定点与定值问题 课件-2026届高三数学一轮复习

定点与定值问题 考点一 定点问题(多考向探究预测) 考向1 参数法求圆锥曲线中的定点问题 例1(2023 新高考 ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与直线NA2交于P,证明:点P在定直线上. (1)解 设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0), ∵c=2,e=,∴a=2,∴b2=c2-a2=16,故双曲线C的方程为=1. (2)证明 (方法一)( )当直线MN的斜率存在时, 设直线MN的方程为y=k(x+4),设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0. 联立消去y, 得(k2-4)x2+8k2x+16k2+16=0,k2-4≠0, >0恒成立 又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,x2≠2,从而直线A1M,直线A2N的方程分别为y=(x+2),① y=(x-2),② ① ②,得 ∵点(x1,y1)在=1上,=1,-4=(x1-2)(x1+2), ,代入③得, 代入根与系数的关系式得=-,∴x=-1. ∴当直线MN的斜率存在时,点P在定直线x=-1上. ( )当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4, 代入=1,得M(-4,4),N(-4,-4). 又A1(-2,0),A2(2,0), ∴直线A1M,直线A2N的方程分别为y=-2(x+2),y=, 联立解得x=-1.此时点P也在定直线x=-1上. 综上可得,点P在定直线x=-1上. (方法二)由于直线MN与双曲线左支交于M,N两点,∴直线MN的斜率不为0. 设直线MN的方程为x+4=my,与双曲线方程联立消去x, 得(4m2-1)y2-32my+48=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2),y1>0,则 又A1(-2,0),A2(2,0),易知x1≠-2,x2≠2, ∴直线A1M,直线A2N的方程分别为y=,y=, 联立消去y,得x=, (*) 由x1=my1-4,x2=my2-4, 得x1y2+x2y1=(my1-4)y2+(my2-4)y1=2my1y2-4(y1+y2) =,① x2y1-x1y2=(my2-4)y1-(my1-4)y2=-4(y1-y2),② 把①②及y1+y2=代入(*)式,得x==-1, ∴点P在定直线x=-1上. [对点训练1](2024 河南郑州三模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1和A2,离心率为,且经过点P(-2,),过点P作PH垂直x轴于点H.在x轴上存在一点A(异于H),使得. (1)求椭圆C的标准方程; (2)判断直线AP与椭圆C的位置关系,并证明你的结论; (3)过点A作一条垂直于x轴的直线l,在l上任取一点T,直线TA1和直线TA2分别交椭圆C于M,N两点,证明:直线MN经过定点. (1)解 由题意得e2=1-,将点P(-2,)代入椭圆方程得=1, 联立方程组,解得所以椭圆C的标准方程为=1. (2)解 直线AP与椭圆C相切.理由如下: 由(1)知A1(-4,0),H(-2,0),A2(4,0),则|HA2|=6,|HA1|=2,所以可设A(x,0),x<0, 由,得,解得x=-8, 此时A(-8,0),直线AP的方程为y=(x+8), 联立直线AP与椭圆C消去y得, x2+4x+4=0,解得x=-2.由方程组只有一组解,所以直线AP与椭圆C相切. (3)证明 设T(-8,t),由T(-8,t),M(x1,y1),A1(-4,0)三点共线,得=-, 由T(-8,t),N(x2,y2),A2(4,0)三点共线,得=-,由上两式可得=3, 又因为=1,得=-=-, 得=-12, 即x1x2-4(x1+x2)+12y1y2+16=0. 设直线MN的方程为x=my+n, 则x1=my1+n,x2=my2+n, 代入上式整理得, (m2+12)y1y2+(mn-4m)(y1+y2)+n2-8n+16=0,① 联立直线MN与椭圆C 消去x得(m2+4)y2+2mny+n2-16=0,则有 将②式代入①式,得n2-2n-8=0,解得n=4(舍)或n=-2. 所以直线MN经过定点(-2,0). 考向2 由特殊到一般法解圆锥曲线中的定点问题 例2 已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点E(),左顶点为D,右焦点为F,已知点P(0,),且D,P,E三点共线. (1)求椭圆C的方程; (2)已知经过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,过点B作直线y=3的垂线,垂足为G,求证:直线AG过定点. (1)解 由题意,将点E()代入椭圆的方程,可得=1. 又D(-a,0),且P,D,E三点共线,所以,解得a=2, 代入=1,可得b2=6.所以椭圆C的方程为=1. (2)证明 当A(-2,0)时,此时直线l的方程为y=x+, 联立解得x=-2或x=,可得B(), 此时G(,3),直线AG的方程为y=x+2 当A(0,-)时,可得B(0,),此时G(0,3),可得直线AG的方程为x=0. 由解得 即两直线的交点为(0,2). 下面证明直线AG过定点(0,2). 设直线l的方程为y=kx+,联立 整理得(4k2+3)x2+8kx-16=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,则x1+x2=,x1x2=,G(x2,3), 所以直线AG的方程为y-3(x-x2). 令x=0,可得y=+3 因为kx1x2=(x1+x2), 所以y==2 所以直线AG过定点(0,2). 综上所述,直线AG过定点(0,2). [对点训练2](2024 福建厦门模拟)双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,点T()在C上. (1)求C的方程; (2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线交C于M,N两点,证明:以MN为直径的圆过定点. (1)解 依题意有即有解得a2=1,b2=2, 所以双曲线的方程为x2-=1. (2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2), ①当切线斜率存在时,设直线方程为y=kx+m, 因为直线与圆相切,所以,整理得m2=2+2k2, 联立消去y得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0, 判别式 =4k2m2+4(2-k2)(m2+2)=8(m2+2-k2)>0, 则x1+x2=,x1x2=, 由对称性知,若以MN为直径的圆过定点,则定点必为原点 =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2 =(1+k2)+mk+m2 =, 又m2=2+2k2, 所以=0,所以=0,故以MN为直径的圆过原点; ②当直线斜率不存在时,直线方程为x= , 此时M(),N(,-)或M(,-),N(), 此时以MN为直径的圆的方程为(x-)2+y2=2,恒过原点; 或M(-),N(-,-)或M(-,-),N(-), 此时圆的方程为(x+)2+y2=2,恒过原点. 综上,以MN为直径的圆过原点. 考点二 圆锥曲线中的定值问题 例3(2024 河北石家庄模拟)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆C1的“特征三角形”为 1,椭圆C2的“特征三角形”为 2,若 1∽ 2,则称椭圆C1与C2“相似”,并将 1与 2的相似比称为椭圆C1与C2的相似比.已知椭圆C1:+y2=1与椭圆C2: =1(a>b>0)相似. (1)求椭圆C2的离心率; (2)若椭圆C1与椭圆C2的相似比为 ( >0),设P为C2上异于其左、右顶点A1,A2的一点. ①当 =时,过点P分别作椭圆C1的两条切线PB1,PB2,切点分别为B1,B2,设直线PB1,PB2的斜率为k1,k2,证明:k1k2为定值; ②当 =时,若直线PA1与C1交于D,E两点,直线PA2与C1交于M,N两点,求|DE|+|MN|的值. 解 (1)对于椭圆C1:+y2=1,长轴长为2,短轴长为2,焦距为2, 椭圆C2:=1(a>b>0)的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2, 依题意可得,所以, 则椭圆C2的离心率e= (2)①证明:由相似比可知,,解得 所以椭圆C2:=1. 设P(x0,y0),x0≠ ,则直线PB1的方程为y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+y0-k1x0, 记t=y0-k1x0,则直线PB1的方程为y=k1x+t,将其代入椭圆C1的方程,消去y, 得(2+1)x2+4k1tx+2t2-2=0, 因为直线PB1与椭圆C有且只有一个公共点, 所以判别式 =-4(2+1)(2t2-2)=0,即2-t2+1=0, 将t=y0-k1x0代入上式,整理得(-2)-2x0y0k1+-1=0, 同理可得(-2)-2x0y0k2+-1=0, 所以k1,k2为关于k的方程(-2)k2-2x0y0k+-1=0的两根,所以k1k2= 又点P(x0,y0)在椭圆C2:=1上, 所以=2-,所以k1k2==-,为定值. ②由相似比可知,,解得 所以椭圆C2:x2+2y2=1,其左、右顶点分别为A1(-1,0),A2(1,0),恰好为椭圆C1的左、右焦点,设P(x3,y3),x3≠ 1,易知直线PA1,PA2的斜率均存在且不为0, 所以 因为P(x3,y3)在椭圆C2上,所以+2=1, 即-1=-2, 所以=- 设直线PA1的斜率为k,则直线PA2的斜率为-, 所以直线PA1的方程为y=k(x+1). 联立消去y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0, 设D(x4,y4),E(x5,y5),则x4+x5=,x4x5=, 所以|DE|=|x4-x5|= , 同理可得|MN|=, 所以|DE|+|MN|==3 [对点训练3](2024 湖北荆州三模)从抛物线y2=8x上各点向x轴作垂线段,垂线段中点的轨迹为 . (1)求 的方程; (2)A,B,C是 上的三点,过三点的三条切线分别两两交于点D,E,F, ①若AC∥DF,求的值; ②证明: ABC与 DEF的面积之比为定值. (1)解 设垂线段中点坐标为(x,y),则抛物线上点坐标为(x,2y), 代入抛物线方程,则(2y)2=8x,即y2=2x,所以 的方程为y2=2x. (2)①解 如图,A,B,C是 上的三点,过三点的三条切线两两分别交于点D,E,F,设A(,y1),B(,y2),C(,y3),D(x4,y4),E(x5,y5),F(x6,y6), 则抛物线y2=2x上过点A的切线方程为x-=t(y-y1), 将切线方程与抛物线方程联立 消去x,整理得y2-2ty+2ty1-=0, 所以方程的判别式 =(-2t)2-4(2ty1-)=4t2-8ty1+4=0,从而有t=y1,所以抛物线上过点A的切线方程为x=y1y-,同理可得抛物线上过点B,C的切线方程分别为x=y2y-,x=y3y-,两两联立,可以求得交点D,E,F的纵坐标分别为y4=,y5=,y6=,则,同理可得,即,当AC∥DF时,,故,即|EF|=|FC|,因此=1. ②证明 易知kAB=,则直线AB的方程为y-y1=(x-), 化简得y=,即(y1+y2)y=2x+y1y2, 且|AB|=|y2-y1|, 点C(,y3)到直线AB的距离d1=, 则 ABC的面积S1=|AB| d1=|(y2-y1)(y3-y1)(y3-y2)|. 由(2)①知切线DE的方程为x=y1y-, D(),E(),F(), 可知|DE|=|y3-y2|, 点F到直线ED的距离为d2=, 则 DEF的面积S2=|ED| d2=|(y2-y1)(y3-y1)(y3-y2)|. 故=2. 因此 ABC与 DEF的面积之比为定值2. $$