精品解析：大庆左思高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

大庆左思高中2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在菱形中，（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 4 6. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（ ） A B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得，，，四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中所有正确结论的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面的所有直线都垂直 B. 在平面内存在与直线异面的直线 C. 在平面内存在无数条直线与直线相交 D. 在平面内存在与直线平行的直线 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B C D. 在复平面内对应的点在第一象限 11. 如图，在长方体中，．E，F，G，H分别为，的中点，下列说法正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积为 B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 与平面所成角正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则的值为__________. 13. 已知，则复数_______． 14. 如图所示，在中，斜边，它在平面上的射影长为4，，求与平面所成角的正弦值． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： （1）z是实数； （2）z是纯虚数； 16. 已知向量， （1）求，； （2）求向量与的夹角； （3）若，求实数的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 19. 三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点． （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求证与平面平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆左思高中2024—2025学年度下学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在菱形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平面向量的减法法则和加法法则直接运算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量坐标表示求解. 【详解】因为向量，，且， 则，所以. 故选：C． 3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以. 故选：D. 4. 如图所示，表示水平放置的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 5. 已知向量，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量坐标运算列式求解. 【详解】由向量，，得，而， 所以. 故选：A 6. 一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】圆台的高为， 圆台的体积． 故选：D 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 由，可得：， 所以， 解得：， 所以的面积为， 故选：C 8. 如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，给出下列四个结论： ①存在唯一的点，使得，，，四点共面； ②的最小值为； ③存在点，使得； ④有且仅有一个点，使得平面截正方体所得截面的面积为. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于结论①，作出经过点，，的截面即可判断；对于结论②，由分析可得，即可判断；对于结论③，作出经过点且与直线垂直的平面，判断平面与是否有交点即可判断；对于结论④，分析点与点重合时与点从上靠近点的三等分点向点运动时两种情况的截面面积的变化情况即可判断. 【详解】对于结论①，取中点为，连接，，，， 因为正方体，为的中点，所以， 所以，，，四点共面，如图确定的平面与线段有且仅有一个交点， 故结论①正确； 对于结论②，因为，求的最小值，即求的最小值， 因为正方体，所以，，，四点共面， 所以与会相交于一点，设为， 此时， 因为 ， 所以的最小值为错误， 故结论②错误； 对于结论③，取，中点分别为，，连接，设交 于点，若平面， 在平面中，易知， 所以， 所以， 所以，所以， 又因为平面，平面， 所以， ，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以. 所以存在点，使得， 故结论③正确. 对于结论④，当点与点重合时，截面为矩形，截面面积为， 当点为上靠近点的三等分点时， 取中点为，连接，，，，，， 此时四边形即为平面截正方体所得截面，证明如下： 已知平面，求证点为上靠近点的三等分点， 因为，所以，所以点为上靠近点的三等分点，得证. 又因为，且，，所以四边形为等腰梯形，面积为， 所以当点为上靠近点的三等分点时，截面面积为， 当点趋近于点时，截面面积趋近于3， 因为，，点从上靠近点的三等分点向点运动时，截面面积的变化是连续的， 所以点从上靠近点的三等分点向点运动时存在某点，使得截面面积为， 故线段上至少存在两个点使得截面面积为， 故结论④不正确 故选：B. 二、多项填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面的所有直线都垂直 B. 在平面内存在与直线异面的直线 C. 在平面内存在无数条直线与直线相交 D. 在平面内存在与直线平行的直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义与性质，逐一分析各选项. 【详解】A选项：根据线面垂直的定义，若，则面内的所有直线，A正确； B选项：已知，设，平面内所有不过点的直线均与异面，因此存在无数条这样的直线，B正确； C选项：平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，C正确； D选项：若，则平面内所有直线均与垂直，不可能存在与平行的直线，D错误. 故选：ABC. 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 11. 如图，在长方体中，．E，F，G，H分别为，的中点，下列说法正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积为 B. 与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据长方体外接球的直径即为体对角线，进而求出外接球的半径，再求解其表面积，即可判断；对于B，设中点为，连接，可证明，得到为与所成角（或补角），进而求解判断即可；对于C，连接，易得，进而判断即可；对于D，连接，易得平面，可得为与平面所成角，进而求解判断即可. 【详解】对于A，长方体外接球的直径即为体对角线， 则其外接球的半径为， 则其外接球的表面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接， 在长方体中，由于F，G，H分别为，的中点， 所以，， 则四边形为平行四边形，则， 所以为与所成角（或补角）， 因为， 所以， 则，， 则，， 又，则， 在中，， 则与所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，连接， 因为E，F分别为的中点，所以， 在长方体中，，则， 而与平面相交，则不平行于平面，故C错误； 对于D，连接，由B知，， 在长方体中，平面， 则平面，又平面，则， 所以为与平面所成角， 由， 所以，，， 则， 所以在中，，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求模即可. 【详解】由， 故答案为：. 13. 已知，则复数_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 14. 如图所示，在中，斜边，它在平面上的射影长为4，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 【解析】 【分析】由平面，知是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值． 【详解】解：由题意知，是在平面内的射影，所以平面，所以在平面内的射影为． 所以即为直线与平面所成的角．又因为在中，，， 所以． 在中，． 在中，．即与平面所成角的正弦值为． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： （1）z是实数； （2）z是纯虚数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为实数时，虚部为； （2）为纯虚数时，实部为，虚部不为. 【小问1详解】 因为为实数，所以， 解得； 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以且， 解得. 16. 已知向量， （1）求，； （2）求向量与的夹角； （3）若，求实数的值. 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算求数量积和模. （2）利用平面数量积的坐标运算求向量的夹角. （3）根据向量垂直，可得向量的数量积为0求参数的值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 因为，所以. 【小问3详解】 由. 所以 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于D，且，求面积的最小值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）余弦定理角化边化简，然后再根据余弦定理转化可求出角的余弦值，即可求出角； （2）应用三角形面积公式以及角平分线将三角形面积拆分成两个三角形的面积之和，根据均值不等式解出的最小值，从而求出三角形面积的最小值. 【小问1详解】 由余弦定理，得，即 整理得， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，即 当且仅当时等号成立 所以．故面积的最小值为． 19. 三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点． （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角余弦值； （3）求证与平面平行． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，得到为与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）确定即为平面与平面所成角的平面角，即可求解； （3）通过四边形为平行四边形，即可求证. 【小问1详解】 解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. 【小问2详解】 因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$