1.1多项式的因式分解（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

1.1 多项式的因式分解 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 已知因式分解的一个因式求另一个因式 题型四 已知因式分解的一个因式求参数 题型一 判断是否是因式分解 1．下列变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，是因式分解，符合题意； C、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，不是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 2．下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．等号右边有分式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于整式的乘法，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 4．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，先得出，结合多项式可因式分解为，列式，即可作答． 【详解】解：， ∵多项式可因式分解为， ∴， ∴， 故选：B 6．把多项式□分解因式的结果为，则“□”中的数为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的定义、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义成为解题的关键． 先将展开，然后与已知多项式对比即可解答． 【详解】解：， ∵多项式□分解因式的结果为， ∴□， ∴“□”中的数为8． 故选C． 7．已知二次三项式分解因式为，则，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，将计算结果与二次三项式对比，根据同类项的系数相同可求得答案． 【详解】根据题意，得 ． 可得 ，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查因式分解与整式乘法的关系，牢记多项式乘多项式的运算法则，对应找到各项系数是解题的关键． 8．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 9．若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，理解因式分解和整式乘法的关系是解题的关键．根据整式的乘法运算，再根据多项式的特点列方程求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴且， 解得：， ∴的值为：， 故选：B． 10．若，那么k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用；先把等式右边利用平方差公式进行计算；然后与左边的比较即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 11．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)9，5 (3)另一个因式为，的值为12． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， ， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案为：9，5； （3）解：设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 12．已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值． 【答案】k=2，m=1． 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，进而得出m，k的值． 【详解】解：∵多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）（x-4y）的形式， ∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y）， =2mx2-8mxy+2xy-8y2， =2mx2-（8m-2）xy-8y2， ∴8m-2=6， 解得：m=1， 故k=2，m=1． 【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键． 题型三 已知因式分解的一个因式求另一个因式 13．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 14．已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】； 【分析】设另一个因式为，整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【详解】解：设另一个因式为，得， 于是． 对比等式左右两边各项系数，可知， ，， ，，， 另一个因式为，的值为． 【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 15．已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20． 【分析】所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2，因式是（2x-5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【详解】设另一个因式为（x+a），得 2x2+3x-k=（2x-5）（x+a） 则2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a， ， 解得：a=4，k=20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 【点睛】此题考查因式分解的实际运用，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． 题型四 已知因式分解的一个因式求参数 16．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 解得：， 故选C． 17．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 19．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 20．已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 21．已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，设 ，再整理可得，从而可得答案. 【详解】解：， 且 ， 设 ， 整理得：， 由对应项系数得： ， 解得 ，， ， 的值为 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 23．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 24．【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 多项式的因式分解 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 已知因式分解的一个因式求另一个因式 题型四 已知因式分解的一个因式求参数 题型一 判断是否是因式分解 1．下列变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子变形是正确的因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．已知，多项式可因式分解为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 6．把多项式□分解因式的结果为，则“□”中的数为（    ） A． B． C．8 D．16 7．已知二次三项式分解因式为，则，的值为（    ） A． B． C． D． 8．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 9．若关于的多项式可以分解为，则的值是（    ） A．8 B． C．6 D． 10．若，那么k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 12．已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值． 题型三 已知因式分解的一个因式求另一个因式 13．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 14．已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 15．已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 题型四 已知因式分解的一个因式求参数 16．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（    ） A． B．5 C．1 D． 17．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 18．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 19．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 20．已知多项式能分解为，则 ， ． 21．已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 22．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 23．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 24．【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$