精品解析：江苏省盐城市建湖县第二中学2025届高三下学期适应性考试(一)数学试题

建湖县第二中学2025届高三适应性考试（一） 数学试题 1．本场考试120分钟，满分150分．试卷共6页．考式结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某电商平台在2025年3月对其用户进行了一项关于每月消费金额的调查．该平台用户可分为普通会员、白银会员、黄金会员和钻石会员四个等级，各等级用户人数的比例为．调查采用分层随机抽样，按照各等级用户人数比例抽取样本．已知样本中普通会员、白银会员、黄金会员、钻石会员的平均每月消费金额分别为200元、500元、800元、1200元，则估计该平台用户的平均每月消费金额为（ ） A. 675元 B. 510元 C. 650元 D. 460元 5. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. e D. 7. 已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设，则或 B. 若集合，则集合的真子集个数为 C. 若随机变量，则 D. 袋中有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同），随机摸两个球，则两球颜色一样的概率是 10. 定义运算：．已知函数，其中，，，且函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 若，对任意的，都有，则 D. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为 11. 已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C. 曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D. 曲线C与直线有3个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为1的正六边形中，M，N分别为，的中点，则____________． 13. ____________． 14. 某饮用水工厂拥有15个巨型储水罐，目前已知其中有一罐遭到污染导致有毒，但不知具体是哪一罐．工厂质检部门决定通过抽样送检的方式，确定究竟是哪一罐受到了污染．已知样本检测所需时间为一天，而受合同订单因素的影响，明天就需要进行分装出货，所以仅有一次检测的时间（可同时送检）．显然，若将15份样本同时分别送检，肯定能够检测出受污染的水罐，但为了降低成本，质检部门决定采用混合送检的方式，那么至少需要同时送检_______份混合样品． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的内切圆的半径的最大值． 16. 已知椭圆经过点，焦距为．斜率为1的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B． （1）求椭圆的方程； （2）若M为的中点，O为坐标原点，且，求直线l与y轴的交点坐标． 17. 已知函数． （1）若，函数的图象在点处的切线与x轴的交点坐标为，求的前n项和； （2）若，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，且，求a，b的值以及函数在上的最小值． 18. 如图，在棱长为1的正方体中，点M，N（N靠近）是线段（含端点）上的动点，且，设平面与平面的交线为l． （1）求证：． （2）当四面体的表面积最小时，求： ①的值； ②直线与平面所成角的大小． 19. 受九宫格的启发，某中学的数学兴趣小组开展了一个数字游戏：以下是一个行n列的表格，在表格中填入1，2，3，…，这个数字．在游戏过程中，同学们发现，一些表格有时会出现填入的某个数字既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，他们把这类表格称为“表格”，其中这个数字称为这个表格的“值”． 第1列 第2列 … 第n列 第1行 第2行 … 第n行 （1）判断下表是不是“表格”，如果是，求出其“值”． 第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3 第2行 4 5 6 第3行 7 8 9 （2）求证：任意一个“表格”的“值”是唯一的． （3）若，记所有的“表格”构成的集合为T，从T中任取一个“表格”，并且这个“表格”的“值”记为X，求X的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建湖县第二中学2025届高三适应性考试（一） 数学试题 1．本场考试120分钟，满分150分．试卷共6页．考式结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，故. 故选：D. 2. 双曲线的渐近线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程，再求渐近线斜率即可. 【详解】双曲线化为， 所以该双曲线焦点在轴上，且 所以渐近线的斜率为， 故选：C. 3. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及单调性即可求解. 【详解】因为当时，为上的增函数， 又， 所以，即， 故选：A 4. 某电商平台在2025年3月对其用户进行了一项关于每月消费金额的调查．该平台用户可分为普通会员、白银会员、黄金会员和钻石会员四个等级，各等级用户人数的比例为．调查采用分层随机抽样，按照各等级用户人数比例抽取样本．已知样本中普通会员、白银会员、黄金会员、钻石会员的平均每月消费金额分别为200元、500元、800元、1200元，则估计该平台用户的平均每月消费金额为（ ） A. 675元 B. 510元 C. 650元 D. 460元 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样方法，计算样本均值，估计总体均值. 【详解】. 故选：B. 5. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得、，进而有，，即可求. 【详解】由题设，且，则， 所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，， 所以. 故选：C 6. 若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得k的值； 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 7. 已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解. 【详解】由抛物线，即， 又由抛物线表示开口向上，且焦点为，准线方程为， 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到， 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离， 如图所示，过点作，可得， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在外接圆上取一点，使得，则，可知三棱锥和的外接球是同一个球，取线段的中点，连接、，由二面角的定义可知二面角的平面角为，设的外心为，过点在平面内作，过点在平面内作平面，设，则为球心，求出的长，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，则为外接圆的一条直径， 在外接圆上取一点，使得，则， 且三棱锥和的外接球是同一个球， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 因为，则，且， 所以，的外接圆半径为， 设的外心为，过点在平面内作， 过点在平面内作平面，设， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示： 由题意得，，， 所以，， 所以，球的半径为， 因此，球的表面积为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设，则或 B. 若集合，则集合的真子集个数为 C. 若随机变量，则 D. 袋中有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同），随机摸两个球，则两球颜色一样的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法结合补集的定义可判断A选项；求出集合，利用集合真子集个数公式可判断B选项；利用正态分布的对称性可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故或，A对； 对于B选项， 若集合， 因此集合的真子集个数为，B错； 对于C选项，若随机变量，则，C对； 对于D选项，袋中有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同）， 随机摸两个球，则两球颜色一样的概率是，D对. 故选：ACD. 10. 定义运算：．已知函数，其中，，，且函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 若，对任意的，都有，则 D. 若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据定义得，结合图象及三角函数的周期性、最值求相关参数值，即得，再应用正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设， 对于A，由图知，且，则，即，A错， 对于B，又，可得，又， 所以，故， ，则，显然在上单调递减，B对， 对于C，若，则，故， 若，对任意的，都有，即，C对， 对于D，，在上， 所以在上有两个零点，且，则， 所以，D错. 故选：BC 11. 已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称 B. 若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C. 曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D. 曲线C与直线有3个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，通过判断与是否都在曲线C上来判断图像是否关于x轴对称；B选项，根据正弦函数的值域求横坐标的取值范围；C选项，根据曲线过原点进行判断；D选项，联立曲线与直线方程得关于x的方程，利用换元法化简方程并将方程根的个数转化为求函数的零点个数，利用导数判断函数的单调性从而确定零点个数. 【详解】若点在曲线C上，将代入曲线方程得，与原方程不等，故A错误； 因为，所以，即，所以，B正确； 或时方程仅成立，所以曲线C与坐标轴只有原点一个公共点，且不属于第一、二、三和四象限，C错误； 代入得，令，方程为， 令，， 因为在上单调递增，且，所以存在使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为，所以有且仅有一个使得，对应， 所以曲线C与直线有3个交点：，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为1的正六边形中，M，N分别为，的中点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 因为正六边形的边长为1， 所以，，，，，， 因为，M，N分别为，的中点， 由中点中点坐标公式可得：，， ， ， . 故答案为：. 13. ____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】 =. 故答案为： 14. 某饮用水工厂拥有15个巨型储水罐，目前已知其中有一罐遭到污染导致有毒，但不知具体是哪一罐．工厂质检部门决定通过抽样送检的方式，确定究竟是哪一罐受到了污染．已知样本检测所需时间为一天，而受合同订单因素的影响，明天就需要进行分装出货，所以仅有一次检测的时间（可同时送检）．显然，若将15份样本同时分别送检，肯定能够检测出受污染的水罐，但为了降低成本，质检部门决定采用混合送检的方式，那么至少需要同时送检_______份混合样品． 【答案】4 【解析】 【分析】用二进制数来表示储水罐的编号和混合样品的组合情况，，所以时满足要求，再构造4份混合样品，得到答案. 【详解】我们用二进制数来表示储水罐的编号和混合样品的组合情况， 因为，所以的最小值能确定最少的混合样品份数， 由于，所以时满足要求， 下面说明如何用4份混合样品确定受污染的水罐， 将15个储水罐从1到15进行编号，并同时用二进制进行编号， 即，，，……，， 构造4份混合样品： 第一份：包含二进制数从右到左数第1位为1的储水罐样本， 即编号为的储水罐样本， 第二份：包含二进制数从右到左数第2位为1的储水罐样本， 即编号为的储水罐样本， 第三份：包含二进制数从右到左数第3位为1的储水罐样本， 即编号为的储水罐样本， 第四份：包含二进制数从右到左数第4位为1的储水罐样本， 即编号为的储水罐样本， 根据这4份混合样品的检测结果（检测结果为“含毒”记为1，“不含毒”记为0）， 就可以确定是哪一个储水罐. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的内切圆的半径的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，得解； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式得，再根据直角三角形内切圆半径公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，又， 所以，即， 所以，又，， ，又， 所以. 【小问2详解】 由（1），，，则， ， 故，当且仅当时，取等号， 设的内切圆的半径为，则， 所以的内切圆的半径的最大值为. 16. 已知椭圆经过点，焦距为．斜率为1的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B． （1）求椭圆的方程； （2）若M为的中点，O为坐标原点，且，求直线l与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的相关基础概念，列出关于参数的方程组，求出结果，得到标准方程； （2）根据直线与椭圆的位置关系，依据韦达定理，根据题目给出的长度，列出方程，求出参数. 【小问1详解】 椭圆焦距为，可知，椭圆经过， 列出方程组，解得，得椭圆标准方程； 【小问2详解】 设直线为，， 联立方程组得，消去得， 根据韦达定理可知，则， 为的中点，则点，即， 因为，得，解得， 所以直线l与y轴的交点坐标为或. 17. 已知函数． （1）若，函数的图象在点处的切线与x轴的交点坐标为，求的前n项和； （2）若，函数的图象与x轴有且只有两个公共点，且，求a，b的值以及函数在上的最小值． 【答案】（1） （2）0或-2 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合等差数列的定义与前n项和公式计算即可求解； （2）由题意，根据的图象与x轴仅有2个交点知方程的2个根为或均为-1.利用韦达定理求出a、b，利用导数求出函数的最小值即可. 【小问1详解】 若，则，得， 所以在点处的切线斜率为， 又，所以该切线为， 令，得，即， 则， 所以数列是以为首项，以为公差的等比数列， 得. 【小问2详解】 ，且， 因为的图象与x轴仅有2个交点， 所以方程的2个根为或均为-1. 当2个根为时，由韦达定理得，解得； 当2个根均为-1时，由韦达定理得，解得. 当时，，得， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，所以在上最小值为0； 当时，，得， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，所以在上最小值为-2. 18. 如图，在棱长为1的正方体中，点M，N（N靠近）是线段（含端点）上的动点，且，设平面与平面的交线为l． （1）求证：． （2）当四面体的表面积最小时，求： ①的值； ②直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）由平面平面，平面平面，平面平面， 所以，连接，正方体中， 且平面，平面，则， 由都在平面内，故平面，则平面， 由平面，则； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由正方体的结构特征及面面平行的性质定理有，连接，结合线面垂直的性质定理得、，最后由线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）①在平面内过作均平行于，设，结合已知将问题化为求最小，应用余弦定理有，进而化为点到点与的距离之和最小，应用平面解析几何求出即可；②构建合适的空间直角坐标系，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在平面内过作均平行于，如下图， 易知四边形、均为矩形，设， 所以，， 而，，则， 若，即，， 所以， ， 由到的距离为定值，且，即为定值， 所以要使四面体的表面积最小，只需最小， 由 ， 其中表示点到点与的距离之和， 点关于轴的对称点为，所以最小为两点的距离， 由直线为，则在该直线上，所以，满足前提，故； ②构建如图示的空间直角坐标系，则， 由，则，所以，则， 由平面与平面为同一个平面，而，， 若平面的一个法向量为，则，取，则， 所以直线与平面所成角正弦值为， 而线面角范围为，故直线与平面所成角为. 19. 受九宫格的启发，某中学的数学兴趣小组开展了一个数字游戏：以下是一个行n列的表格，在表格中填入1，2，3，…，这个数字．在游戏过程中，同学们发现，一些表格有时会出现填入的某个数字既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，他们把这类表格称为“表格”，其中这个数字称为这个表格的“值”． 第1列 第2列 … 第n列 第1行 第2行 … 第n行 （1）判断下表是不是“表格”，如果是，求出其“值”． 第1列 第2列 第3列 第1行 1 2 3 第2行 4 5 6 第3行 7 8 9 （2）求证：任意一个“表格”的“值”是唯一的． （3）若，记所有的“表格”构成的集合为T，从T中任取一个“表格”，并且这个“表格”的“值”记为X，求X的数学期望． 【答案】（1）是，3 （2）假设存在两个“值”，分别为，且， 当在同一行时，不是最大的，不符合题意， 当在同一列时，不是最小的，不符合题意， 当即不在同一行又不在同一列时，所在的行与所在的列相交，相交格的数字为，则，不符合是这行最大的数，不符合题意， 故任意一个“表格”的“值”是唯一的． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，判断是否符合要求，判断出结果. （2）利用反证法，设有两个“值”，根据题目定义，分类讨论，分别判断出每种情况都不符合题意，从而证明一个“表格”的“值”是唯一的. （3）根据期望的性质，从离散型随机变量的变化出发，计算新的离散型随机变量的期望. 【小问1详解】 由表可知第1行三个数中3最大，第3列三个数中3最小，所以3满足既是所在行的最大值，又是所在列的最小值的情况，所以“值”为3. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设“值”在行，列，则， 在的表格中，设“值”，其中， 则 展开得， 其中， 所以 其中 所以， 所以方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $