2024-2025学年浙教版八年级下册数学期末优化提升卷

2024-2025学年浙教版八年级下册数学期末优化提升卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列说法正确的是(    ) A. 一组数据，，，，，的极差是 B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C. 了解贵州省中学生观看电影哪吒的情况适合采用普查全面调查 D. 甲组数据的方差甲，乙组数据的方差乙，则乙组数据比甲组数据稳定 4.五一假期，小红和爸爸妈妈开车去黄果树瀑布景区旅游，途中看到以下交通标志，其中，属于中心对称图形的交通标志是(    ) A. B. C. D. 5.用反证法证明命题“已知，，求证：”的第一步应先假设(    ) A. B. C. D. 6.八年级的数学学习中，有如下问题：如图，▱的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，请说明当▱的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 嘉嘉说：添加； 淇淇说：添加； 请判断以下结论，是正确的． A. 嘉嘉说得对 B. 淇淇说得对 C. 嘉嘉和淇淇合在一起才对 D. 无法判断 7.已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则下面结论正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，将沿折叠，使点落在边的中点处，点、、分别为、、的中点，连接、、、，与相交于点，与相交于点，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形的边长为，点，，分别在边，，上，且当时，的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点若点的横坐标为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若，则的值为______． 12.已知关于的一元二次方程有一根为，则的值为______． 13.若一组数据，，，，，，的中位数为，则整数的最大值是______． 14.如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上一点，连接，，若，则的长为______． 15.如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 16.如图，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足已知，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算： ； ． 18.本小题分 请用适当的方法解下列一元二次方程： ； ． 19.本小题分 尺规作图问题： 如图，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． 连结，根据作图痕迹，请说明平分． 如图，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结求证：四边形是菱形． 20.本小题分 高校无人机设计大赛开赛以来，以其满满的科技感和独特的创新性吸引了众多大学生无人机爱好者报名参赛，某理工大学为了解学生对无人机设计相关知识掌握的情况，从该校大二、大三学生中各随机抽取名学生对无人机设计相关知识进行预赛，并对成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，共分三组：，，，绘制统计图表，部分信息如下： 大二名学生的预赛成绩是：，，，，，，，，，． 大三名学生的预赛成绩在组中的数据是：，，，． 抽取的学生预赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 大二年级 大三年级 根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______，______． 根据以上数据，你认为该校大二、大三年级中哪个年级学生无人机设计相关知识掌握得较好？请说明理由写出一条理由即可 该校大二年级学生有人，大三年级学生有人根据样本数据，请估计该校大二、大三年级学生中无人机设计相关知识的预赛成绩为“优秀”的总共有多少人． 21.本小题分如图，在中，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求证：四边形是平行四边形； 若，，，求的长． 22.本小题分 数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为，宽为的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形阴影部分，再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． 当礼盒底面的长是宽的倍时，求该长方体礼品盒的体积； 当礼盒的侧面的面积为，求剪去的小正方形的边长． 23.本小题分 已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点，，交轴于点，点为． 求反比例函数的解析式； 如图，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； 如图，一次函数交轴于点，将一次函数绕顺时针旋转交反比例函数图象于点，，求点的坐标． 24.本小题分 【问题思考】 如图，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是______． 【探究应用】 如图，正方形的边长为，点是射线上一动点不与点重合，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接，当点在上时． 若，求的值； 若是等腰三角形，求此时的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 故选：． 根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围是． 故选：． 根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出实数的取值范围． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：由极差求法、事件分类、抽查与普查定义及由方差判定数据稳定性逐项验证如下： A、一组数据，，，，，的极差是，原说法错误，不符合题意； B、“打开电视机，正在播放足球赛”是随机事件，不是必然事件，原说法错误，不符合题意； C、了解贵州省中学生观看电影哪吒的情况适合采用抽查抽样调查，不采用普查全面调查，原说法错误，不符合题意； D、根据，可得乙组数据比甲组数据稳定，原说法正确，符合题意． 故选：． 由极差求法、事件分类、抽查与普查定义及由方差判定数据稳定性逐项验证即可得到答案． 本题考查极差求法、事件分类、抽查与普查及由方差判定数据稳定性等知识，熟记相关概念是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是关键． 5.【答案】  【解析】解：反证法证明命题“已知，，求证：”的第一步应先假设， 故选：． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6.【答案】  【解析】解：四边形为平行四边形， ，， 以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ，， 四边形为平行四边形； 当，时，四边形为正方形． ， ， ，，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为正方形． 故选：． 由平行四边形的性质得出，，结合作图可得，，得出四边形为平行四边形，进而根据正方形的判定定理，即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质和正方形的判定定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由条件可知， ， 解得：， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大， ，都在反比例函数的图象上，且， ， 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，从而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，即可得到答案． 本题考查了反比例函数的图象和性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：如图：连接，，， ，． 是等腰直角三角形， 则， 将沿折叠，使点落在边的中点处， ，， ， ，， ， ，， ≌， ， 为的中点， ，，三点共线， 点、分别为、的中点，点在边的中点处， ，分别是，的中位线， ，，， ，， 四边形是平行四边形； 同理得， 四边形是菱形， 连接，分别交，于点，，连接，， 由折叠的性质得：，，，， ， ， ，都是等腰直角三角形， ，， 点和点分别是，的中点， 则， 则， 则， 点、、分别为、、的中点， ，， 则， 则是平行四边形， 则点是的中点； 同理得点是的中点， 则，， 四边形的面积为菱形的面积一半， ，． ，， 则， 则， 菱形的面积， 四边形的面积为， 故选：． 先证明≌，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是，的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：正方形的边长为，且， ，，． ， 如图，过点作于，则得矩形， ， 四边形是正方形，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 过点作，过点作，，交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，的值最小， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 的最小值为， 故选：． 通过构造全等三角形，将和转化到同一条线段上，再利用勾股定理求最值． 本题考查正方形的性质、勾股定理以及利用全等三角形转化线段等知识点．关键在于通过构造全等三角形和利用勾股定理进行线段的转化和最值的求解． 10.【答案】  【解析】解：如图所示，作轴，轴， 由题意可知、， 则． 由是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上可得， 易证≌，从而，， 设，则， 则点，点， 点、点在函数的图象上， ，解得， 故， 故选：． 作轴，轴，、，证明≌，从而，，设，则，则点，点，最后根据相等列方程即可得到答案． 本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，设出、的坐标是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为：． 由已知条件易得，将原式利用平方差公式展开并变形后代入已知数值计算即可． 本题考查平方差公式，代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 把代入方程得，然后解关于的一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 13.【答案】  【解析】解：由条件可知， 的最大值为， 故答案为：． “将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，可得数据按大小排序后第四个数是，进而可得，据此即可求解． 本题考查的是中位数的含义，掌握中位数的定义是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：过作于， 平分， ， ， 同理：， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ，， ≌， ， 同理：， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 过作于，由角平分线的性质推出，判定四边形是正方形，得到，判定≌，得到，同理，由勾股定理得到，求出，于是． 本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，关键是判定四边形是正方形，由勾股定理得到关于和的等式． 17.【答案】；  ．  【解析】 ； ． 先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可； 先算除法，再化简即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】，；   ，．  【解析】， ， 则， ，即， ，即，； ， ， ， 则或， 解得，． 利用配方法求解即可； 整理成一般式，再利用因式分解法求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． 19.【答案】见解析；   见解析．  【解析】， ， ， ， ， 平分； 且， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 由等角对等边可得，由平行线的性质可得，从而可得，即可得解； 根据菱形的判定定理证明即可． 本题考查了等边对等角、菱形的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 20.【答案】，，；   大三年级，理由见解析；   人．  【解析】大三年级组有人， 把被抽取的大三年级名学生的预赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数； 在被抽取的大二年级名学生的预赛成绩中，分出现的次数最多，故众数； ，故． 故答案为，，； 大三年级学生无人机设计相关知识掌握得较好． 理由：因为大三年级学生成绩的中位数和众数比大二年级学生的高，所以大三年级学生知识掌握得较好． 由样本估计总体的计算方法列式计算可得： 人． 答：估计该校大二、大三年级学生中无人机设计相关知识的预赛成绩为“优秀”的总共有人． 根据中位数和众数的定义求解即可； 根据中位数和众数判断即可得解； 由样本估计总体的计算方法列式计算即可． 本题考查了中位数和众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21.【答案】见解析；  ．  【解析】证明：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 即， ， 点是的中点， ， ， ≌， ， 四边形是平行四边形； 解：是的中位线，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 根据三角形中位线定理得到，即，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； 根据三角形的中位线定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 22.【答案】；   ．  【解析】设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为， 由题意得， 解得， 长为，宽为，高为， 体积为：； 设小正方形的边长为，根据题意可得一元二次方程为： ， 整理得， 解得或舍， 剪去的小正方形的边长为． 设小正方形的边长为，则礼盒底面的长是，宽为，根据礼盒底面的长是宽的倍，建立一元一次方程求解，即可求解长、宽、高，即可求解体积； 设剪去的小正方形的边长为，由题意得：，再解一二次方程即可． 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键． 23.【答案】解：当时，，则点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：； 设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的中垂线上， ， 解得：舍去或， 则点，的坐标分别为：，， ； ， 的坐标为， 作于，过作轴平行线，作， 一次函数的图象绕点顺时针旋转交反比例函数图象于点，， 在和中， ， ≌， ，， 设， ， ， ， 直线解析式为：， 与反比例函数联立方程组解得 ，解得负值舍去， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.【答案】解：，之间的数量关系是：理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ≌， ， ， ． 故答案为：； 连接，如图， 四边形为正方形， ，， ， 由知：． 正方形的边长为，， ． 设，则，． ， ， ． ， 过点作，交的延长线于点，如图， 四边形和四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，， ． Ⅰ当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ当时， 则， ， ， 解得：， 综上，若是等腰三角形，的长为或．  【解析】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； 连接，利用正方形的性质得到，利用的结论得到：，设，则，，利用勾股定理列出方程求得值，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可； 过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：当时，，此种情况不存在；Ⅱ当时，，则，点与点重合；Ⅲ当时，则，利用勾股定理解答即可． 第4页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$