， ，， 点、、分别为矩形的边、、的中点，， ，四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 点为边上一动点， 当时，取最小值，最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先算开方，三角函数值，零指数幂和绝对值，再算乘法，最后计算加减法； （2）将特殊角的三角函数值代入，再计算． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，特殊三角函数值等考点的运算． 20．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键． 由三角形的内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：，， ， ， 在中， ，米， （米）， 、两点之间的距离约为米． 21．小明周末到陕西师范大学雁塔校区研学参观，他想借助学校西门外宽为30米的长安南路（即米）测量校内一栋建筑物的高度，于是他站在该建筑物的点B处观察长安南路上的点E，测得俯角恰为，随后他坐电梯上升10米（即米）到达楼顶点A处，站在楼顶点A处观察长安南路上点D，测得俯角为，已知，E、D、C三点共线，请计算出建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】该高层有60米高 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用 ，等腰三角形的性质和判定；根据题意得到为等腰直角三角形，设，得到，在中，根据求出，即可求出结果． 【详解】解：由题意可得： ， 为等腰直角三角形， ∴设， ， ， ∴在中， 解得：， 米． 答：该高层有60米高． 22．、太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能转化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．如图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）． （参考数据：） 【答案】(1)点B到的距离为 (2)的长度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形； （1）过B作于F，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求出． （2）在中，根据，求出，根据题意得到四边形是矩形，得到，在中，根据，求出，再利用计算即可． 【详解】（1）解：如图，过B作于F， ， ， 答：点B到的距离为； （2）解：在中，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ． 答：的长度约为． 23．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米． (1)求的长；（结果保留根号） (2)若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，） 【答案】(1) (2)11.7米 【分析】本题主要考查了解直角三角形和一元一次方程解法等知识点，解决此题的关键是正确的计算． （1）先根据平行算出特殊角度，分别在直角和直角中根据三角函数关系算出边长即可得到答案； （2）设水深为x米，分别在直角和直角中根据三角函数关系用x表示出边长，再根据线段相等列出方程，算出答案即可； 【详解】（1）解：由题意得， ∴，． ∵，， ∴，． ∵米， ∴（米） （米） ∴（米）． （2）解：设水池的水深为x米，则米， 由题意可知，，米， ∴（米），（米）． ∵， ∴， 解得， 即水池的水深约为11.7米． 24．如图1，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转得到线段、过点E作交直线与点F．同学们进行分组自主探究． 【问题解决】 (1)小郑组连接，研究的是的面积问题．他们发现，当时，的面积为 ；当时，的面积为 (请用含θ的代数式表示)． (2)小州组研究的是四边形的问题．连接，在旋转过程中，他们有以下猜想，其中正确的是： (填序号)． ①；②；③；④ (3)小迎组研究的是等腰三角形的存在性问题，他们发现，在旋转过程中，可能是等腰三角形，请求出当是等腰三角形时，的值． 【答案】(1)20； (2)②④ (3)或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点E作于T，由旋转的性质可得，则可求出，解直角三角形得到，则可求出，据此可得答案； （2）由旋转的性质可得，可证明，得到，故①错误；进一步可证明垂直平分，即，故②正确；可证明，由全等三角形的性质可推出，则，故③错误；如图所示，设交于O，根据，可证明，则，故④正确； （3）分和两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，过点E作于T， 由旋转的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴当时，； 故答案为：；20 （2）解：由旋转的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴垂直平分，即，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 如图所示，设交于O， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； （3）解：①如图所示，当时，过点A作于H， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴； ②如图所示，当时，过点A作于H， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴； ③如图所示，当时，同理可得； ④如图所示，当时，同理可得； 综上所述，或． 25．【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形） 例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． 【实践与操作】 （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：四边形为单直邻等四边形； 【拓展应用】 （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，，作，且，连接并延长交于点，交于点．求的长； 【解决问题】 （4）如图5，射线于点，，，点在射线上，，点在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）2或6． 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）作的垂直平分线，交于点，即可解答； （2）可得出，可证得，从而，进而得出结论； （3）连接，作于，可证得，从而，，从而得出点、、、共圆及的值，进而求得的值，解直角三角形求得，进而得出的值； （4）作于，设，交于点，当点在上时，解直角三角形求得和的值，从而求得的值，从而得出的值，依次求得，的值，进而求得的值；当点在延长线上时，同理求得的值． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线，交于点，则可得， 故四边形是单直邻等四边形， ； （2）证明：是等边三角形， ，， 平分， ， 绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为单直邻等四边形； （3）解：如图，连接，作于， ，， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ，即，， ， 点、、、共圆， ，， ，， ， ， ； （4）解：如图，作于，设，交于点，当点在线段上时， ，， ， ，， ， ， ，平分， ， ， ， 如图， 当点在的延长线上时， 由上知，，， ， ， ， ， 综上所述：或6， 故答案为：2或6． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$